Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Их характерной особенностью является равенство нулю всех производных по !г вплоть до (2п — 1)-й производной в точке !! =О. Прн этом в полосе пропускания характеристика (10.24) максимальна «прижимается» к оси частот по сравнению с любыми другими полиномиальными характеристиками. В этом смысле ее можно считать оптимальной. При таком ее свойстве обеспечивается малый уровень частотных и фазовых искажений в баттервортовских фильтрах с максимально-плоской характеристикой (10.24).
Для сравнения на рис. 10.13 показаны характеристики группового 472 времени прохождения чебышевского с„р (а) и баттервортовского ('б) фильтров. 1 Однако избирательность последних относительно невелика (см. табл. П.25) . 3, Графа-аналитические методы ап- Ю прокспмации.
Характеристики синтезируемых четырехполюсников могут задаваться графически. В этом случае нх р 1 )Р НадО ОПИСатЬ аНаЛИтИЧЕСКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ Ряс )ОЛЗ. Хзрактерясти. ПОСЛЕдУЮщсй ЗадаЧИ рЕаЛИЗацИИ. Су. еа ГВГ) чебмшевскаго Ш) щсетнуЮт раЗЛИЧНЫЕ МЕтадЫ аннрОКСИ- и баттегвогтопскогб [б) мации заданных графических характеристик. Среди них отметим три метода— по Чебышеву, по Тейлору и по минимуму квадратичной (средней квадратичной) ошибки.
Обозначим через Р„(!1) = [Ьы Ьь ..., Ь„[ множество значений заданной частотной характеристики в интервале [ — 1, 1[. Тогда наилучшее по Чебышеву приближение функции [„(Р) к заданной характеристике обеспечивается при соблюдемии равенства 1„(1)) — Р,(!г) = 2' ' "Р„(()). (10.25) Здесь Р„(!1) определяется соотношением (10.22), а в целом правая часть уравнения (!0.25) представляет собой полинам Чебышева, наименее отклоняющийся от нуля в интервале [ — 1, ! [. Это обстоятельство и определяет наилучшее приближение аппроксимирующей функции в смысле ее минимального отклонения от заданной характеристики в заданном интервале. Из уравнения (! 0.25) определяется и + ! коэффициент аппроксимирующей функции [.(!2) по заданным значениям Р„(!1) н Р„(1г).
При аппроксимации по Тейлору в интервале [О, бь[ исходят из следующего уравнения: [.(-) — Р»( ) = В.(-), (10.26) где [„(»я) — аппроксимирующая функция степени и; Р.(ю)— аппроксимируемая функция, для которой известны значения в точках бэ = 0 и бэ = бь, а также и — 1 производная в точке ы = 0; В.(чэ) = ю" — полипом Баттерворта. Из уравнения (10.26) определяется и + ! коэффициент передаточной функции (!0.20). При аппроксимации по Тейлору могут использоваться поли- номы В, нечетной степени и = 2т + 1 вместо полиномов четной: степени п = 2т. Необходимость в этом может возникнуть при -аппроксимации не частотной характеристики, а самой передаточной функции Н(р). Существуют также варианты аппроксимации по Чебышеву с нечетными степенями полииомов. При аппроксимации по минимуму квадратичной ошибки рассматривается функционал » 52 ~» [[( ) Р( )[2 3 3 ! лтз где 1(ооо) — значении полиномиальной или дробно-рациональной аппроксимирующей функции на и частотах заданного диапазона ]ыь оо.]; о!' — весовой множитель, который обычно выбирают равным единице, если,нет специфических соображений по его выбору.
Аппроксимирующая функция 1(ы) должна содержать пг ( и неизвестных коэффициентов, которые выбирают таким образом, чтобы функционал 6' стал минимальным. Этот выбор может осуществляться на ЭВМ с помощью специальной стандартной программы. Следует заметить, что при пг = и задача сводится к определению искомых и коэффициентов путем решения системы из п линейных уравнений, обеспечивающих значение б'=О. 4. Реализация пассивных четырехполюсников с потерями. Задача реализации заданной передаточной функции четырехполюсника решается рядом различных методов.
Один из них основан на использовании четырехполюсников постоянного характеристического сопротивления (см. рис. 9.50, а). Рассмотрим этот метод. При заданной рабочей передаточной функции (8.23) ее можно представить в виде произведения простейших сомножителей: а Н,(р) = и Н„(р). (10.27) о=~ Здесь каждый из сомножителей дроби определяется в соответствии с выражениями (10.3), (10.4). Наложим условие, чтобы каждый сомножитель Ноо(р) функции (10.27) описывал передаточную функцию четырехполюсника постоянного характеристического сопротивления Яо.
Тогда согласно формуле (9.8! ) Ног(р) = 1 + 24(р)/)7о Отсюда определяется искомое сопротивление Яо(р) = )7о[Ноо(р) — 1]. (10.28) Согласно формулам (10.27) и (10.28) синтезированный четырехполюсник состоит из цепочечно соединенных элементарных четырехполюсников такого вида, как на рис.
0.50, а. В этих элементарных четырехполюсниках сопротивления 71 заменены различными сопротивлениями 2,, а весь четырехполюсник нагружен с обеих сторон на сопротивления йо. Сами же двухполюсники с сопротивлениями (10.28) синтезируются известным образом (см. $10.1.2). Другой метод реализации может быть применен в рамка" структурного синтеза, когда схема реализуемой цепи задана, Тогда полиномиальнан или дробно-рационалоная передаточная функция цепи Т(р) может быть определена в обсцем виде. Коэффициенты А,,(ч = — 1, 2, ..., и) этой передаточной функции зависят от неизвестных параметров цепи Еь Сь (гм количество которых равно количеству коэффициентов п функции Т !'р). Эта функция по условию задачи должна равняться заданной аппроксимирую- 474 щей функции г„(р), имеющей то же количество и известных коэффициентов а„.
Приравняв коэффициенты Л„ и а„ прн одинаковых степенях р, получим систему нз п уравнений относительно неизвестных параметров Е;, С,, И,. Решив эту систему, найдем искомые параметры синтезируемой цепи. Такой способ решения задачи синтеза называется методом уравнивания коэффициентов. В этом методе полученная система уравнений является в общем случае нелинейной. Ее решают специальными методами математического программирования. Для решения задачи на ЭВМ имеется и стандартная программа, основанная на минимизации квадратичной ошибки.
Существуют также способы решения системы нелинейных уравнений, основанные на методе случайного поиска искомых параметров. 8. Реализация реактивных четырехполюсников. Один из способов реализации заданной передаточной функции четырехполюсника заключается в определении с ее помощью входного сопротивления четырехполюсника. Тогда задача реализации четьирехполюсника сводится к синтезу двухполюсника с заданным сопротивлением. Рассмотрим этот метод применительно к реактивным четырехполюсникам, нагруженным в общем случае на комплексные сопротивления 8п~ и Лп .
Введем понятие ослабления зха Н„которому соответствует затухание зха а,: и,= "- ""', =~ и,. г1а.га) Р паап Рг В это определение входят те же мощности, что и в соотношение (8.31). Ослабление эха (!0.29) определяет соотношение между мощностью Р,. „и частью этой активной мощности, которая не потребляется нагрузкой, а возвращается к источнику через четырехполюсник как бы в виде эха. Этим и обусловлено название параметров (10.29). С учетом определения (8.31) первая формула (10.29) преобразуется следующим образом: пап~па Рг а Рпаа па УРг— На = Нг/(Нг — 1) = НаНа = На(р)На( — р).
(10.30) Здесь квадрат модуля Н,' выражен через произведение комплексно сопряженных функций, первая нз которых является передаточной функцией эха Н,. При известной функции (10.30) передаточная функция эха З, (р) определяется аналогично передаточной функции Н(р) в соотношении (10.21). функцию же (10.30) можно найти по заданному рабочему затуханию или рабочему ослаблению в соответствии с формуламн (8.33). В свою очередь, передаточная функция эха К(ы) = Н,(р) связана с входным сопротивлением четырехполюсннка.
Для уста- 475 новления этой связи следует учесть, что в реактивном четырехполюснике иктивная мощность не потребляется. Поэтому активнсче мощности на комплексном наеруэочном сопротивлении До« = Йоо + )Хоо и на входном сопротивлении четырехполюсника Х ~ = Й.и +)Л«о одинаковы: Ро = Р.к = Й„1( = Еойв«~/)Ъо + 2,„(1', где Хи = Йо~ + )Хо~ — комплексное нагрузочное сопротивление на входе четырехполюсника. Отсюда и из формулы (3.85), где Й, = Йоь по соотношениям (8.31), (10.30) находим км 1ххо + Хвх ~1 (Им + ((вх ~) + (Хо~ + Хо«о) кка 4Я«,К«« ~ 4)хол.«1 ((( — гв, )' + (Х + Хвх )х 4)хв(«вхк Но (Ро~ + 7(о ~) + (Хо~ + Х х~) (((о — (( «~) + (Хм + Хки)к ' Н Но (Яо~ + ((в 1) + )(Х~~ + Хвх~) (Ро~ + К к) — 1(Хо~ + Хв ~) (Ко~ 77 «~) — 1(хо~ + Хвхк) (оо~ )«в«о) + КХм + Хвх!) П (1«о~ + Ях,)+ 1(Хок + Х «5) (Ям +1Хм)+ (((,„~ +1Х«,) — (((«1 — Я„и) — 1(хп + Х„«1) (Роь — )Хм) — (Я,„1+)Х«м) Отсюда получаем окончательно Хо +Х,„ и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
