Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Условия Ввйввштрдссд — Эрдмднд Выше, выполняя вывод уравнения Эйлера, мы предполагали, что реализующая минимум функционала функция у(х) имеет непрерывную вторую производную. Вообще, в вариациоином исчислении доказывается, что экстремаль функционала (1.11) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией во всех точках (х, у), в которых Р„у(х,у,у') иО. Однако встречаются вариациониые задачи, в которых минимум функционала достигается на кусочно-гладких линиях. Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления о минимуме функционала (1.11) при граничных условиях (!.12), полагая, что допустимые кривые у=у(х) могут иметь излом в некоторойточке х (а<х <Ь).
На каждом из интер- валов (а,х ) и (х,Ь) функции у(х) являются гладкими и потому кривая, доставляющая минимум функционалу (1.! 1), удовлетворяет уравнению Эйлера. Представим функционал (1.11) в виде суммы двух функционалов «' ь ) р(х У У)ь(х У1+Уз [р(х У У)«(х+) р(х У У)Ух. Будем предполагать, что точка излома х варьируется (см. рис.!.5). Вычислим вариацию отдельно для функционала .У, и .7з.
Воспользуемся общей формулой вариации функционала (1.42). Для функционала .У! граничные условия состоят в следующем: левый конец кривой закреплен, а правый свободен. Поэтому, принимая во внимание уравнение Эйлера, ЬУ, =с" ~, Ьу+[г"-у' Р )) .
Ьх. Для функционала,Уз закреплен правый конец кривой у = у(х), а левый свободен, и, следовательно, 454 Методы тео ии оптимального п авления. Часть |П ЬУз=-Р' ~, Ьу-1г"-у' Р~.~~ . Ьх. х х+Ьх Ь Рис 1Д. График кривой, имеющей излом в точке а Если на линии у = у(х) имеет место минимум функционала (1.11), то Ь)=бг,+81 =~~, ~], -Ь„,], 1.8у+ +[(Ь'-у' Ь',)~ .
-(ет-у' г" )] . ~ Ьх =О. Приращения Ьу н Ьх являются независимыми, и поэтому из (1.47) следует у;,). -у,,). =о, (Ь.-у.ЬУ)]. -(У-у Ьу)]. =О. (1.48) Соотношения (1.48) представляют собой условия, которые должны выполняться в точках излома экстремалей. Они называются условиями Вейерштрасса — Эрдмана. Проанализируем полученный результат. На каждом из отрезков (а,х ] и (х,Ь] доставляющая минимум функционала функция у(х) должна удовлетворять уравнению Эйлера. Общее решение двух уравнений Эйлера содержит четыре неизвестных постоянных интегрирования.
Неизвестной также является точка излома экстремали х . Для определения указанных неизвестных имеются: два граничных условия (1. 12), два условия Вейерштрасса (1.48) и условие непрерывности у(х +0)=у(х -0). 4.3. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА СИЛЬНОГО МИНИМУМА ФУНКЦИОНАЛА Выше, при получении уравнения Эйлера, реализующая минимум функционала кривая у = у(х) сравнивалась с кривыми, близкими в смысле нормы из Сь т.е. близкими были не только сравниваемые кривые, но и их производные. Вейерштрасс получил необходимое условие минимума, сравнивая реализующую минимум кривую у = у(х) с кривыми, производные которых не всюду близки к производной у'(х) . Как уже отмечалось, сильный минимум функционала является в то же время сла- бым.
Поэтому реализующая сильный минимум функционала функция у(х) должна удовлетворять уравнению Эйлера. 455 Глава 1. Ва иационное исчисление Пусть на кривой у = у(х) реализуется сильный минимум функционаяа ь ./ = 1 Р'(х, у, у')сух. (1.49) е Выберем произвольно на кривой у = у(х) точку 1 и правее еб точку 3 так, чтобы между точками 1 и 3 кривая у = у(х) не имела угловых точек. Проведем через точку 1 произвольную гладкую линию у = У(х) (см. рис. 1.6). Переменную точку 2 линии у = У(х) соединим с фиксированной точкой 3 линией Езз, определяемой уравнением у = у(х) . Линию Еы будем выбирать близкой к линии у = у(х) в смысле нормы из С, .
гн Рис. !.б. К решению эааачи нахождении необходимых условна сильного минимума фуниннонала По условию кривая доставляет сильный минимум функционалу (1.49). Положим, что точка 2 стремится к точке 1, пробегая значения линии у=У(х). В соответствии с определением сильного минимума значение функционала (1.49), вычисленного вдоль линии А123В (рис. !.6), должно быть больше (в крайнем случае равно) значения функционала, вычисленного вдоль липину=у(х), т.е. должно иметь место условие «! АУ!з = ~ Е(х, У, У') с(х+ ~ Е(х У У) дх — ~ Е(х У У )с!х > О, «, Найдем главную часть приращения А/!з.
Отметим, прежде всего, что к Е(х,У,У') с(х= Е(х,У,У') ~ Ьх1, .к! где Ъх, = хз -х, . Далее, главную часть приращения к, «э Г Е(х,у,у') с!х — ( Е(х,у,у') Й «г «! можно найти по формуле вариации функционала в задаче с подвижным левым и закрепленным правым концами. Так как функция у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера, то «! «! ) Е(х,у,у )с!х — ~ Е(х,у,у)дСх = — ~Е„У'+ Š— у'.Е ~~ Ьхп (152) к! «! 456 Методы тес ии оптимального п авления. Часть 1П В равенствах (!.51) и (1.52) опущены слагаемые, имеющие порядок малости выше первого. Введем обозначение Е(х,у,у',У') = Р(х,у,У')- Р(х,у,у')-(У'- у') Ру(х,у,у'). Принимал во внимание (1.50) — (1.52), запишем Ь.)!з шЕ(х,у,у',У)бх! >О.
Из данного неравенства вытекает, что Е(х,у,у',У')* >О. (1.53) Так как точка 1 выбиралась произвольным образом, то условие (1.53) можно переписать в виде Е(х, у, у', У) > 0 . Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1.2 (необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума функз)попала). Говорят, что допустимая кривая у = у(х) удовлетворяет условию Ввйерштрасса, если в каждой точке х этой кривой выполняется неравенства Е(х,у, у',У) > 0 (1.54) для любого числа У'. Если кривая у = у(х) доставляет сильный минимум функ!(ионалу (1.49), то она удовлетворяет условию Вейерштрасса (1.54).
Как уже отмечалось, реализующая сильный минимум функционала кривая у = у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера. Поэтому сначала решается уравнение Эйлера и находится экстремаль у = у(х). Затем на полученной экстремали у = у(х) Проверяется условие Вейерштрасса (1.54). Пример 1.5. В и.
! .1. (пункт 3) были рассмотрены два примера и показано, что функция у=х доставляет сильный минимум функционалу и только слабый минимум функционалу ! з' =1(~'М. е Проверим двя каждого из этих примеров выполнение условия Вейерштрасса сильного минимума функционала. для первого примера Е(х,у,у',у') (!")з — 1з -(1" — 1).З Функция Е представляет собой параболу. Исследован зту функцию на максимум и минимум, легко установить, что пип Е = О и достигается в точке У' = 1. Таким образом, линия у = х удовлетворяет необходимому условию Вейерштрасса сильного минимума функционала Для второго примера Е(х,У,у',У) (У)З !З (У 1) З т.е. функция Е представляет собой кубическую параболу.
Кубическая парабола может принимать отрицатехьные значения, и, следовательно, линия у = х не удовлетворяет необходимому условию Вейерштрасса сильного минимума функционала. 1.4. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ МИНИМУМ В вариационном исчислении задачами на условный экстремум называют такие задачи, в которых минимум функционала ищется не на произвольных функциях, а на функциях, которые удовлетворяют некоторым дополнительным (кроме граничных) условиям. Рассмотрим сначала наиболее простой вариант вариационной задачи на условный минимум.
Глава 1. Ва иационное исчисление 457 Задача Лагранжа. Пусть требуется найти минимум функционала ь /=)ГЬ(х,ус,у2,- у.,ус,у2,",у„')с".с, и (1.55) при условии, что допустимые функции у,(х) (! =1,и) удовлетворяют граничным условиям у, (а) = А„у,(Ь) = В, (!' = 1, и) (1.56) и /с уравнениям связи 8,(х,ус,у2,... у )=О (2=1/с) /с<л (1.57) Предполагается, что граничные условия (1.56) не противоречат уравнениям (1.57), т.е. 8,(а А„...,Ал) = О, я, (Ь, В„..., Вл ) = О„!' = 1, /с. Пусть, далее, условия связи (1.57) являются независимыми, т.е. для всех значений х, уп у2,..., ул, удовлетворяющих условиям (1.
57), д8! д8! д8! ду! ду2 дул гапй дйь д82 дйь ду! ду2 дул В рассматриваемой задаче минимум функционала (1.55) ищется не на произволь- ных функциях у,.(х) (! = 1,Й), а только на тех из них, которые удовлетворяют /с- уравнениям связи (1.57). Сформулированная задача на условный экстремум называ- ется задачей Лагранжа с голономными связями. Ниже для решения задач на условный экстремум используется некоторый стан- дартный прием. Этот прием не будет строго обосновываться.
Однако он является очевидным на эвристическом уровне и позволяет очень просто получить необходи- мые условия экстремума в форме уравнений Эйлера. Рассмотрим вместо функционала (1.55) функционал ьГ ./=~~Г(х,у,у)+~1 (х)8,(х,у) с/х, и 2 ! здесь /с,(х) — некоторые неизвестные функции (неопределенные множители Лагран- жа), У =(Уп...,Ул) и У'=(У,',...,У„') — л-меРные вектоРы. БУдем искать безУсловный минимум функционала (1.58), полагая, что он задан на функциях у,(х) (/ = !,л) и /с (х), / =1,л (на функции /с (х) граничные условия не накладываются). Очевидно, множество значений функционала (!.58) включает в себя множество значений функ- ционала (1.55) при ограничениях (1.57).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
