Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 96
Текст из файла (страница 96)
В технике связи широко используются, например, полиномиальные фильтры, к числу которых относятся, в частности, фильтры типа р. При синтезе четырехполььсников форма частотной хзрактерестики может задаваться однозначно (в пределах ее физической реализуемости). Так же однозначно можно задавать необходимую форму фазовой характеристики. Однако невозможно одновременно и независимо задавать однозначно обе указанные характеристики для минимально-фазовой цепи, поскольку они связаны друг с другом уравнением 1'б.23). При необходимости одновременного предъявления некоторых требований и к частотной н к фазовой характеристикам четырехполюсника, как, например, в амплитудно-фазовых корректорах, форма этих характеристик не задается.
В этом случае задают границы их допустимых значений, подобно ограничению рабочего затухания в фильтрах, показанному на рис. 9.1, з. Вместо допустимых значений фазовой характеристики для фильтров'часто задают границы коридора, за пределы которого не должна выходить частотная характеристика группового времени прохождения, как показано на рис. 10.9. При предъявлении техниче- ских требований в указанной ! ! форме должна быть найдена ап- .
проксимирующая передаточная со мзх функция четырехполюсника, $ гт хйп удовлетворяюшая этим требованиям и условиям физической О реализуемости. Модуль н аргумент такой передаточной функции удовлетворяют уравнению (6.23) . Поиск передаточной функции удобно производить на ЭВМ. Например, в случае полиномиального фильтра подбирают коэффициенты а» полинома Гурвица, при которых его модуль и аргумент удовлетворяют заданным требованиям.
Проверка же соблюдения этих требований производится путем численного расчета на ЭВМ частотной и фазовой характеристик фильтра при каждом новом выбранном значении коэффициентов а,. Существуют специальные алгоритмы поиска этих коэффициентов, обеспечивающие быстрое их схождение к необходимой величине. При структурном синтезе производится подбор не коэффициентов поли- нома Гурвица, а непосредственно параметров элементов заданной схемы четырехполюсника. Если в аппроксимационной задаче найдена частотная характеристика (6.20), то для последующего решения задачи реализации следует определить передаточную функцию Н(р).
Такое определение основано на представлении функции (6.20) в виде произведения сопряженных множителеи: и'(р) = Н(р)Н( — р). (!0.2!) После определения на ЭВМ корней р, этой функции выбирают из ннх корни в левой полуплоскости р. С их помощью находят числитель (10.3) и знаменатель (10.4) передаточной функции (!0.20). 2. Оптимальные передаточные функции. При синтезе четырехполюсников часто задают требования общего характера, при соблюдении которых четырехполюсник и его передаточную функцию можно считать в определенном смысле оптимальными.
При этом указанные требования являются критериями оптимальности. Например, при синтезе фильтров критерием оптимальности может являться требование обеспечения максимально возможной избирательности при заданном количестве элементов фильтра. Фильтры, оптимальные по этому критерию, имеют так называемые чебышевские частотные характеристики и называются чебььшевскими фильтрами. Рассмотрим оптимальные по избирательности полиномнальные фильтры.
Пусть заданы полнномы Р„(О) степени и со старшим коэффициентом а„= 1, которые имеют только вещественные корни, расположенные в интервале ( — 1, !). Такие полиномы пригодны для аппроксимации характеристик ФНЧ с нормированной граничной частотой Я, = 1, где О = ь»/ьь = !'/!', (см. рис. 9.1, а). П. Л.
Чебышев нашел полнномы Р„(Я)с:Р„(»г), которые нпименее отклоняются от нуля в интервале ( — 1, 1) . Это отклонение одина- ново для всех экстремумов полиномов Р„(й) и их значений на границах интервала ( — 1, !). На рис. !О.!О, а показан произвольный полинам Рь(О) и полинам Рь(О)~Р»(О). Чтобы такие полиномы можно было использовать для описания характеристики фильтра, их надо нормировать, разделив нй величину максимального отклонения в интервале ( — 1, !). При этом нормиро- ванные полиномы Чебышева имеют вид Ри(11) = сов(п агссоз Я) = -2- ](!! + -уЫ вЂ” 1)" + (!! — уЫ вЂ” 1):"]. 1 (! 0.22) Значения этих полииомов приведены в табл. П.23. Пример нормировки полиномов, графики которых изображены на рис. 10.10, а, приведен на рис. 10.10, б.
Так как полинам Чебышева имеет наименьшее иэ воэмоокных максимильное отклонение 2" ', то при делении на эту величину нормированные полиномы ('т'0.22) наиболее отклоняются ог нуля эа пределами интервала ( — 1, !] по сравнению с другими нормированными полиномами Р (Я). Это наглядно видно из рис. 10.!О, б.
Е~ 0% -аг нс Р,П 7!7 с,~ 7 !Р Рис. !О.!Ц Построение илромеристики звтутвнии чеби- шевсиото ФНЧ При.соответствующем изменении масштаба полиномов (!0.22) н переносе начала отсчета получается следующая аппроксима. ция АКХ: Я(П) = 0,5[3 + Рви(Я] = 1 +Рьн(О)) 1 + ирй(Я, (10.23) где е — коэффициент пропорциональности, определяющий неравномерность АКХ в полосе пропускання, а переход от первого ко второму равенству сделан с учетом формулы соз 2х = 2 соз' х — !. Нетрудно убедиться, что это уравнение при 1! ) 0 описывает характеристику ФНЧ с неравномерностью затухания в полосе пропускания Ла = ЗдБ.
Действительно, Н',„ = Н'(0) = 1 (10!у Н,'ш = 0) и Н,„',. = Н'(!) = 2 (10!д Н,.',„= ЗдБ). В соответствии с рис. !0.10, б на рис. 10.10, в построена ха. рактеристика Нее(й) чебышевского ФНЧ, а на рис. !0.10, г — его характеристика затухания (М = 3). Здесь же для сравнения показана характеристика чебышевского ФНЧ второго порядка (Ж = 2). 470 При использовании характеристики (10.23) в случае реактивных ФНЧ величина Лг равна количеству реактивных элементов в фильтре, т.
е. его порядку. Соответствующее аналитическое преобразование частоты дает прн этом н другие фильтры. В частности, полученные таким образом ПФ имеют У резонансных контуров. Их избирательность, подсчитанная по уравнению (!0.23), приведена в табл. П. 24. Ее сравнение с данными табл. П.З— П.!8 подтверждает вывод о предельно возможной избирательности чебышевских фильтров.
Из сравнения характеристик на рис. !О.!О, г видно, что при увеличении порядка М чебышевского фильтра затухание в полосе задерживания становится больше, т. е. избирательность фильтра возрастает. Избирательность чебышевских фильтров может быть повышена также за счет введения полюсов затухания, как в фильтрах типа т (см. рис. 9.8, г). Характеристики таких чебышевских фильтров описываются последним равенством (!0.23), в котором Рт(!1) является не полнномом, а дробью Чебышева.
В полосе пропускания фильтра эта дробь по-прежнему обеспечивает свойство нзоэкстремальности характеристики затухания, т. е. равенство всех максимумов и равенство всех минимумов затухания (рис. 10.11, а). Полюс же затухания в полосе задерживания определяется корнем знаменателя дроби Чебышева, равным частоте !4 . В схеме чебышевского фильтра такой полюс, как н в фильтре типа гп (см. рис. 9.7, в, г), обеспечивается либо контуром йа, С (рнс. ! 0.12, а), либо контуром !., С! (рнс. 10.12, б), настРоенным на частотУ оз = ьа ыт. Прн повышении степени знаменателя дроби Чебышева возрастает и количество полюсов затухания.
На рис. !0.11, б пока- см!'л визги вмгл аллхг / У! 42г !2 Я 7 ~'!'ч" "г ° ~ Г! Рис. 10.11. Характеристики фильтров с полюсами затухания а) Рис. 10.12. Схемы фильтроа с полюсами затухания 47! зана характеристика чебышевского фильтра с двумя полюсами затухания. Она может быть получена в фильтре, содержащем два резонансных контура (.ь С, и (.м Сэ (рис.
10.!2, в), настроенных соответственно на частоты полюсов ьп, ь7» В чебышевских фильтрах с полюсамн затухания избирательность получается еще выше, чем в полнномиальных чебышевских фильтрах. В фильтрах высокого порядка при определенных условиях это приводит к экономии в количестве элементов фильтра. Предельное повышение избирательности в рассмотренном случае достигается особым расположением полюсов затухания, при котором характеристика затухания обладает свойствам изоэкстремальности также в полосе задерживания.
Это свойство означает равенство всех минимумов затухания в полосе задерживания !11„ о 1, как показано на рнс. 10.11, в, Такие изоэкстремальные характеристики описываются по-прежнему последним равенством (10.23), в котором дробь Чебышева надо заменить дробью Золотарева. Корни знаменателя этой дроби имеют не произвольные заданные значения, как в дроби Чебышева, а вполне определенные для фильтра А7-го порядка значения, обеспечивающие изоэкстремальность характеристики затухая я в полосе задерживания.,Фильтры с подобными характеристиками называются изозкстремальнсчми или золотаревскими фильтрами.
Их схемы имеют такой же вид, как и схемы чебышевских фильтров (рис. 10.12, в), но требуют специальной настройки контуров Вн С1и ЕмСь Повышение избирательности, достигаемое в чебышевских фильтрах, вступает в противоречие с требованием уменьшения искажений. В частности, чебышевские фильтры имеют относительно высокий уровень фазовых искажений. Минимизировать эти искажения можно, задавшись передаточной функцией с минимальным отклонением ее аргумента 0(ь7) от прямой линии.
Однако избирательность фильтра с такой передаточной функцией получается невысокой. Компромиссное решение достигается при аппроксимации АКХ (10.20) полиномами Баттерворта В»„(Я) = — ьг'": Н„'(!!) = 1 + В»„(!2) = 1 + 1!'". (10.24) Батте рв ортов ские характеристики называются . также максимально-гладкими или максимально-плоскими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
