Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 93
Текст из файла (страница 93)
д. Этот этап гинтеза составляет содержание задачи аппроксимации, которая сводится к выбору дробно-рациональной или полиноминальной функции, достаточно точно описьсвающей АЧХ ('ФЧХ) или передаточную функцию Т(со), удовлетворяющую задвиньям требованиям. При аппроксимации характеристик (передаточной функции) цепи необходимо прове- 455 рлть, могут ли они быть физически реализованы в какой-нибудь реальной схеме цепи.
Такую проверку осуществляют с помощью так называемых условий физической, или схемной, реализуемости (УФР) . Если заданные свойства цепи могут быть получены при разных аппроксимирующих функциях, то среди них выбирают функции„ оптимальные в том или ином смысле. Например, оптимальной может быть функция заданного порядка, обеспечивающая минимальное значение коэффициента прямоугольности синтезируемого фильтра, либо функция минимального порядка, обеспечивающая синтез цепи с минимальным количеством элементов. При синтезе активных фильтров оптимальной может быть аппроксимирующая функция, обеспечивающая минимальные значения ее чувствительности к изменению коэффициентов этой функции.
В конечном счете такая аппроксимирующая функция обеспечивает уменьшение чувствительности ЛИС-фильтра по параметрам его элементов. 2. Задача реализации. Второй этап синтеза заключается з определении схемы цепи, имеющей выбранные характеристики. Этот этап синтеза составляет содержание задачи реализации. При реализации цепи определяются и париметры ее элементов. На этапе реализации также необходимо удовлетворять требованиям, которые предъявляются к синтезнруемой цепи.
Например, типичным требованием является минимизация количества элементов в цепи. Могут также предъявляться требования к допустимой чувствительности цепи и т. д. Существует разновидность синтеза, в которой задачи аппроксимации и реализации объединяются. Такой разновидностью является структурный синтез цепей, при котором структура цепи ~ее схема) задается. При этом синтез заключается в определении параметров элементов цепи, при которых удовлетворяются как требования, предъявляемые к свойствам цепи, так и условия физической реализуемости. Иногда такой синтез называют параметрическим.
В устройствах связи наиболее часто ставится задача синтеза четырехполюсников. При решении этой задачи определяются сопротивления (проводимости) двухполюсннков, из которых состоит синтезированный четырехполюсиик. Таким образом, возникает и задача синтеза двухполюсннков с заданным комплексным сопротивлением (проводимостью). Здесь рассматриваются обе указанные задачи синтеза.
й !Олп СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ Наряду с сннтезом ЬСн-двухполюсннков, составленных нз ндеальных злементов всех трех видов (1., С, Я), в технвке связи существенное значенне нмеет синтез реахтввных н мС-двухполюсннков. Двухполюсннкн, составленные только нз реактнвных злементов С н С, используются, напрнмер, в реактнвных фильтрах. ЙС-двухполюсннкн, не содержащие вндуктввностей, нвляются составной частью АЯС-четырехполюсннков, паходящнх все болычев првмененве в устройствах 454 свнзн, что обусловлено прогрессом технологнн пронзводства ннтегральных мнкро- схем. Поэтому в настоящем параграфе отдельно рассматрнваются уклзаннме частные схучан сннтеэа реактнвных и Юс-двухполюсннков.
1. Задача аппроксимации. Комплексное сопротивление ЕСЙ- двухполюсиика описывается в общем случае дробно-рациональной функцией вида (6.14) от мнимой частоты р = !сы рцр) а р +а„- р" '+...+а р+а» Рт)Р) Ь„р" +Ь„~р +...+Ь~р+Ь» Функция такого вида описывает в операторной форме сопротивление 7(р) двухполюсника и его проводимость у(р) =-!/7(р).
Этой форме описания соответствуют операторные сопротивления и проводимости (6,61) элементов, из которых составлен двухполюсник. Функция (!0.1) должна удовлетворять двум необходимым и достаточным условиям физической реализуемости. Во-первых, степени т и и полиномов Е~(р), Гт(р) не должны отличаться более чем на единицу. Во-вторых, эти полиномы должны являться полиномами Гурвица ('см. З' 8.5.5). Эти условия откос.чтся и к проводимости двухполюсника, поскольку она обратна его сопротивлению. 'Необходимость первого из указанных условий можно доказать методом' от противного, задавшись степенью гп = и + 2. Тогда, разделив полинам Р~(р) на полипом гт(р), можно выделить первое слагаемое сопротивления (10.1): а т а„ вЂ” р = —— Ь„Ь, (10.2) 455 Эта величина по своему физическому смыслу является сопротивлением некоторого двухполюсника. Однако не существует пассивных элементов илн их комбинаций, которые имели бы частотную зависимость вида (10.2).
Тем самым доказана необходимость первого условия физической реализуемости. Рассмотрим теперь второе условие. Полиномы Гурвица обладают'двумя необходимыми признаками (см. я 8.5.5): !) они имеют вещественные коэффициенты; 2) прн а ), О и Ь„~ 0 корни этих полиномов располагаются только в левой полуплоскости комплексной переменной р = о +!»о. Вещественность коэффициентов аю Ь» была обоснована применительно к функции (6.!4), разновидностью которой является функция (!О.!).
Тзм жс в Ь 6.1 3 была доказана необходимость расположения нулей и полюсов сопротивлений в левой полу- плоскости. Укажем вице на три свойства полиномов Гурвица и соответственно функции (!д.!). Эти свойства являются следствием рассмотренных необходимых условий физической реализуемости. Первые два свойства заключалэтгя в том, что коэффициенты а», Ь» являются не только вегцественньгми, но и положительными величинами, ни одна из которых не равна ну.тго. Действительно, как известно из курса алгебры, полипом с вещественными коэффициентами может иметь только вещественные и комплексные попарно сопряженные корни р» = оь р»з = о» а-)ыь Поскольку они расположены в левой полуплоскости, о» = — ам где а» ) О.
Если полипом степени т имеет т! вещественных корней, то количество комплексных корней равно т» = т — т! = 2д. При этом полинам раскладывается на множители: Ю Р!(р) = а,„Ц (р — р») = а„,] Ц (р + а»)]] Ц (р + и» + »=! » ! »=! + 1ь»»)(р + ໠— )ь»»)], или Р!(р) = а„,!] Ц (р + а»)1 Ц((р + а»)' + ь»»], (10.3) »=! » ! Аналогично, Г»(Р) = Ь.~ Х (Р+ а»)~Ц((р+ а,)'+ ы»], (10.4) »=- ! »=! где и, и г — количество вещественных и попарно сопряженных корней. Раскрытие произведений (10.3), (10.4) дает полиномы с отличными от нуля положительными коэффициентами а», Ь», если положительны а„, и Ь». Отрицательный же знак одного из коэффициентов а„„Ь„приведет к отрицательному элементу а„,р1Ь„или а.,/Ь„при делении полннома Р!(р) на полинам Р»(р).
Рассмотренные свойства позволяют определить по внешним признакам,,является ли реализуемой функция ('10.1). Например, являются нереализуемыми следующие функции: ) тр' + !Зр' + 5!р' — эр + б ~( ) 4р' + 2р' + ! б»д + 4р» + 2р + ! ' . 1 2р + р + ! Третье свойство полиномов Гурвица и функции ('10.1) заключается в том, что они являются положительными вещественнь»ми функциями (ПВФ). Так называются функции Р(р), удовлетворяющие условиям 1т р = О- 1гп Р(р) = О, Ке р ) 0- Ке Р(р) ) О. Первое из этих условий является признаком вещественности, а второе — признаком положительности функции, Свойства ПВФ используются в некоторых практических приложениях.
Читателю предоставляется возможность самостоятельно доказать, что функция (10.!) обладает свойствами ПВФ. 2. Реализация 1.СМ-двухполюсникав. Достаточность рассмотренных необходил»ых условий физической реализуемости означает возможность реализации 1 СИ-двухполюсника с заданным сопротивлением (10.1). Функция (10.1), удовлетворяющая УФР, может быть реализована не в любой схеме двухполюсника. Однако для их достаточности должен существовать двухполюс- 456 Ь, 1/Р) Уггр) Угур ! ~г Уз Р) с„ а)г !г) г У ср) г) Рис.
)О.!. Схема реэлизэпии ЬС)г.лиухпалюсиики ник хотя бы одного вида, который имеет заданное сопротивление (1ОЛ). В некоторых случаях возможна, например, реализация в виде двухполюсника, построение которого показано на рис. ! 0.1. Пусть лг = л + 1. Тогда, разделив г"!(р) на Ег(р), представим функцию (10.1) в виде т(„) 7, ! а Р" +а — ~Р +- +а!Р+а! (10 5) Ь„р* + и., р" ' + ... + Ь, р + Ье ' где а! = и,/Ь„ — некоторая индуктивность. Индуктивное сопротивление ! !р получено в результате деления старших членов полиномов Ь!(р) и Рг~р). Такую операцию будем называть прямыл! делением. Произведем егце раз прямое деление числителя на знаменатель во втором слагаемом сопротивления (10.5): 2(р) = (.!)7 + г! + й(р) = 1.!р + г, + 1/У,(р), (!0.6) где т! = а.'/Ь„и У ( ) ! Ь вЂ” ~р +Ь вЂ” ~р +.. +Ь|р+Ье (10 7) ах(Р) а'„' |р" +а'„' хр" х+...+аур+ао Здесь прямым делением получено ие индуктивное, а диссипативное сопротивление т!.
Возможны также случаи, когда' диссипативное и другие сопротивления выделяются делением младших членов аналогичной дроби. Такую операцию будем называть обратным делеьиеле. Подобные случаи рассмотрены ниже применительно к синтезу реактивных и )7С-двухполюсников. Сопротивлению (10.6) соответствует схема двухполюсника, показанная на рис. !ОЛ, о. Если проводимость (! 0.7) удовлетворяет тем же исходным условиям, что и сопротивление (10.1), то можно дважды произвести прямое деление числителя на знаменатель дроби (!0.7). В результате преобразования получаем Уг(р) = Сер + !/Йг + Ух(р) = Сер + 6г+ 1/Хл(р), (10.8) где Сг = Ь„/а'„' !,1/)7е = Ь„' !/а'„' ! = бг и ь" .--+ь, "- +., + гр+ьг (10'О) 457 Проводимость (10.8), реализуется схемой, представленной на рис.
10.1, б. Объединив ее с двухполюсником, изображенным на рис. 10.1, а, получим схему реализации сопротивления (!О.б), показанную на рис. 10.1, в. Сопротивление (10.9) имеет ту же структуру, что и сопротивление (10.!). Исходное условие также остается прежним — степень числителя превышает на единицу степень знаменателя. Поэтому весь процесс преобразования можно повторить для сопротивления (10.9), как зто было сделано для сопротивления (10.1), в соответствии с формулами (10.8) — (10.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
