Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 42
Текст из файла (страница 42)
129. Если г(Р, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е =О). Ргс. 12П 4. Поле объемно эаряженногв шара. Шар радиуса )< с обшим .<арндом 9 заряжен равной<2 мерно с объемной плотностью р (р=-- — — эаб(г рнд, приходншийся на единицу объема). Учитывая соображения симметрии (см п.З), можно показать, что для напрнженности полн ане шара получитси тот же результат, что и в предыдущем случае (см (82 3)) Внутри же шара напряженность поля будет другая Сфера радиуса г(й< охватывает заряд <3'='/,я г" р. Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), 4л г'э Е= =-<г'/<э= /зпг'зр/г<, Учитывая, что р= =()/('/зл/(з), получим г (г <ъ(7) (82.4) ! Я 4л з„)(з Таким образом, иапряч<енность поля ане равно.
мерно заряженного шара описывается формулой (82.3), з внутри его измеииетсн линейно с расстониием г' согласно выражению [82.4). График зависимости Е пт г приведен на рис (ЗО. 5. Поле равномерно заряженмого бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр 3 тыектр<юг<то < о лслтро<пп <ни и <и Риг. (ЗП 1хис 131 (83 1) 4<< ео 1 т Е= — — (г) Я). 2" во (82.5) Рис.
182 рвдиу а Я (Рис <811 з,<Рнжеи Равиочспна с ли 40 иейиой «лагкостью х (т= — — заряд, приха- 81 дяшийсн на единицу длины) Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены па радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно осн цилиндра Б качестве заминутой поверхности мысленно настроим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса г и высотой 1 Поток вектора Е скнозь торцы кавксивльнаго цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность — 2яг1Е Г!а теореме Гаусса (81,2), лри г~Я 2пг!Е=т1Уг< от- куда Если г.сЯ, та замкиутви новсрхн<кть зарядов внутри ие содержит, поэтому в этой области Е=О. Таким образом, напряженность паля вне равномерно зарнженного бесконечного цилиндра определяется выражением (82.5), внутри жс ега поле отсутствует.
2 83. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля Если и электростатическом пале точечношх заряда (;) нз точки ! в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. !32) перемешается другой точечный заряд („)о, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы Е на элементарном перемешенни б( равна дА=Е б(= 1 Мо =Е б( саз <х= —. — —, ()1 соз о. 4п ео га Так как б(соз п=бг, то Г) ьгв бА 2 8г' 4п го Работа при перемещении заряда Г)о нз Гв уг Аю=~ <1А= О~о " бг 4п ео, г' не зависит от траектории перемыцения, а определяется толька положениями начальной 1 и конечной 2 точек.
Следователь<<а, электростатическое пале точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы —. консерватнвнымн (см хх 12) 1'л а з и 1~ гьихтры:а~ныл 1 17 Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении элек. трического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути 1., равна нулю, т.
е. (83. 2) Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути 81 равна Е М = Е~ б(, где Е~= Е соха — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения.
Тогда формулу (83.2) можно записать в виде Е 01=~1 Е,б(=0. (83,3) Интеграл 1~) Е 41=(~1 Е,й! называется цир- куляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура ранна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным.
Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности элен. тростатического поля не мокнут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бегяонечность. Фар~ (83.3) справедлива танька для электг статического поля. В дальней. шем будет показано, что для ноля движущихся зарядов условие (83.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля). Ч 84. Потенциал электростатического полн Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа (см. 4 12).
Как известно (см. (12.2)), работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу (83.1) снл электростатического поля можно представить как разность потенциаль. ных энергий, которымн обладает точечный заряд Яю в начальной и конечной точках поля заряда Я: 1 (ЖО ! (до Аы== — — —— 4пеа г~ 4пао гэ (84.1) откуда следует, что потенциальная энергия заряда Сга в поле заряда гг равна 1')()з () = — -- +с. 4пея г Она, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С, Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (г- оо ) потенциальнап энергия обращается в нуль ((к =0), то С=О и потенциальная энергия заряда Ом находящегося в поле заряда О на расстоянии г от него, равна (/ = — — — —.
(84.2) 1 Ж~ 4лзо Для одноименных ~арядов Г2о9)0 н потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов 9,9(0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжении) отрицательна Если поле создается системой и точечных зарядов Яь Оп ..., Я„то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом Яз, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из за. рядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия () заряда Ям находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий К, создаваемых каждым из зарядов в отдельности; П и= ~ (),=с),~~ — —. (84.3) Я ~=1 зк 4папг ' Из формул (84.2) и (84.3) вытекает, что отношение ()/(,1г не зависит от Ггр и является поэтому энергетической характеристикой электростатического поля, называемой потенциалом: (84.4) Ч==ИРо 3 '<кч трн <е<тза и тлгктрачн не<а <а 1зи 1 ч>= 4пеа (84.5) откуда <р = А /</а (84 9) Потенциал <р в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемаи потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.
Из формул (84.4) и (84.2) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом </, равен Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда <>а из точки 1 в точку 2 (см. (84.1), (84.4), (84.5) ), может быть представлена как А1>= (/1 — //э=</а (<р< — р>), (84.6) т. е.
равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в началь. ной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек / и 2 в электростатиче оком поле определяется работой,совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда нз /вт уг. Работа снл поля при перемещении заряда <7а из точки / в точку 2 может быть записана также в виде 2 А<>= — ~ <2аЕ д(. (84.7) Приравняв (84.6) и (84.7), придем к вы- ражению для разности потенциалов: > з <р, — Ч>з — — ~ Е д(=~ Е, д/, (84 8) 1 1 где интегрирование можно производить вдоль любой аннин, соединяющей началь- ную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.
Если перемещать заряд ч>а нз произ- вольной точки за пределы поля, т. е. в бес- конечность, где по условию потенциал ра- вен нулю, то работа сил электростатиче- ского поля, согласно (84.6), А =(/ ~, Таким образом, потенциал — физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.
Эта раб<я а численно равна работе, совершаемой внешними силами (против снл электростатического п<>ля) по перемещении> единичного положительного заряда из бесконечное~и в данную точку поля. Из выражения (84.4) следует, что единица потенциала "- вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки полн, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В=! Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная в $ 79 единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: ! Н/Кл= = 1 Н м/(Кл ° м) = 1 Дж/(Кл ° м) =- =1 В/м.
Из формул (84.3) и (84.4) вытекает, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал полн системы за. рядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов: 2 85. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности Найдем взаим<ювязь между напряженностью электростатическою> поля, являю- шейся его силовои характеристикой, и потенциалом - . энергетической характеристикой поля.
Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что то<ки расположены бесконечно близко друг к другу н хе — х>=дх, равна Е,дх. Та же работа равна <р, — <р>= — <1<р. Приравняв оба выражения, можем записать Е Ф д (85.
1) дх где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производит- 13Ч Г л а п г 11. Злск~рош гтикг а) Рис. 133 ся только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и г, можем найти вектор Е: Е= — ~ + 1+ й1, /дф, дф , дф 'х '! дх ду дх где 1, 1, й — единичные векторы координатных осей х, у, г.
Иа определения градиента (!2 4) и (12.6) следует, что Е= — ягаб ф, или Е= — т7 р, (85.2) т. е. напряженность Е поля ранна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала. Длп графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения (см.4 25), пользуются эквипотенцнальиыми поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал ф имеет одно и то же значение. Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5), ! Я вЂ” Таким образом, экви4лео потенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
