Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Преобразования повторяют до тех пор, пока степень последнего делителя не снизится до нулевой. При этом получается схема реализации двухполюсника, показанная на рис. 10.1, г. Она заканчивается либо тЕ-, либо )сС-двухполюсником в зависимости от исходных степеней тп и п. Такая схема синтезированного (СК-двукполюсника является простейшей и может быть названи канонической схемой цепочечного или лестничного вида. В соответствии с выражениями (! 0.8) — (10.9) сопротивление лестничного двухполюсника (рис. 10.1, г) представляется в виде х(р) = Ь~р+~~ + Сзр+ 65+ !.,р+.,+ С4р+ 64+ йьр+ ть +...
Это выражение называется цепной дробью и записывается условно следующим образом: г(р) — ) р + + + + с'р+ " + с,р+ о, + Сбр+ ьь+ ... В общем случае такая цепная дробь имеет вид ! т2(Р) + — ! (10 10) х~й + — ! т(р) +— Я5(р) + Проводимость лестничных двухполюсников также описывается цепными дробями аналогично сопротивлению (10.!0). Таким образом, в ряде случаев возможна реализация двукполюсников путем разложения в цепную дробь дробно-рациональной функции !'!0.1) или обратной ей функции.
Реализация заданной функции (10.1) может достигаться в лестничном двухполюснике и при других сопротивлениях его плеч по сравнению с канонической схемой (рис. 10.1, г). При этом величины У,(р) в цепной дроби (10.10) могут описывать, например, проводимости )кС-двухполюсников вида, как на рис. 3.32, в. г. Возможны и другие модификации проводимостей Уь(р) и сопротивлений Уь(р) в цепной дроби (10.10). 458 Реализация заданной функции сопротивления (10.1) может достигаться не только в виде цепных схем.
Например, в некоторых случаях возможна реализация по алгоритму, который соответствует разложению функции (1О.1) на сумму простейших слагаемых с учетом значения полинома (!0.4): (!0А!) Здесь все коэффициенты Ам Вр положительны по услови|о положительности коэффициентов ам Ьр функции (10.1). Два первых слагаемых в сумме (10.11) представляют сопротивление В~-двухполюсника такого вида, как в продольных плечах канонической схемы рис. ! 0.1, г. Слагаемые под знаком первой суммы (!0.11) представляют сопротивления ВС-двухполюсников такого вида, как в поперечных плечах канонической схемы рис.
10.1, г. Слагаемые же под знаком второй суммы (10.11) описывают сопротивления параллельных контуров (рис. 10.2, а). Нетрудно подсчитать, что эти контуры имеют коэффициенты затуханчя ар =(гр((.р+ 1/ргрС4)/2 и собственные частоты ьрр = -р рР— 4 ж р,= .,ррТ+7,РР„..=рр,РТг, — р *,, сные частоты контуров. В целом реализующая схема с сопротивлением (10.11) состоит из последовательно соединенных двухполюсников перечисленных видов. Если на сумму простейших слагаемых разложить не сопротивление, а проводимость двухполюсника, то вместо параллельных контуров (рис. 10.2, а) получались бы последовательные контуры (рис. 10.2, б).
Соответственно изменились бы и остальные двухполюсники. При этом все указанные двухполюсники должны быть соединены параллельно, что и дает новую схему реализации. В общем случае реализующие ЕСр(-двухполюсники со смешанным соединением элементов имеют более сложные схемы по сравне- 44 нию с описанными. Перечисленные двухполюсники могут входить и в состав Сх плеч лестничной реализующей схемы. Приведенные здесь примеры не являются доказательством достаточности лх условий физической реализуемости, а а! лишь иллюстрируют некоторые методики реализации функции (10.1), удовлет- р гх воряющей УФР.
3. Реактансные функции. Сопротивление и проводимость 4.С-двухполюсни- Л ков, как и ЕС)(-двухполюсников, описы- ВаЮтСЯ ПВФ. ОДНаКО 1-С-ДВУХПОЛЮСНИ- Рис. !Озк Вапчаатм схем ки имеют реактивное (чисто мнимое) ьсл-х урзчхроскчкчз 459 сопротивление. Поэтому для них аппроксимирующая функция (1О.!) должна быть изменена, Реактивные сопротивления и проводимости, являясь частным случаем передаточных функций (6.2), равны их мнимой части !Та(ь») = )Х(ь») = 1/)В(ь»). Поэтому такие сопротивления и проводимости обладают свойством (6.8) нечетной симметрии. Следовательно, для реактивных двухполюсников выражение (10.1) надо изменить так, чтобы оно стало нечетной функцией. Для этого числитель Е,(р) надо сделать нечетным полиномом, а знаменатель Га(р) — четным полиномом (или наоборот).
Тогда получится четыре разновидности функции (!0.1): а»„р"» + ак. чрк" и + ..+ аа ь„ч,р»" + ь,,р»'-' + .. + ь,р ' (10. 13) Эти функции называются реактансными. Их коэффициенты а», Ь» по-прежнему являются вещественными положительными величинами, но корни их числителя и знаменателя лежат на мнимой оси р = )ь», поскольку полиномы (10.3), (10.4) являются четными или нечетными только при всех а» = О.
На зги корни накладываются два ограничения, соблюдение которых обеспечивает физическую реализуемость реактансных функций. Во-первых, все нули р» = )рм» и полюсы р~ = )кч реактансной функции должны быть простыми. Во-вторых, зти нули и полюсы должны чередоваться друг с другом, т. е, должны чередоваться частоты ь»», ьч последовательных и параллельных резонансов. Докажем необходимость этих условий физической реализуемости. Разложим на сумму простейших слагаемых, например, функцию (! 0.12) первого вида. Предположим при этом, что некоторый я-й полюс является не простым, а кратным.
При второй кратности этого корни указанное разложение имеет вид п»р А»»,р А,,р (10.14) + (р»+»»1)» + а»+ >» ! "' +» ! „2 Все слагаемые этого выражения являются сопротивлениями некоторых двухполюсников, соединенных последовательно. Однако в слагаемом с коэффициентом В» степени числители и знаменателя отличаются на три единицы. Этого не может быть по первому условию физической реализуемости (см.
$10.1.!). Следовательно, предположение о допустимости кратных полюсов сопротивлении (кратиых нулей проводимости) является неверным. Аналогично доказывается недопустимость кратных полюсов проводимости (кратных нулей сопротивления). Рассмотрим второе условие физической реализуемости реактансной функции. При отсутствии кратных полюсов разложение (10.14) принимает вид 2(р) = Аор + Х Ра, (!015) Продифференцируем это равенство: Подставив сюда значения р = )ог и 7(р) = )Х(от), получаем окончательно „г+ бм г)г Таким образом, полученная производная положительна на всех частотах.
Это н означает, что реактансные функции описывают сопротивления с чередующимися нулями и полюсами, как показано на рис. 10.3. Здесь изображены характеристики четырех (10.! 6) а) о) Рис. !О.З. Частотные характеристики сопротивлении реактивных лвухиолмсников типов реактивных сопротивлений, соответствующих четырем разновидностям реактансных функций (!О.!2), (!О.!3). Их нули и полюсы на конечных ненулевых частотах соответствуют последовательным и параллельным резонансам в реактивном двухполюснике. В $8.5.5 отмечалось чередование корней четной и нечетной частей полиномов Гурвица г(р) = г"„„(р) + Р„,г„(р). Поэтому проверка УФР для числителя и знаменателя функции Г!О,!) может осуществляться для образованных из них реактансных функций.
дб! 4. Реализация реактищ!ых двухполюсннков Реактивные двухполюсннкн могут быть реализованы тем же методом, что !'С)гдвухполюсники. Для этого надо аналогичным образом предста'вить реактансные функции (10,12), (10.13) в виде цепных дро. бей (10.10). Тогда, например, для реактансной функции (10.12) первого вида находим дробь Ьп+ С,Р 1 1- Р + ". + — 1 Сир +— (10. 17) Коэффициенты этой цепной дроби определяют параметры цепочечной схемы, реализующей заданное сопротивление.
Можно иначе реализовать ту же реактансную функцию (10.12) первого вида. Для этого следует разложить в цепную дробь не сопротивление 2!(р), а проводимость У!(р) = 1/л!(р), применив обратное деление числителей иа знаменатели. Тогда получаем 1 у!(р) = ~, ~.зр + ..+ —,' 1 а.р + —, Б 4 ил (10.18) Эквивалентные схемы, имеющие сопротивление (10.!7) и обратную ему проводимость (10.18), показаны на рис.
10.4, а. Эти схемы имеют одинаковую характеристику сопротивления (рнс. 10.3, а). Аналогично получаются и другие эквивалентные схемы, представленные на рис. 10.4, б — г, которыс имеют характеристики, изображенные соответственно на рис. 10.3, б — г.
! / ие из суй./ и74 у С, Са Сае )х С С, Сга 4Ф ! ! 1! Сз Сгеч Ег ! '3 и! "т т ~Е~"Б'Х Е вЂ” -( '1 Т !хм ~-~1з!л "11 1 Т-„" Рис. !оин Кйнснииеские сиены Кауара Цепочечные (цепные, лестничные) реализующие схемы реактивных двухполюсников (рис. 10А) называются каноническими схемами Коуара., Для реактивных двухполюсников существует еще один метод реализации заданных реактансных функций. Согласно уравнению (1О.!5) двухполюсиик представляется в виде последовательного соединения параллельных контуров без потерь с, сопротивлениями ! ! !',(р) с,р+ !/с,р ' Здесь С» = 1/А», /» = А»/о»»~ — параметры я-го контура, который является частным случаем двухполюсннка, изображенного на рис.
!0.2, а при г» = 0 и /тв» =- о. Если для той же реактансной функции разложить па сумму простейших слагаемых не сопротивление, а обратную ему проводимость, то получится другая схема, эквивалентная первой. Она состоит из последовательных контуров, соединенных параллельно. Полученные таким образом двухполюсники со смешанным соединением элементов называются каноническими схемами Фостера. Они показаны для разных типов характеристик (рис. !0.3, а — г) соответственно на рис.
10.5, а — г. Из сопоставления реактансных функций (!0.12), (!О.!3) с характеристиками соответствующих сопротивлений (см. рис. 10.3) и схемами рис.'!ОА, 10.5 иидно, что в любой из канонических схем количество элементов на единицу превышает число резонансов. савв, ~ Д г! вв! ! ! о ~ .Л-. ~:г г) Рнс. !цб. канонические схемы Фостера ебЗ 5. Входные функции 1сС-двухполюсников. Для )рС-двухполюсников входная функция (1О.!) имеет шесть особенностей, которые предопределяют ее реализуемость. Первые четыре особенности обусловлены отсутствием индуктивностей в )хС-двухполюсннке, а остальные две — пренебрежением потерями в конденсаторах, как это обычно делается в АИС-четырехполюсниках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
