Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Метод математического программирования (МП) решения задач оптимального управления — это направление, в котором исходную бесконечномерную задачу заменяют новой, параметризованной, относящейся к классу конечномерных задач оптимизации. Далее переписывают все ограничения задачи в виде ограничений на значения параметризованных функций; интегралы заменяют функцией, зависящей от параметров вектора управления ()(г) и фазового вектора Х(г).
Таким образом, метод МП включает редукцию вариационной задачи к конечномерной и ее решение разработанными методами линейного или нелинейного программирования, т.е. нахождение экстремума функции многих переменных при ограничениях типа равенств и неравенств Применение аппарата математического программирования и разработка численных методов для решения конкретных задач оптимального управления относится к 60-м годам. Более того, к середине 60-х годов сложилось самостоятельное направление — «Численные методы оптимизации», являющееся составной частью вычислительной математики. В рамках указанного направления разработаны численные методы для важных классов задач оптимизации, в том числе методы условной минимизации в выпуклом или невыпуклом случаях. Установлена область применимости, выяснена скорость сходимости.
Американский ученый Л.А. Заде ввел математическое понятие — нечеткое множество, обобщающее понятие обычного множества. Теория нечетких множеств тесно связана с понятием системы с переменными параметраии, посколысу нестационарную систему .можно описать как стационарную, если ввести е рассмотрение нечеткие параметры [67). При таком подходе классическое математическое программирование рассматривается, в значительной степени, как нормативная методология эффективного выбора. Использование аппарата нечетких множеств привело к разработке метода нечеткого программирования, которое Введение 439 выделяет естественную множественность целей и значений, неточно определенных подцелей и ограничений. Введено в рассмотрение робастное программирование.
Оно означает гибкость, устойчивость алгоритма по отношению к разбросу базовых параметров. Робастная программа сравнительно малочувствительна к исходным предпосылкам, но не столь эффективна, как «точная» программа, если эти предпосылки выполняются. Трудности решения задач оптимального управления определяются рядом факторов, главным из которых является размерность задачи, количество переменных и количество ограничений [38). Важным этапом является разработка конструкций вычислительных алгоритмов, доведение расчетов до фактического решения задачи; рассмотрение совокупности приемов, образующих вычислительную технологию.
Как указано в [63), это очень важная часть практической вычислительной работы, без грамотного оформления которой никакую идею не удастся довести до успешного расчета. Задачу опп|имизацки необходимо рассматривать не как проблему принципиальной возможности приближенного решения, а как проблему фактической эффективности алгоритма. В [63) рассмотрено много конкретных примеров, уделено внимание важности этапа разработки вычислительной технологии; приведены примеры, когда решение задачи сталкивается с серьезными трудностями, которые порождены именно вычислительной стороной дела, указывается на необходимость уметь контролировать те результаты, которые выдает та или иная программа, особенно претендующая на решение такой задачи, как поиск минимума.
В настоящей главе приведены постановки конкретных задач оптимального управления, алгоритмы их решения методами математического программирования и примеры построения оптимальных программных управлений и оптимальных программ. Как отметил Я.З. Цыпкин, «большую популярность завоевали принцип максимума, метод динамического программирования, метод математического программирования и ряд других методов, которые вошли в золотой фонд теории оптимального управленияв [52). Основные положения методов, вошедших в золотой фонд, рассматриваются в этой части учебника.
Вопросам оптимального управления посвящено большое число работ. Библиография работ содержит свыше десяти тысяч наименований. Многие из указанных работ ориентированы на математиков и они очень сложны для восприятия специалистами, занимающимися разработкой систем автоматического управления, а некоторые из них вообще не рассчитаны на практическое использование. Работ, которые ориентированы на разработчиков систем управления и студентов, обучающихся по соответствующим специальностям, сравнительно немного, и они не охватывают всех разделов теории оптимального управления.
Для этой категории читателей можно порекомендовать работы [2, 4, 6, 7, 22, 32, 33, 46, 56, 69). К этой группе работ относится и настоящий учебник. 440 Методы тео ии оптимального п авления. Часть РП ГЛАВА 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Задача оптимального управления относится к задачам вариацнонного исчисления. В начале пятидесятых годов, когда А.А. Фельдбаумом была сформулирована задача оптимального управления, оказалось, что классическое вариационное исчисление, изза наличия в задаче оптимального управления ограничений в форме неравенств, не позволяет определить оптимальное управление и оптимальную траекторию.
Это привело к появлению принципа максимума Понтрягина. После опубликования принципа максимума усилиями ученых разных стран удалось быстро распространить вариационное исчисление на задачи оптимального управления. Такое распространение выполнено в Н.5 настоящей главы. Однако получаемые таким образом условия оптимальности оказываются аналогичными принципу максимума н являются по сравнению с последним более слабыми. Именно, в вариационном исчислении область допустимых значений вектора управления обязательно должна быть областью в классическом смысле этого слова, т.е. должна удовлетворять свойству связности. В принципе максимума данная область может быть любым множеством векторного пространства, например, состоять из совокупности изолированных точек.
Это расширяет возможности принципа максимума. Можно, например, искать оптимальное управление в классе релейных сигналов и т.п. На практике при определении оптимального управления предпочтение, как правило, отдается принципу максимума. Однако изучение вариационного исчисления позволяет более глубоко понять содержание математических методов теории оптимального управления и их возможности. На это в основном и нацелена настоящая глава работы. Далее в работе принцип максимума выводится из вариационного исчисления. 1.1. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА Понятие, функционала является естественным развитием понятия функции. Говорят, что в классе функций задан функционал, если указано правило, по которому каждан функции из этого кнасса ставится в соответствие некоторое числа Например, интеграл л .У =) г(х,у(х))Ых О каждой непрерывной функции у(х) ставит в соответствие число, т.е.
является функционалом. Вариационным исчислением называется раздел мааелватики, в котором рассматриваются задачи определения максимума и минимума функционалов, а также определения функций (кривых), на которых эти максимумы и минимумы достигаются. Приведем простой пример вариационной задачи. На плоскости заданы две точки с координатами (а, А) и (Ь, В). Требуется среди линий у=у(х) (а<х<Ь), соединяющих эти точки, найти такую, которая имеет наименьшую длину, т.е.
найти функцию у(х), на которой функционал ь .У = ~ з~) +(у') Ых а достигаез минимума. 441 Глава 1. Ва иационное исчисление 1.1.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА При изучении функционалов, как и при изучении функций, удобно использовать геометрический язык. Каждую функцию у(х), принадлежащую определенному классу, будем рассматривать как точку некоторою пространства.
Пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным просптрансавом. Функциональное пространство Я называется нормированным, если каждому элементу у(х) е Я ставится в соответствие некоторое неотрицательное число (~у11— норма этого элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
