Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000) (1095389), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Таким образом, ь ЬУ =) (Р»(хуу) Ь+Ру(х,у,у) Ь')Ых. (1.16) а Выполним интегрирование по частям: ь ь ь ~ Р» . Ь' Их = Р» . Ь) -/Ь вЂ” Е ° а!х . О О О Принимая во внимание граничные условия (1.14), дифференциал функционала (1.16) перепишем в виде ьГ и=!(»,1*,,, ! — »,,~, »1]. и~ О (1.17) Если функция у(х) доставляет минимум функционалу (1.11), то в соответствии с теоремой 1.1 дифференциал функционала равен нулю. Таким образом, можно записать: ~ ~Р» — — Р;,. Ь(х) ь(х = О. »Г г! (1.18) О Равенство (1.18) должно иметь место для произвольных функций Ь(х), удовлетво- ряющих граничным условиям (!.14).
Это возможно, если функция Ь(х) умножается на нуль, т.е. если выполняется равенство Р»(х, у, у') - — Р» (х, у, у') = 0 . в' (1.19) Математически строгий ответ на этот вопрос дает следующая лемма. Лемма (лемма Лагранжа). Пусть т! (х) — непрерывны функция Если функционол ь .У(Ь) = ~ ь!(х).Ь(х) дх = 0 О для любых функций Ь(х) н С! и удовлетворяющих граничным условиям (1.14), то п(х) вО. Доказательство.
Пусть в некоторой точке хв (а<хе <Ь) функция г!(х) иО. Положим для определенности, что г!(хь) >О. Поскольку функция ц(х) непрерывна, то найдется интервал (Р,, г, з) ~'1а, Ь) и содержащий точку хь, в котором функция ц (х) > 0 . В качестве Ь(х) выберем следующую функцию ~(4,-х) (гз-х)з, если хн(~и~з), Ь(х) = !!О, если ха(Рпсз).
Глава 1. Ва иационное исчисление 447 ь = ГЬ.(у,у)(. а Выпишем для функционала (1.20) уравнение Эйлера: у;(у,у')-у;у(у,у').у'-у,у(у,у).у" =о. Умножим это уравнение на у': у' Р,-(у'3' Р;у-у' у" У,у =О. (1.21) Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение (1.21) эквивалентно урав- нению — (Р -у' У,,)=О. (1.22) Из (1.22) следует Р'-у' Р' ° =с, у здесь с — произвольная константа. (1.23) Пример 1.4. На плоскости запалы две точки с координатами (а, А) и (Ь, В) (рис ! 2). Требуется среди гладких линий у = у(х), соединявших копны этих точек, найти линию, которая при вращении ев вокруг оси х образует поверхность наименьшей плошали.
При вращении элемента дуги г6 (см. рис. 1.2) образуется поверхность, имеюшая плошадь Легко видеть, что выбранная таким образом функция )з(х) является непрерывно дифференцируемой и удовлетворяет условиям (1.14). Однако на этой функции ь сг ~з)(х) )з(х)гзх = ~ т) (х) (Ьн -х) (Ез-х)~г(х > О, а 1г т.к. под знаком интеграла стоит положительная функция. Полученное противоречие доказывает лемму. Если теперь к равенству (1.18) применить доказанную выше лемму, то получим уравнение (1.19). Уравнение (1.! 9) называется уравнением Эйлера. Отметим, что приведенный выше вывод уравнения Эйлера справедлив, строго говоря, если предположить наличие у функции у(х) второй производной.
Однако, если усложнить рассуждения, можно получить уравнение Эйлера, не делая предположения о существовании второй производной функции у(х). Таким образом, функция у(х), являющаяся решением поставленной выше простейшей задачи вариационного исчисления, должна удовлетворять уравнению Эйлера. Уравнение Эйлера является необходимым условием слабого минимума функционала (1. 11) при граничных условиях (1.12). Выпишем уравнение Эйлера в развернутой форме: Ь" (х,у,у')-Р' „(х,у,у')-Р' ° (х,у,у') у'-В',, (х,у,у') у" =О.
Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции у(х). Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные, которые можно определить с помощью двух краевых условий (! .12). Функцию у(х), удовлетворяющую уравнению Эйлера, называют экстремалью. Рассмотрим частный вид уравнения Эйлера, который соответствует случаю, когда подынтегральная функция функционала не зависит явно от х, т.е, когда функционал имеет вид Методы тес ии оптимального п деления.
Часть 111 а при вращении линии у=у(х) — поверхнос<ь, площадь которой ь (" э' П= 2П ) у~1-~( — ) Ах (1.24) Таким образом, требуется найти минимум функционала (1 24) при выполнении граничных условий у(а)=А, у(Ь)=В (1 25) Так как подынтегральнвя функция функционала (! 24) не зависит от х, то можно записать первый интеграл уравнения Эйлера в форме (1 23) (! 2б) Рис. 1.2.
К решемню зада <и оптимизации Из(1 2б)следует -Ю или Ау Разделяя переменные и выполняя интегрирование, найдсм С ассой — = х + С,, У С здесь С, — произвольная константа. Окончательный результат имеет вид к+С, у=с'Ь вЂ”. С Произвольные постоянные С и С, определяютсл из условий (1.24), которые приводят к уравнениям А=С сй — ', В=С сй — ! о+С, Ь<-С С ' С (1.27) В зависимости от конкретных значений чисел а, А, Ь, В возможны следующие три случая. !. Уравнения (127) имеют единственное решение, те.
существует единственная кривая вида (1.28) прохоля шва через задамные точки (а, А) и (Ь, В). Эта кривая и является решением задачи. 2 Уравнения (! 27) имеют два решения, т е существуют две кривые вида (1.28), проходящие через за- ланные точки (а, А) и (Ь, В). В этом случае одна из этих кривых доставляет минимум функционала, а дру- гая нет Определить реализуюшую минимум функционала функцию у(х) можно путем непосредственного вычисления интеграла (! 24) вдоль каждой из этих линий 450 Методы тео ии оптимального авления. Часть 111 Воспользовавшись приведенной выше леммой Лагранжа, из (1.34) получим уравне- ние Эйлера 5.2.
эАдАЧА с поу~вижными концАми. УСПОВИЕ ВЕИЕРШТРАССА — ЭРДМАНА 1.2.1. ОН1ЦЛЯ ФОРейУЛД ВДРИДЦИИ ФУНКЦИОНалд Рассмотрим функционал ./= ) Е'(х,у,у')о1х. (1.37) Будем предполагать, что концы тех кривых у = у(х), на которых определен функ- ционал, можно сдвигать произвольным образом. Пусть у = у(х) и у = у(х) — две близкие кривые (рис. 1.3). Рие. 13. К выбору обшей формулы вариаини фуннинонала Функция у(х) определена в интерваке хо < х ь х,, а функция у(х) — в интервале хо+бхо <х<х1+бх~. Функции у(х) и у(х) определены на разных интервалах.
Чтобы дальнейшие рассуждения имели смысл, продолжим эти функции гладким образом на интервал, включающий в себя интервалы определения функций у(х) и у(х) . Для этого можно, например, провести касательные в конечных точках кривых. Расстояния между функциями у(х) и у(х) зададим соотношением Р(у у) =ш~~~~у-у~+ша~х~у'-у1+Р(ро Ро)+Р(рп))), (1.38) г" — — г' ° = О. (1.35) », (х», Уравнение (1.35) можно получить указанным выше способом для любого индекса 1. Таким образом, функции у,(х) (1 =1,и), решающие поставленную выше задачу, т.е. доставляющие минимум функционалу (1.29) при граничных условиях (1.30), должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Эйлера Р» — ~ г» = 0 (1 = 1, л). (1.36) Отметим, что как уравнение Эйлера (1.19), так и система уравнений (1.36) являются необходимыми условиями экстремума функционала, т.е. как минимума, так и максимума функционала..
Глава 1. Ва иационное исчисление 451 здесь а(р(у + Ь,у)) 1ап =О. р о р(у+Ь,у) Выполним интегрирование по частям ") Ру Ь'Ь=РР1 Ь(,)-РР1 Ь(~)-()Ь.фР,,Ь. «1 «~ «! Тогда равенство (1З9) можно записать в виде .«1 !З / = ) [Р (ху, у )- — Ру(х,уу )~Ь(х)((х+ +Р ~ .Ь(х!)-Р ~ !-Р~ бх! — Р~ бхо+а(р(у+)!,у)). «1 «« Из рис.
1.3 видно, что буо =Ь(хо)+у'(хо) б, бу! Ь(х!)+у'(х!) 8 !. (1.41) В равенстве (1.41) отброшены члены, имеющие порядок малости выше первого. Из (1.40), отбрасывая слагаемые, имеющие порядок малости выше первого, и принимая во внимание (1.41), окончательно получим .«1 87 = )' [Р (х, у, у') - — Р' (х, у,у')1 Ь(х) Ых+ ж +Ру~ ' бу! + ~Р У Ру']~ ' бх! гу~ 'буо (Р У Ру]~ ' бхо' (1.40) здесь р(Ро,Ро)) и р(Р„Р,) — расстояние соответственно между левыми и правыми концами кривых у = у(х) и у = у(х), Š— указанный выше интервал определения функций у(х) и у(х).
Обозначим координаты кривой у=у(х) соответственно (хо,уо) и (хну,), а координаты концов проварьированной кривой у=у(х) (хо+бхо,уо+буо) и (х, +бх,,у, +бу,). Положим у(х) =у(х)+Ь(х). Функции у(х) и у(х) полагаются близкими в смысле расстояния (1.38). Рассмотрим приращение функционала (1.37): «)«.о«) Ь1 = ] Р (х у+Ь,у'+Ь')йх — )' Р(х у,у')!зх = «д«о а, «« «! +о«! = ] 1 Р(х, у+ Ь,у'+ Ь )- Р (х, у,у')] ах+ ) Р (х у+ Ь у'+ Ь')г!х— «, "е+ь«« Р(х, у+ Ь, у'+ Ь') !тх.
«« Воспользовавшись формулой Тейлора и применив теорему о среднем„получим !«,«' = ) (Рх(х,у,у') Ь(х)+Ру(х,у,у').Ь'(х)]а!г+ +Р(х,у,у')~ бх, — Р'(х,у,у')~ бхо+о(р(у+Ь,у)), 452 Методы тео ии оптимального веления. Часть 111 Равенство (1.42) задаЮт обшую формулу вариации функционала (1.37). Вариация функционала в задаче с закрепленными концами следует из (1.42), если положить Ьу~ =Ьуо =Ьх~ =Ьхо =() 1.2.2.
ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ Рассмотрим функционал у(у)=) г(х,у,у')~(х, (1.43) Рнс. Ь4. К рассмотрению задачн с ыодвымнымн коынамн Из (1.42) с учЕтом уравнения Эйлера следует, что ЬУ=Р' ~ Ьу~4.(г -у'.г" ~) Ьх,— Ру'~ 'Ьуо (г у '~у'~~ 'Ьхо' Далее, из рис. 1.4 находим Ьу~ = Ч' (х~)'Ьхн Ьуо 'р (хо)'Ьхо. Вариация функционала принимает вид ЬУ=~Ру Ч~'+Г-у' Ру~~ Ьх,-~Р' ср '+Р-у' Ру~~ Ьхо.
«! (1.44) «с определЮнный на гладких кривых у = у(х). Требуется среди линий у = у(х), концы которых лежат на двух заданных кривых у = ср(х) и у = у(х), найти линию у = у(х), доставляющую слабый минимум функционалу (1.43). В отличие от рассмотренной выше задачи вариационного исчисления, в которой концы линий у = у(х) строго фиксированы, в данном случае появляется некоторая свобода в выборе концов линий у = у(х): левым концом может быть любая точка линии у = ср(х), а правым концом— любая точка линии у = у(х) .
Воспользуемся общей формулой вариации функционала (1.42). Если некоторая кривая у = у(х) доставляет минимум функционала (1.43) в рассматриваемой задаче с подвижными концами, то она тем более доставляет минимум функционалу (1.43) по отношению к более узкому классу кривых, имеющих те же концы, что и линия у=у(х). Отсюда следует, что функция у(х), решающая поставленную задачу, должна удовлетворять уравнению Эйлера. Глава 1. Ва иационное исчисление 453 В соответствии с теоремой 1.1 запишем условие минимума функционала: Ь,У=[В ° ц~'+с -у' Р )) .Ьх,— (1.45) — [г" ° ср'+г" — у' Р' ~) Ьхь =О.
"О Поскольку Ьхь и Ьх, — независимые приращения, то из (1.45) находим [Ру у'+Р'-у' Р ~~ =О, и [г яь'+Р-у' Р 1) =О. Равенства (1.46) носят названиче условий трансвврсальности. При решении вариационной задачи с подвижными концами необходимо сначала решить уравнение Эйлера, общее решение которого будет содержать две произвольные константы, а для определения указанных констант следует воспользоваться условиями трансверсальности (1.46). Иногда встречается смешанный случай, когда один конец кривой у = у(х) закреплен, а второй — подвижен. В этом случае условие трансверсальности записывается только для подвижного конца траектории. (1.46) 1.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
