Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Далее, если выполнены уравнения связи (1.57), то функционал (1.58) совпадает с функционалом (1.55) при любых множите- ляхЛагранжа Х,(х) (7'=1,Й). Функции у,(х) (!'=1,и) н Х (х),7'=1,л, доставляющие безусловный минимум функционалу (1.58), должны удовлетворять следующим уравнениям Эйлера: 458 Методы тео ии оптимального п авления. Часть П! (1.59) У =1,8. 8 (х.у) = О, Из (1.59) следует, что безусловный минимум функционала (1.58) достигается на функциях, которые удовлетворяют уравнениям связи (1.57), т.е. безусловный минимум функционала (1.58) достигается в точке, в которой он совпадает с функционалом (1.55).
Поскольку при этом выполняются также уравнения связи (1.57), то, очевидно, соотношения (1.59) следует рассматривать как необходимые условия экстремума сформулированной выше вариационной задачи (1.55) — (1.57). Уравнения (1.59) называются уравнениями Эйлера — Лагранжа. Сформулируем окончательный результат. Итак, если функции у, (х) (! =1,п) доставляют экстремум функционалу (1.55) при граничных условиях (1.56) и ограничениях (1.57), то найдутся такие множители Лагранжа Х (х) (у = 1,А), что функции у,(х) (1=1,п),Х,(х) (/=1,8) удовлетворяютуравнениям Эйлера — Лагранжа(1,59). Соотношения (1.59) представляют собой систему из (п+8) уравнений относительно (п+А) неизвестных функций у,(х) (1=1,п) и Х,(х) О =1,Й).
Далее, и из этих уравнений являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Поэтому общее решение системы (!.59) будет содержать 2п произвольных констант, для определения которых следует использовать 2п граничных условий (1.56). Рассмотрим задачу на условный экстремум, когда уравнения связи содержат производные. Пусть требуется найти минимум функционала (1.55) при условии, что допустимые функции у, (х) (1= 1, п) удовлетворяют граничным условиям (1.56) и уравнениям связи Ф (х,у,у')=0 (у=1,8), /с<и.
(1.60) Как и выше, уравнения связи будем считать независимыми, т.е. будем полагать, что следующая матрица дФ, дФ! дФ, ду! го'2 дуи дФь дФх дФ„ ду[ Ф2 ду ,У = ~ Р'(х, у, у ') + ~ Х (х) Ф (х, у) а(х. а [. Зго (1.61) Для функционала (!.61) уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид (1.62) г'=1,Е Ф (х,у)=0, имеет ранг я вдоль кривой, доставляющей минимум, для всех х е [а,Ь!. Как и в предыдущем случае сформулированная задача на условный минимум сводится с помощью неопределенных множителей Лагранжа к задаче на безусловный минимум для функционала 459 Глава 1. Ва иационное исчисление Уравнения (1.62) являются необходимыми условиями экстремума функционала (1.55) при наличии дифференциальных связей (1.60) и граничных условий (1.56).
Соотношения (1.62) представляют собой систему из (л+Уг) уравнений относительно (и+я) неизвестных у,(х) (У= 1,и), Х (х) (у =1,«). Задача Больца. В классической постановке задача Больца формулируется следующим образом: в классе функций у;(х), 1=1,л, х, <х<хз, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям Ф (х,у,у ) =О, у =1,а, Ус <и и условиям лля концов у„(х„у(х,),х„у(х,)) = О, р = 1, р, р < 2л+ 2, найти функцию у(х), на которой функционал .У = д(хпу(х>),хз,у(хз))+ [ У(х,у,у')г(« ч достигает минимума. Здесь, как и выше, у н у' — векторы.
Задача Майера с подвижными концами является задачей Больца, в которой функ- цияУ'тождественно равна нулю, а задача Лагранжа — частный случай задачи Больца, когда в выражение для функционала.У не входит функция я. С помощью простых преобразований легко убедиться, что задача Больца приво- дится как к задаче Майера, так и к задаче Лагранжа. Действительно, задача Больца эквивалентна задаче Майера относительно неизвестных функций у(х), у„„(х), 1=1,л, х, эх <хм удовлетворяющих (гл+1) уравнениям связи Ф (х,у,у') =О, (У =1,т),у„'» — У'(х,у,у') =О, (р+1) граничным условиям у (х„у(х,),х„у(х,)) =О, р — 1,р,у„„,(х,) =О, н функционал ,У = я(хп у(х, ), хз, у(хз )) + у„„(х, ) . Далее, задача Больца эквивалентна задаче Лагранжа с неизвестными функциями у,(х),у„„(х), ! =1,щ «~ <« <хм удовлетворяющими уравнениям связи и граничным условиям Ф (х,у,у')=О,у„',=О, у'=!,гл, ъ~у(«~у(х))~«~у(хз))0$«1руям(х~)0 Я хз — х~ и с функционалом вида У = [ [У(х,у,у')+у„,)с(«.
х, Из изложенного материала, таким образом, следует, что этн три задачи имеют равную степень общности. 460 Методы тес ии оптимального п авления. Часть 1П 1.6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.6.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Рассмотрим технический объект, движением которого можно управлять. Пусть движение объекта задается системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши дхг (!.63) Обозначим х =(хг,...,х„) — п-мерный вектор состояния, и =(иг, „и ) т-мерный вектор управления.
Относительно управления и будем предполагать, что вектор и является кусочно-гладкой функцией, имеющей конечное число разрывов первого рода. Управление и может принимать свои значения из некоторой ограниченной области Ег. Область (г' можно задавать, например, неравенствами (1.64) Векторное пространство с декартовыми координатами х„х„..., х„обозначим Х и будем называть фазовым пространством системы (1.63). Каждому вектору х в фазовом пространстве соответствует некоторая точка. Если задано управление ц(г) =(и (г),...,и (г)), гь < г < г,, и начальное условие х(гь) = х =(х,,...,х„), то решение системы (1.63) будет определять движение объекта. В фазовом пространстве Х этому движению соответствует фазовая траектория х(г)=(х,(г),...,хн(г)).
В этом случае говорят, что управление ц(г), г, < г < г,, переводит фазовую точку из начального положения х(гв) = хь в конечное положение х(Гг) = хг (хг =(хгг,...,хг)). Рассмотрим следуюшую задачу. Требуется среди упраачений н(г) и сг', гь < г < г, (моменты времени гь и гг нефиксированы), переводящих фазовую точку х из заданного начального положения х в заданное конечное положение х, найти такое, о которое доставляет минимум функционалу у = ) .гь("г " ." иг ". им)агп (1.65) гг Управление ц(г), региающее поставленную задачу, называется оптимальным управлением, а соответствующая ему фазовая траектория х(г) — оптимальной фазовой траекторией.
Иногда вместо начальной н конечной точек фазового пространства задаются начальные и конечные многообразия. Например, в фазовом пространстве Х системы (1.63) заданы многообразия з„и зг, опредютемые системами уравнений згг гвг(хг хз хл) 0 1 1 го гг <и зг. ~)„(хг,хз,...,х„)=0, ч=!,й, г <п. Требуется среди уггравлений н(г)п(г', гь <г<б, переводящих фазовую точку с многообразия зь на многообразие зь найти такое, которое доставляет минимум функционалу (1.65).
Такую задачу оптимального управления называют задачей с подвижными концами. Сформулированная задача оптимального управления является вариационной задачей на условный минимум. По сравнению с классическим вариантом, данная зада- Глава 1. Ва иацнонное исчисление 461 а,(и„,) = и - у» (» ) = О, 7' = 1, Функции у,(»,) должны удовлетворять следующим условиям; шах у.,(»,) = А', х( ) На рис.
1.7 изображен график такой ф ункции. Рнс 1.7. График функции у, (» 1 Р ассмотрим следующую задачу Майера вариационного исчисления. Требуется среди функций х (г), и(г), » (1),! = Оп, 7' =1п, го < г < гн удовлетворяющих систе- ме дифференциальных уравнений Я,(х„хн...,х„,ио...,и )=х,— /,(хм....х„,ин...,и„,)=0, с'=Гп, (1.66) уравнениям в конечных соотношениях а (и,» ) = и, -)(,(»,) = О, / =1,т, а также условиям на концах сро(хо(го) х~(го) " х,(го)) =х(го) = О, ср~(х~(ь ),..., х„(г, )) = О, ! = 1, р, р < п; (3„(х,(г,),хз(0),...,х„(г, )) = О, » = !,lс, А < и, (1.69) найти такие, которые доставляют минимум функционалу .У = хо(0).
(1.70) Сформулированная задача Майера эквивалентна поставленной выше задаче оп- тимального управления с подвижными концами. Действительно, дифференциальные уравнения в этих задачах совпадают. Условие (1.67) позволяет свести ограничения (1.67) ча усложнена наличием ограничений типа неравенств (см.(1.64)). Ограничения типа неравенств практически всегда игаеют место в задачах оптимального управления техническими объектами.
Однако путем неслоокной подстановки ограничения типа неравенств могут быть легко сведены к ограничениям типа равенств, и тем самым задача оптимального управления сводится к вариационной задаче на условный минимум. Будем полагать, что функции У(х,н) ((=Оп), ср~(х) (1=1,р), (3„(х) (»=1,А) имеют непрерывные производные по всем своим аргументам. Пусть, далее область (7 задается неравенствами (1.64). Введем т дополнительных переменных»н»ы...,» и непрерывно дифференцируемые функции 463 Глава 1. Ва иационное исчисление ннтеРвале (1»,1 ), а чеРез х, (1), и (1), т (1), х, (1), Р (1) — значение пеРеменных в интервале (1,1,) . При получении вариации функционала сравниваются значения функционала на функциях х,(1), и (1), т (1) со значениями функционала на близких функциях х,(1)+Ьх,(1), и,(1)+Ьи,(1), »,(1)+5»,(1). Будем также варьировать моменты времени 1 и 1,.
При этом необходимо различать «вариацию точки», например, Лх,"(! ) от «вариации в точке» Ьх,'(1*): Лх,'(1 ) = х,'(1 +51*)+Ьх,'(1 + 51 )-х,'(! ) = Ьх,"(! )+х,'(! ) Ь! . Вообще, имеют место следующие равенства: дх«(! )-Ьх~(! )+ — '~ха(! )] Ь! й' Лх,'(1!) мЬх,'(1,)+ — [х,'(1!)] 51!, ! =О,л. Выпишем разность Л.У = хО (1! +51!)+Ьх» (Е! +51!) — х» (1! )+ (Ь; ~5; !о -д —,х,и — ! )! [а (и +Ьи,т +5» )- Л -а,(и,», ))Ф+ Ц,,'~'~( (1' ! '!1 -»~ — ',*', 'Я-Ен' [,(;+~;,;+~;)-,(;,;ф+ у=! +) , 'Х;.л, — '+ — ',х +Ьт,и +Ьи ! ! + )! ~),' д, — '+~~',х'+Ьх',и'+Ьи' !=! ) Х; д, — '+ — ',х'+Ьх',и'+Ьи' 464 Методы тео ии оптимального п авленил. Часть!П -Тц'- ( ' 5 ', ' ° Б '))й+ 1ы я +~Р~ 'Р1(хс«с)' Ьхс«е)" «с)+Ьх «с))+ 1ев +~р„'д„(х'«, +Ь1,)+Ьх'«, +Ьг,))- ч=! ~~' Рг '<Р1(хо«е) х «о)) -~Р 'Р,(х «~)) 1РО ьм здесь Х=(хн ...,х„) и ЬХ=(бх„..., Ьх„) — векторы. Выделим гла часть прирашения функционала Л1 =Ьх'«1)+ — (хо«,)~ Ж+ Ы1 ("~дд, Нх, "дя, дя, 1 ,„~ =е~дх, Й, 1дх, ' ьм ди„ дц, дя ~ди дг ~дя, сЕ,' " дя,, " дя, , (да, да '( ди', дг' д(Р~ " дб +Йр Х ' .Ь, «)+~р,' Х " Ь*,'«)- 1ьо I Одху «О) ьы я 1дх~ «!) дб„ +Ч~„р'„.~ " х,'«,) Ь1,.
юы дх~ «~) Воспользуемся формулами ) А, «) ' й=я, «) Ьх, «)!' — ~ — ' Ьх, «)г11= Ыбх,-«), ' а;«) с11 ' ' 'о й и и аную линейную (1. 73) Ьх, «) . Тогда вариация функционала примет вид: = Ъ., « )'Ьх, « ) — к, «о) Ьх, «о) — ) — Ьх, «)с(1, с(А, «) н ~Х,'«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
