Трофимова Т.И. - Курс физики (1092345), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Применительно к электростатическим полям обе теории даки одинаковые результаты, хорошо согласующиеся с опытом. Переход же к явлениям, обусловленным движением электрических зарядов, приводит к несостоятельности теории дальнодействия, поэтому современной теорией взаимодействия заряженных частиц является теарцл близкгн)ействив, 9 80. Принцип суперпозиции электростатических полей. Поле диполя Рассмотрим метод определения значения и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поли, создаваемого системой неподвижных зарядов ()ь Яь ., С! .
л Ликгрнмюна и ахар ал~ш ~члч Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см 4 б), т. с. результирующая сила Г, действующая со стороны поля на пробный заряд 9м равна векторной сумме сил Г„ приложенных к нему со стороны каждого нз зарядов (),: Г=~' Гг (80.1) Согласно (7!!.1), Г=ОлЕ и Г,=ОАЕч где Š— напряженность результирующего поля, а Е, — напряженность поля, создаваемого зарядом Я, Подставляя последние выражения в (80.1), получим л Е=~ Ег (80.2) р=)9! 1, (80.3) совпадающий па направлению с плечом дипаля н равный произведению заряда Формула (80.2) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой заридаа, ранна леамегрической сумме напряженностей полей, создаваемых а данной точке каждым из зарядов н отдельности.
Принцип суперпозиции позволяет рас. считать электростатические паля любой системы неподвижных зарндов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов. ((ринцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь — система днух равных па мпдулю разноименных точечных зарядов ( + гч', — 1)), расстояние 1 между которыми значительно меньше расс~ояния да рассматриваемых тачек поля. Вектор, направленный па оси дипаля (прямай, проходящей через аба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя 1.
Вектор Рис. !22 ! Я ! на плечо 1, называется электрическим моментом диполя р нли дипольным моментом (рис. 122). Согласно принципу суперпазиции (80.2), напряженность Е поля диполя и произвольной точке Е=Е +Е где Ет н Š— напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля на продолжении асн диполя и на перпендикуляре к середине ега оси. 1.
Напряженность поля на продолжении ося днполя в точке А (рис. 123). Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна Ел=бе 1 ~ Я ЕА 4п е„~ (г — 1/2)' (г+1/2)з (г+ 1/2)э — (г — 1/2)э 4п еа (г — 1/2) (г+1/2) Согласна определению диполя, 1/2«г, по- этому 1 2О1 ! 2р А 4л еч г" 4п яп 2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины, н точке В (рис. 123). Точка В рваноудалена от зарядов, поэтому !7 Е =Е 4л га (г )т 1 1З/4 ! ~> 4зел (г') ' ' где г' — расстояние от точки В да середины плеча дипахн. Из подобии раннобед- !80.4) Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через г, на основании формулы (7йх2) для вакуума можно за- писать Г л а и а ! ! 7>лскыи сгхтп:,~ ьс! св Ет Ри.
!2! Рис. !ЗЗ Рл . !аз реииых треугольников, опираюпгихся на плечо диполя и вектор Еа, получим Е ,Я'+ф2) откуда Ел — — Е ~!7г'. (80.5) Подставив в выражение (80.5) значение (80.4), у Я! ! р 4л ео (г')т 4л ха (г,)з ' Вектор Еп имеет направление, противоположное электрическому моменту диполя (вектор р направлен от отрицательного заряда к положительному). 58!. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью при. наина суперпозиции электростатических полей можно значительно упрости~ь, исппльзуя выведенную немецким ученым К.
Гауссом ((777 в )855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность. В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса г, охватываю- щую точечный заряд 9, находящийся в ее центре (рис. (24), сох —— (~! Е„65=-- — 4л г =-- —.
(д э я 4л ечгт са Зтот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. (24) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность. Если замкнутая поверхность произвольной формы охватываез заряд (рис. !25), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит и нее, то выходит из нее.
Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток счи~ается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих 134 Д Злгктрн к««на и цк'ктрацжтн'ткач в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в повер. хность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд !',), поток вектора Е будет равен 1)/ам т.
е. Фь=(~> Е 65=!~> Е«85 =9/ва. (81.!) Знак потока совпадает со знаком заряда 1,1. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей и зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е,, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е=~ Еь Поэтому фг=у « ~«-у гт «) а-т Э «4«. Согласно (81,1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен О!/еа Следовательно, Е 08=1~) Е„65=--' ~" Яг (81.2) ео, Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на еь Эта теорема выведена математически длн векторного поля любой природы русским математиком М.
В. Остроградским (180!†!862), а затем независимо от него применительно к электростатическому палю — К. Гауссом В общем случае электрические заряды могут быть «размаэаиыь с некоторой б !',) объемной плотностью р= —, различной дУ' в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри за- мкнутой поверхности 5, охватывающей некоторый объем У, ~' (),=~ р бУ. (8!.З) Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так: ф Ебб=ф Е„85= — '~ рбУ. 3 5 О 2 82. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей н вакууме 1. Пале равномерна заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис 126) заряжена с постоянной поверхностной плотна- 69 стью +а (а= — — заряд, приходящийся на 65 единицу поверхности).
Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости н направлены ат нее в абе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленна построим цилиндр, основания котарага параллельны заряженной плоскости, а ась перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (саха=0), та поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь ега основания (плошади оснований равны и для основания Е„ совпадает с Е), т, е, равен 2Е5. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрическая поверхности, равен а5. Согласно теореме Гаусса (8!.2), 2Е5 = а5/«а, откуда Е = а/(2«п).
(82.1) Из формулы (82.1) вытекает, чта Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова па модулю, ины- з, ' « ' Ри, Гва Г л а и а 11;":иск< р< с~а<<и а Рис. 127 ми стонами, иоле равномерно заряженной плоскости однородно. 2. Поле двух бесконечнык параллельных разноимеино заряженных плоскостей (рис 127) Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +о и — и. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию иш<сй, создаиаемык каждой нз плоскостей а отдельности.
На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно зарнжеииой плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей полн вычитаются (линии напряженности направлены навстречу аруг другу), поэтому здесь напряженность ноля Е=О. В области между плоскостями Е=Е +Е. (Е. и Е определяются по формуле (82.1)), поэтому результируюшан наярижеииость Е=п/зп. (82 2) Таким образом, результирую<цаи напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне обьема, ограниченного плоскостями, равна нулю 3.
Поле равномерно заряженмой сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса )7 с обшим зарядом Я заряжена равномерно с поверхностной плотностью + и. Блнго- Ри . !23 ларя равномерному распределению заряда по поверхности ноле, спн<зааемое им, обладает сферической симметрией 1!оэтому линии напряженности направлены радиально (рис !28) Построим мысленно сферу радиуса г, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если г))7, то внутрь поверхности попадает весь заряд <2, соз!<аюсцнй рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), 4п г' Е= — <//з», откуда Е=- — - - —,. (г) )7) (82.3) 1 4л за При г эь)7 поле убываег с рагстояиием г по такочу же закону, как у точечного варила. График зависимости Е пт г принедсн на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
