Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 82
Текст из файла (страница 82)
При этом должны выполняться следующие три аксиомы: 1) )(у)) = О только при условии, что у(х) м О; 2) для любого числа )с ((ХУ1 = )Ц)у(!.„ 3) Длл любых У1 н )1 и Уг н Я: ))Я +Уз)( <))У1!)+()Уг(!. Последнюю аксиому принято называть неравенством треугольника. В вариационном исчислении используются три функциональных пространства. Пространство С. Пространством С называют совокупность непрерывных функций у(х), заданных на отрезке [а, Ь].
Норма в пространстве С задается равенством: 11У11 = гпах [у(х)(. (!.1) аваль Пространство С~. Пространством С1 называют совокупность непрерывных функций, заданных на отрезке [а, Ь) и имеющих на этом отрезке непрерывную первую производную. Норма в пространстве С~ задается выражением: ))у)(, = шах 1у(х)1+ шах [у'(х)).
(1.2) Пространство С„. Пространством С„называют совокупность функций, заданных на отрезке [а, Ь) и имеющих непрерывные производные до и-го порядка включительно. Норма в пространстве С„определяется равенством: [[у!) =~ шах(у~п(х)~. мо В нормированном функциональном пространстве л можно определять расстояние между любыми функциями. Именно, расстояние р(упу,) между функциями у, и у, задаетсЯ Равенством: Р(УЬУг) =)(У, -У211.
Отметим, что в соответствии с выписанными выше аксиомами нормы р(ум уз) = р(уг у1) т к 11уь — уг11 ='Оуг — уД. Из соотношений (1.1) и (1.2) следует, что расстояние между функциями у, и уг в пространствах С и С, задается соответственно равенствами: р(уьуз) =~~уь -уз[= птах [у~(х)-уг(х)(; аваль р(у~ уг) =в1у~ -уг!1, = шах[у~(х) — уг(х))+шах~у[(х)-уг(х)).
Очевидно, что две функции близки в пространстве С,, если близки как сами функции, так и их производные. 1 1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛФУНКЦИОНАЛА Пусть Я вЂ” некоторое функциональное пространство. Функционал т'[у) называется непрерывным в точке уо н Я, если для любого е > О можно указать такое б(е), 'См Приложение 2 в первом томе учебника. га Эвк. ЗОВ Методы тео пи оптимального п веления. Часть!П 442 чта при любых у, удовлетворяющих условию ))у — уо)1 < Ь, справедливо неравенство )з(У) — У(уо)1 < к.
Функционал,У (у) называется непрерывным в некоторой области пространства Я, если он непрерывен в каждой точке этой области. Функционал,У(у) называется линейныль если он удовлетворяет следующим свойствам: . 1) длялюбых у, и ут,У(у( +уз) = l(У1)+У(уз); 2) для любого числа )с l() у) = )..У(у) . Пример 1.1. Функннонал з(у) =) ч(х)Их)а, где Ч(х) — заданная непрерывная дункана, является линейным Он непрерывен в пространстве С По аналогии с дифференциалом функции можно ввести понятие дифференциала функционала.
Пусть з (у) — некоторый функционал. Дадим функции уо(х) приращение й(х) и запишем прираШение функционала: сыУ(Уо Уа) =з(Уо+Уе) з(Уо). При фиксированном уо Ус У(уо, Уе) является функционалом относительно 6. Дифференциалом функционала.У(у) в точке уо называется главная линейная часть прирашения функционала УьУ(уо, Ут). Именно, если прирашение ст,У(уо, Уе) можно представить в виде сыУ(уо ") =яр(У1)+цЩ) где ~р(Уе) — линейный функционал, а а -в 0 при !Ут)) -в О, то )р(Уе) называется дифференциалом функционала.У(у) в точке уо. Можно показать, что дифференциал функционала, если он существует, определяется однозначным образом.
Дифференциал функционала называют также вариацией функционала и обозначают бl(Ут). Как и дифференциал функций, дифференциал функционала оказывается весьма полезным при исследовании на максимум и минимум функционалов. В дальнейшем в качестве основного варианта рассматривается минимизация функционалов. Вообще необходимо иметь в виду, что между минимумом и максимумом функционала существует простая связь: тпах .У(у)= — пцп( —,У(у)) .
Рассмотрим функционал з(у), определенный на элементах нормированного функционального пространства й. Говорят, что функционал У(у) дослаигает в точке уо минимума, если найдется такое в>0, что для всех у, принадлежащих е -окрестности точки уо, т.е. Удовлетворяющих неравенству !!» М! (1.3) справедливо соотношение У(У)- У(уо) й 0 (1.4) Если в качестве функционального пространства й рассматривается пространства С, то такой минимум называется сильным, а если в качестве Я рассматривается пространство С1 с соответствующей нормой, то минимум называется слабым. 443 Глава 1. Ва иационное исчисление В разграничении слабого и сильного минимумов функционала определяющая роль отводится окрестности (1.3), которая однозначно зависит от нормы соответст- вующего функционального пространства.
В вариационном исчислении, например, широко изучается функционал вида ь l =) г(х,у,у')сгт, и который определен на дифференцируемых функциях у(х). Если имеет место сильный минимум функционала, то условие (1.4) должно быть справедливо для дифференци- руемых функций у(х), удовлетворяющих неравенству птах 1У(х) — Уо(х)! < е, «кх<Ь а при слабом минимуме функционала — для функций у(х), удовлетворяющих соотно- шению (1.5) Пример !.2. Найти минимум функционала ! у=)(у) с)х е при условии, что у(0) " О, у(!) = !. Обозначим у'(х) = и(х) . Тогда, очевидно, требуется найти минимум функционилв )и (х)пх с при условии, что ! ) и(х) их = у(!) = ! (! 7) с ПОКажЕМ, Чта ис(Х) и 0 ЕетЬ МИНИМуи (ЗуннцИОНВЛВ. ПрсесрнМ ЗтО Пуетс и(Х) = и(Х)+ О(Х) = )+ О!Х] Тогда ~[ис(х)+о(4'цх=и!+о(х)1са=!+2 С (х)як+Сот(х)цх=! ~ '(х)6 ), шах 1У (х) - Уо (х)) + шах 1У'(х) - Уо(х) 1 < е .
(1.6) авхкЬ акхкЬ Пространство С является существенно более богатым по числу входящих в него функций у(х), нежели пространство С,, т.к. любая функция у(х) и С! принадлежит также пространству С, в то время как обратное утверждение неверно. Сильный минимум функционала может достигаться на непрерывно дифференцируемой функции. В этом случае, очевидно, всякий сильный минимум является в то же время слабым.
Действительно, из того факта, что имеет место неравенство (1.4) по отношению к непрерывным функциям, удовлетворяющим условию (1.5), тем более следует, что имеет место неравенство (1.4) по отношению к непрерывно дифференцируемым функциям, удовлетворяющим соотношению (1.6). Это обстоятельство имеет важное значение, т.к. позволяет заключить, что необходимое условие слабого минимума функционала является в то же время необходимым условием сильного минимума функционала. Слабый минимум функционала определяется обычно значительно проще, т.к.
в вариационном исчислении, как правило, рассматриваются функционалы, которые являются непрерывными в пространстве С, и не являются непрерывными в пространстве С. Создавая теорию слабого минимума, можно пользоваться непрерывностью функционала. Рассмотрим два примера. 444 Методы тео ив оптимального п велений. Чисть П1 ! т.к, в силу условия (1,7) ) о(х)!й= О. Таким образом, функция у,(х) = х реавизуст сильный минимум а исходного функционалц причем этот минимум является абсолютным, поскольку он имеет место по отношению ко всем дифференцируемым функциям нз С.
Пример 1.3. Найдем минимум функционала ! У=((у)'й, у(О)=О, «(1)=1. (1 8) а Обозначим, как и выше, у'(х) =и(х) Исходная задача (1.8) эквиваленгна задаче о минимуме функционала ) и~(х)гй ь ) и(х)!й-"1. и Покшксм, что функция и(х) н О задает слабый минимум функционала, Рассмотрим ! ! ! ! ) (1+о(х)) г(х=)чЗ) о(х)!й+3) о~(х)!й+) о~(х)4х. а а а а ь Функция и(х) =ив(х)+о(х)=1+о(х) должна удовлетворяп граничному условию ) и(х)!й=!. Отсюда следует, что ! ) о(т)!й= О. а В результате получаем ! ~[1+ о(х)]з,й = !+%а(хйй+~ озй.
а а а Если !!4<е (е<!),то о'>)о~), Зо >)о~) и,следовательно, ) (Зо' — о') гй > О. а Ты!им образом, доказано, что функция у,(х) и х (и(х) = 1) доставляет слабый минимум функционалу. Посмотрим, являетсл ли этот слабый минимум сильиымт Будем выбирать о(х) в соответствии с рис 1 ! Рис. 1.1. График функции о(х) Как и выше, ) о(х) = О. При л -+ ю, — -+ 1. Поэтому и-! а Глава 1. Ва иационное исчисление 445 э ° 2 Ул) л-1 э! о (х)ат=~ — у! .— +л — -и, о (л-!У и л э )э 3 Улэ л! 31 э и (х)э(х=э( — уэ — ол — -и . о 'чл — (У л и При достаточно больших л (Зл- л') < О и, следовательно, э З~оэ(х)ухо~оэлх <О о о Таким образом, если наложено ограничение на значение производной функции у(х), то функция уо(х) = х доставляет минимум функционалу (1.8). Если на значение производной у'(х) не накладывать ограничение, то на линии уо(х) = х минимум функционала не имеет место. Это позволяет заключить, что фуикшм уо(х) = х доставляет слабый минимум функционалу и не доставляет сильного минимума 1.1.3.
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления. Пусть задан функ- ционал .У = 1 и (х, у, у ) г(х. (1.11) Относительно функции и"(х,у,у') будем предполагать, что она имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам до второго порядка вкЛючительно. Требуется среди гладких функций у(х), удовлетворяющих граничным условиям у(а) = А„у(Ь) = В, (1.! 2) найти функцию, доставляющую слабый минимум функционалу (1.11). Для решения поставленной задачи воспользуемся теоремой 1.1.
Найдем дифференциал функционала (1.11). Дадим функции у(х) приращение Ь(х) и найдем приращение функционала ь ь ЬУ = () г (х, у+ Ь, у'+ К) гйг - )' В(х, у, у) г(х. а о Так как функции у(х) ну(х)+Ь(х) должны удовлетворять условиям (1.! 2), то Ь(а) = Ь(Ь) = О. (1.13) (1.14) Приведем необходимое условие экстремума функционала. Теорема 1.1. Если функционал .У(у) достигает в тачке уо минимума (максимума), та дифференциал функционала, если он существует, в этой точке обращается в нуль. Доказательство. Пусть функционал,У(у) достигает в точке уо минимума.
По определению минимума У(у +Ь)- У(уо)=ЬУ(Ь)+ ~~Ь|>О (!.9) для всех Ь, для которых норма Ь достаточно мала. Если дифференциал функционала О,У(Ь) м О, то при достаточно малых Ь знак суммы Ь.У(Ь)+ а 1Ь)! (1.!О) будет полностью определяться знаком первого слагаемого. Но Ь,У(Ь) — линейный функционал, и потому бl(-Ь) = -О,У(Ь), т.е. знак суммы (1.10) может быть любым, что противоречит условию (!.9). Поэтому Ь.У(Ь) =О, и теорема доказана. 446 Методы тес ии оптимального п вяления. Часть 111 Принимая во внимание, что функция Р(х,у,у') имеет непрерывные производные по всем своим аргументам, приращение (1.13) можно записать в виде ь Ь) =ЯР (х,у,у) Ь+Р (х,у,у) КЗйх+..., (1.15) и здесь многоточием обозначены члены, имеющие порядок выше первого относительно Ь и Ь'. Интеграл, стоящий в правой части равенства (1.15), является линейным функционалом относительно переменной Ь(х) и отличается от приращения (ь l лишь на слагаемое, имеющее порядок малости выше первого относительно !!Ь!!!, т.е, является дифференциалом функционала (1.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
