Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 86
Текст из файла (страница 86)
' 11=Х,'«,) б;«,)-~;«').Ь;«*)-~ — ' Ь;«)дг. 1 ! Из условия непрерывности функций х, «) и х, «) + Ьх, «) следует, что Ьх,'«) = Ьх, «*) = Лх,«). Далее выразим в равенстве (1 73) Ьх, «) и бх,'«) через Глава 1. Ва иационное исчисление 465 Ь./=-) ~ — '+ч~ 7., — ' Ьх, (л д7- дп '! т Хк ~Х, — к — ~.Хк ~=е ди, ди,~ а ь! Ьи, , 'Х, — ~+и" — +, 'р, ~ =в ди,' ди' ! да, — Ь» й— д ! дц у — Ь д!ь ду' л +~(~ (! ) ) (! ))'ох (г )+(!+).о(1~))'Ьхо(й) ив р я Π— ~ч ~Х, (г ) 7; (г ) — ч ~,).; (г ) 7," (г ) Ьг + =о ьа (1.74) х~',Рг ' " (га) ыо дх (го) д(3 „ ~р„'" +Х,'(г,) дх,'(й) Е~ ° Е[ Ьх, (г,)+ Ьх,'(1,)+ + — ~а'.
0.(х(П)) б!, ихо(11 ) д! ь!! „, ы в равенстве (1.74) коэффициенты при зависимых вариациях бх, (!), Ьх,'(!),Ьи, (г), 1и,'(!) обращались в нуль. Тогда ,я мь При выводе вариации функционала (1.74) предполагалось, что время движения «е задано. Поскольку система является автономной, то движение системы не зави:ит от того, в какой конкретный момент времени оно началось, а полностью опре!еляется временем движения.
Поэтому при выводе вариации функционала (1.74) <ачальный момент времени ге предполагался фиксированным, а варьировался олько конечный момент времени й . Далее, если считать, что время движения за!ано, т.е. фиксированы начальный и конечный момент времени, то соответствуюцая формула вариации функционала по-прежнему задается равенством (1.74), в :отором следует положить бь = О.
Если функции х,(!), и (г), т (г) реализуют минимум функционала (1.72), то по еореме 1.1 вариация такого функционала равна нулю, т.е. Ь.т = О. В силу уравнений связи (1.66), (1.67) и условий для концов (1.68) и (1.69) не все риведенные в равенстве (1.74) вариации переменных являются независимыми. Именю, зависимыми являются: 2(и +1) + 2е вариаций Ьх,, бх,', би, Ьи', Ьт, бт,', ! = О, и, ! =!и, из общего их числа 2(и+1)+4а; (рь!)+/с вариаций Ьх (св) Ьх (!), ! =О н. Выберем множители Лагранжа 7., (!), Х;(г), р,(г), р',(г),1=0 л,7'=1,т так, что- 466 Методытео ииоптимального п авления.
Часть П! с!Х, " д)'„ альт Х- а О а=О (1.75) Й „О дх,' д)' дц ~~ ~, .— '+р,— '=О, ,=О д!!, , О ди', ди' Выберем множители Лагранжа р!, р,' при (р+1+А) зависимых вариациях бх, (гО), бх,'(г!), чтобы обратить в нуль коэффициенты при этих вариациях, и, учи- тывая независимость (произвольность) остальных вариаций, найдем Н ( г ) 0 ду э р (г)- — =0; дс[, з (1.77) условия Вейерштрасса — Эрдмана Х, (г*) = Х;(1 ), ! = О, и, ~Х,..(г') '( )-~ ),;(!') '( )=о; и условия для концов Й- р ! — Х,(еа)=0, !=Ои, г=о дх~ (го) ~р„'— "+)!.;(г!) = О, !'= 1,л, дк,'(!!) 1+ХО(г!) =О, ""О (г!) + — ~р„' (),(х(г!)) =О.
мы Преобразуем полученные соотношения в более удобную форму. Введем функцию (1.78) (1.79) (1.80) (1.81) Н(), х, и, т, р) = Н! ()., х, и)+ Ня(р, и, У) =~~' Х 7(х,в)+~)г~!х((н,т). ю О Здесь Х =() О,...,) „), т =(т!,...,О„), р=(р!,...,ца) — векторы. Тогда уравнения (1.76) и (1.77) можно записать в виде дН дН вЂ” =О, — =О, ди д! дН' дН' — = О, — = О, 7' = 1, л!. ди' ди' э 3 То есть условия (1.76) и (1.77) совпадают с условиями экстремума функции Н. Глава 1.
Ва иационное исчисление 467 Второе условие (1.78) выливается в условие непрерывности Нх и, следовательно, функции Н(функция Н„в соответствии с уравнениями связи (!.67) равна нулю); Н, (Е') Н,'(Е'), Н- (Е' ) = Н' (Е' ). (!.82) Уравнения (1.66) и (1.67) могут быть записаны в виде е(х; дН' — = —,1=О,п, дг дХ," (1.83) дН" — =О, /=1,еп. (1.84) др, Отметим далее, что вместо соотношений (1.75) можно записать уравнения е(е!.,к дН к — — 1= О,п. иЕЕ дх,' Покажем, что на оптимальной траектории функция Н = сопз!.
Запишем производную е1Н " дН е(Хе " дН йх, дН иеН дН е1и~ дН е(г~ — = , '— — Е+~ — — '+~ — — '+~ — — Е+ , '—.— Е. (1.86) де ьадХ, 11, д, Ее дн! 11 е=Еди/ де емд е й ' Из (1.86), принимая во внимание (1.81), (1.83) — (1.85), найдем, что еЕН вЂ” =0 иег и,следовательно, функция Н, рассматриваемая как функция времени, постоянна. Рассмотрим частный случай, когда левые и правые концы линий х,(е),1=!,п за- креплены. В этом случае условия для концов принимают вид (1,7!), и из соотноше- ний (1.79), (1.80) следуют равенства: р, -).,(Ее)=0, Е=О,п, р,' — Х,+(е!) =О, е =1,п, 1~-Хе(Е!) = О, — +~' ' ' =0 (1.85) (! .87) Из (1.87) находим, что (1.89) зЕ* Н,(Х'(Е!), х'(Е,), и'(Е,)) = ~Х,'(Е!) 7,(х'(Е!), и'(Е,)) = О.
ас Из (1.88), принимая во внимание, что Н„= О, вытекает Н(Е)=0, Е, <Е<Е,. Если кривые х,(е), и (е), ! (1), 1= 0,п, 1 =1,еп реализуют минимум функционала по отношению ко всему классу допустимых линий, то онн тем более реализуют минимум функционала по отношению к линиям с закрепленными концами, т.е.
по отношению к более узкому классу линий. Отсюда следует, что условие (1.89) справедливо и при граничных условиях (1.68), (1.69). 468 Методы тео ии оптимального п авления. Часть 1П 1.6.3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ВЕЙЕРШТРАССА Для сформулированной в настоящем параграфе задачи Майера В.А. Троцким [57) было получено необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума, которое заключается в следующем: если на функциях х,(г), и,(г), «,(г), 1= 0,п, у = 1,т реа- лизУетсЯ сильный минимУм фУнкционала(1.70), то в каждой точке отРезка гв <г < Д должно выполняться неравенство Н(х, 13, У, Л, р)< Н(х, ц, «, Л, р), здесь векторы х, и, «соответствуют кривой, на которой реализуется минимум функционаза, а () и У вЂ” любые управления, удовлетворяющие условиям а,((7,, 1;)=О, у =1и. Если вспомнить, что дополнительное управление «в функцию Нх не входит и что Ня = О, то условие Вейерштрасса сильного минимума можно записать в виде Н (х,(1,Л) < Нх(х,п,3 ) .
(1.90) В неравенстве (1.90) и — оптимальное управление, а () — любое допустимое управление, т.е, управление, удовлетворяющее условиям Таким образом, на кривой, дающей сильный минимум функционалу (1.70), функция Нх, рассматриваемая как функция вектора и, должна принимать максимально допустимое значение. Сформулированные в данном параграфе необходимые условия оптимальности, как нетрудно видеть, практически полностью совпадают с принципом максимума Понтрягина.
Поэтому их можно успешно использовать для определения оптимального управления и оптимальной траектории. Однако на практике целесообразно пользоваться непосредственно принципом максимума, который обладает большей общностью и который формулируется в удобной для практического использования компактной форме. 469 Глава 2. П инцип максим ма Пон ягина ГЛАВА 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА Принципом максимума называют математический метод, который был разработан академиком Л.С. Понтрягиным и его ученикани дяя решения задач оптииачьного управления.
Предложенная авторами метода математическая модель процесса и четкое компактное формулирование основного результата — сильных необходимых условий оптимальности — оказались очень удачными. Метод пользуется большой популярностью. Этому в немалой степени способствовала изданная в !96! г. монография «Математическая теория оптимальных процессовгь которая хорошо отвечала духу того времени и была написана с большим педагогическим мастерством. Несмотря на то, что первые публикации по принципу максимума появилнсь уже более сорока лет назад, принцип максимума и в настоящее время остается основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий.
В данной главе рассматриваются задачи оптимаяьного управления, когда заданы ограничения только на вектор управления. Этому соответствует классический вариант принципа максимума, который наиболее часто используется на практике. Наряду с изложением условий оптимальности в форме принципа максимума, большое внимание уделяется рассмотрению их применения для определения оптимального управления и оптимальной траектории. Строго говоря, принцип максимума ориентирован на опргделение программного оптимального управлении Однако он часто позволяет легко выявить структуру оптимального управления и вид оптимальных траекторий, что даат возможность выделить всю совокупность оптимальных траекторий. Таким образом, принцип максимума можно успешно использовать дяя синтеза отпимального управления.
Большинство рассмотренных ниже примеров посвящены именно определению всей совокупности оптимальных траекторий и, следовательно, синтезу оптимального управления. Изложение материала начинается с формулировки задачи оптимального управления, хотя она приводится и в первой главе работы. Однако такой способ изложения позволяет читателю (особенно читателю, которого интересует прежде всего прагматическая сторона — решение практических задач по определению оптимального управления) изучить один из наиболее эффективных методов теории оптимального управления, не изучая первой главы работы.
2.1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ФОРМЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В З!.5 были получены необходимые условия, которым должны удовлетворять траектория и управление, реализующие сильный минимум функционала. В настоящем параграфе они обобщаются и приводятся в компактной форме принципа максимума. 2.1.1. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть имеется двигатель постоянного тока, который работает на механизм М. Движением двигателя можно управлять, изменяя напряжение и„, подводимое к цепи якоря (напряжение и, будем считать постоянным).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
