Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если учесть, что в один опционный контрактвходят 100 акций, на пять опционных контрактов необходимокупить 200 акций.210Для рассмотренного выше примера дельта всей позиции инвестора равна нулю, поскольку дельта акций полностью компенсирует дельту опционов. Позицию с дельтой, равной нулю,называют дельта нейтральной.На практике величина дельты постоянно меняется. Поэтомупозиция вкладчика может оставаться дельта нейтральной, то естьдельта хеджированной, только в течение довольно короткого периода времени. В связи с этим при страховании дельтой хеджированные позиции должны периодически пересматриваться.Пример.
Продолжая условия предыдущего примера, допустим,что через некоторое время дельта возросла с 0,4 до 0,5. Это означает,что для сохранения хеджированной позиции необходимоприобрести еще0,1 × 500 акций = 50 акций.Мы рассмотрели опцион колл. Для опциона пут следует сделатьследующее дополнение. Поскольку дельта опциона пут отрицательна, то, покупая опцион, инвестор должен купить соответствующее число единиц актива.
Продавая опцион, инвестор долженпродать соответствующее число единиц актива.Дельта европейского опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, равна:∆ = N (d1 )где d1 =(79)ln(S X ) + rT 1+ σ T2σ TХеджирование дельтой предполагает приобретение акций в количестве N(d1) при продаже опциона и продажу N(d1) акций припокупке опциона. Для европейского опциона пут на акции, невыплачивающие дивиденды, дельта равна:∆ = N (d1 ) − 1(80)Дельта европейского опциона колл на индекс акций, для которого известна ставка дивиденда, равна:∆ = e − qT N (d1 ),где d1 =ln(S X ) + (r − q + σ 2 2 )Tσ TДля европейского опциона пут она составляет:211(81)∆ = e − qT [N (d1 ) − 1](82)Для европейского опциона колл на валюту:∆ = E − rjT N (d1 ),где d 1 =(83)ln(S X ) + (r − rj + σ 2 2 )Tσ TДля европейского опциона пут∆ = e − rjT N (d1 ) − 1(84)Дельта европейского опциона колл на фьючерсный контракт∆ = e − rT N (d1 ),где d 1 =(85)ln(S X ) + (σ 2 2 )Tσ TДля европейского опциона пут на фьючерсный контракт∆ = e − rT [N (d1 ) − 1](86)На практике при хеджировании дельтой часто используют неактив, лежащий в основе опциона, а фьючерсный контракт наданный актив.
Срок фьючерсного контракта не обязательно должен совпадать с длительностью опционного контракта. Так, опцион, выписанный на индекс, можно хеджировать с помощьюфьючерсного контракта на индекс. Фьючерсная цена индекса, длякоторого известна ставка дивиденда, равнаF = e (r− q )T Sгде Т — время, остающееся до истечения фьючерсного контракта.При росте цены спот индекса на Δ S выигрыш от фьючерсногоконтракта составит:e (r-q)TΔS . Таким образом, дельта фьючерсного контракта равна е(r-q)T.Если общую требуемую величину дельты по активу, лежащемув основе опционного контракта, обозначить через А, а требуемуюфьючерсную позицию через АF, то число единиц актива фьючерсного контракта для дельта хеджирования будет равно:AF = e (r−q )T A212(87)Данная формула верна и для акций, выплачивающих дивиденды, для которых известна ставка дивиденда.
Для акций, не выплачивающих дивиденды, число единиц фьючерсной позиции равно:AF = e − rT A(88)Для контрактов на валюту формула примет следующий вид:AF = e (r −re )T A(89)Пример. Инвестор выписал 20 опционов колл на акции, не выплачивающие дивиденды. Каждый опцион насчитывает 100 акций. Дельта опциона равна 0,4.
Вкладчик планирует хеджироватьсвою позицию с помощью фьючерсного контракта. До истеченияфьючерсного контракта на данные акции остается три месяца,один контракт включает 250 акций. Непрерывно начисляемаяставка без риска равна 15%.Дельта инвестора по опционной позиции составляет:0,4 × (-2000) = - 800.Число единиц актива фьючерсного контракта равно:800e-0,15×0,25 = 770,5.Поскольку один контракт насчитывает 250 акций, это означает,что инвестору необходимо купить три фьючерсных контракта.ДЕЛЬТА ПОРТФЕЛЯПри хеджировании портфеля, в который входят несколько опционов на один и тот же актив, дельта портфеля будет равна суммедельт, входящих в него опционов, а именно:N∆p = ∑ pi ∆ i(90)i =1где Δ р — дельта портфеля;р i — число единиц опционов (в единицах актива) i-го опциона,Δ i — дельта i-го опциона.Пример. Инвестор открыл следующие позиции по опционнымконтрактам на акции компании А (каждый опцион насчитывает по100 акций): а) купил 80 опционов колл на три месяца, дельта равна0,45; б) продал 60 опционов пут на два месяца, дельта равна -0,5.Дельта портфеля в этом случае составит:8000 × 0,45 - 6000 × (-0,5) = 6600.213Это означает, что портфель можно сделать дельта нейтральным,продав 6600 акций компании А.в) ГаммаХеджирование дельтой позволяет инвестору застраховатьсятолько от небольших изменений цены актива.
Для хеджированияболее значительных изменений цены актива необходимо использовать такой показатель, как гамма. Гамма — это коэффициент,который показывает скорость изменения дельты по отношению кизменению цены актива, лежащего в основе опционного контракта. Она равна:δ 2Cr= 2δSгде Г— гамма.Графически гамма представляет собой кривизну дельты, то естьпоказывает, насколько быстро меняется кривизна графика дельтыпри изменении цены актива.
Поэтому гамму именуют еще кривизной опциона. Если гамма имеет небольшую величину, то этоозначает, что его дельта меняется на малое значение при изменении цены актива. Напротив, большое значение (по абсолютнойвеличине) говорит о том, что дельта будет меняться в существеннойстепени. В первом случае для поддержания дельта нейтральногопортфеля от инвестора не потребуется частого пересмотра своейпозиции. Во втором случае вкладчик будет вынужден часто пересматривать свой портфель, чтобы сохранить его дельта нейтральным. В противном случае он подвергает себя большому риску.Начинающим инвесторам следует избегать опционов с большойгаммой.
Большая гамма говорит о большом риске изменения ценыопциона в связи с изменением условий рынка. Гамма измеряетсяв дельтах на один пункт изменения цены актива. Например, гаммаравна 0,03. Это означает, что при повышении цены актива на одинпункт дельта опциона возрастает на 0,03 единицы. Наоборот, припадении цены актива на один пункт дельта понизится на 0,03единицы. Допустим, дельта составляет 0,4. При повышении ценыактива на один пункт дельта возрастет до 0,43.
Если цена активавозрастет еще на один пункт, то дельта увеличится до 0,46. Гамма,в отличие от дельты, является положительной величиной длядлинных опционов колл и пут. Поэтому, когда цена актива повышается, значение гаммы прибавляется к дельте, когда понижается,— отнимается от нее. Для коротких опционов колл и пут гамма214отрицательна. Зная значение гаммы, инвестор может поддерживать свою позицию дельта нейтральной, покупая или продаваясоответствующее число единиц актива для новой дельты.С изменением условий на рынке величина гаммы также будетменяться. Гамма достигает наибольшей величины для опционовбез выигрыша и уменьшается по мере того, как опцион все большестановится с выигрышем или проигрышем (см.
рис. 77). Значениегаммы меняется с течением времени и вследствие изменения стандартного отклонения цены актива (см. стр. 78). Как следует изграфиков, гамма опциона без выигрыша может резко возрасти приуменьшении времени до истечения контракта и уменьшении дисперсии цены актива.Гамма европейских опционов колл и пут на акции, не выплачивающие дивиденды, определяется по формулеГ=N ' (d 1 )Sσ Tгде d 1 =(91)ln(S X ) + (r + σ + σ 2 2 )Tσ TДля европейских опционов колл и пут на индекс с известнойставкой дивидендаГ=N ' (d 1 )e − qTSσ T, где где d 1 =ln(S X ) + (r − q + σ 2 2 )Tσ T215(92)Рис.78.
Зависимость гаммы от времени до истечения и дисперсии ценыактиваДля европейских опционов колл и пут на валютуN ' (d 1 )e − rjT(93)Г=Sσ TДля европейских опционов колл и пут на фьючерсные контрактыГ=N ' (d 1 )e − rjTFσ T(94)Для того, чтобы застраховать свой портфель от изменения ценыактива, лежащего в основе опциона, инвестор должен создать позицию с нейтральной гаммой. Допустим, вкладчик имеет дельтанейтральный портфель, гамма которого равна Г. Он открываетпозиции еще на n опционов, гамма каждого из которых равна Гn.Тогда гамма нового портфеля будет равна.Гv = Г + Гn n(95)где ГV — гамма нового портфеля.Из формулы (95) видно, что для формирования гамма нейтрального портфеля инвестор должен открыть позиции по опционам вГколичестве n = −ГnИнвесторсформировал дельта нейтральный портфель,Пример.гамма которого равна 120.
Гамма опциона (100 акций) равна 1,2.Портфель будет гамма нейтральным, если инвестор откроет короткую позицию по 120 : 1,2 = 100 опционам.216а) ТетаТета — это коэффициент, который показывает, с какой скоростью падает цена опциона по мере приближения срока истеченияконтракта при сохранении прочих условий рынка измененными.Она равна Θ =∆c∆Tгде Θ - тета.
Тета измеряется в пунктах за одиндень. Например, тета равна 0,2. Если опцион стоит сегодня 1,5долл., то завтра его цена должна составить 1,3 долл. Посколькутета говорит об уменьшении цены опциона, то ее значение записывается как отрицательная величина. Так, для приведенноговыше примера тета будет равна -0,2. Поэтому для длинной позициипо опционам тета является отрицательной величиной, а для короткой — положительной. (Исключением из данного правила будетевропейский опцион, если его теоретическая цена меньше внутренней стоимости. Он имеет положительную тету.
Стоимость опциона будет постепенно приближаться по величине к внутреннейстоимости по мере приближения срока истечения контракта.)Практически для всех опционов значения теты и гаммы будутиметь противоположные знаки. Взаимосвязь между этими показателями также проявляется в величине их значения, а именно,высокой положительной тете будет соответствовать большая отрицательная гамма, и наоборот.Большая тета говорит о том, что существует высокий риск обесценения опциона по мере приближения срока истечения контракта.Как следует из рисунка 79, наибольшее значение теты (по абсолютной величине) имеет опцион без выигрыша и ее значениесильно уменьшается по мере приближения срока истеченияконтракта.Для европейского опциона колл на акции, не выплачивающиедивиденды, тета равна:SN ' (d 1 )σ(96)Θ=− rXe − rT N (d 2 ),2 Tln(S X ) + (r + σ 2 2 )Tгде d 1 =; d 2 = d1 − σ T ;σ T1 − x2 2N ' (X ) =e2πДля европейского опциона путSN ' (d 1 )σ(97)Θ=−+ rXe − rT N (− d 2 ),2 T217рис.
79 Зависимость теты от времени истечения котрактаДля европейского опциона кол на индексΘ=−SN ' (d 1 )σe − qT2 Tгде d 1 =+ qSN (d1 )e −qT − rXe − rT N (d 2 ),ln(S X ) + (r − q + σ 2 2 )Tσ T(98); d 2 = d1 − σ TДля опциона путΘ=−SN ' (d 1 )σe − qT2 T− qSN (− d1 )e −qT + rXe −qT N (− d 2 ),(99)Для европейского опциона кол на валютуΘ=−SN ' (d 1 )σe − rjT2 T+ rjSN (− d1 )e −rjT − rXe −rT N (d 2 ),(100)Для европейского опциона путΘ=−SN ' (d 1 )σe − rjT2 T− rjSN (− d1 )e − rjT + rXe −rT N (− d 2 ),Для европейского опциона кол на фьючерный контракт218(101)FN ' (d 1 )σe − rTΘ=−+ rSN (d1 )e − rT − rXe − rT N (d 2 ),2 T(102)Для европейского опциона путFN ' (d1 )σe − rTΘ=−− rSN (d1 )e − rT + rXe −rT N (− d 2 ),2 T(103)д)ВегаВега — это показатель, который говорит о том, на сколькопунктов изменится цена опциона при изменении стандартногоотклонения лежащего в его основе актива на одинпроцентныйΔCпункт.
Она равна B =где В — вега. Так как при росте стандарΔσтного отклонения премия опциона возрастает, вега положительнадля опционов колл и пут. Например, стоимость опциона равна 3,5,вега равна 0,2. Это означает, что при увеличении стандартногоотклонения на 1 % опцион будет стоить 3,7, при понижении на 1 %— 3,3. При прочих равных условиях наибольшее значение вегиимеет опцион без выигрыша. Величина веги уменьшается по мереприближения срока истечения контракта (см. рис.80).Зависимость значения веги от цены актива представлена нарис. 81.219Если портфель инвестора имеет значение веги, равное Вр, то длятого, чтобы сделать его вега нейтральным, вкладчик должен занятьBpпозицию по опционам в количестве , где В — вега приобретаBемого (продаваемого) опциона. Как правило, хеджер не сможетполучить одновременно гамма и вега нейтральный портфель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
