Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В этом параграфе изучаются свойства только линейных пассивных четырехполюсников. Активным четырехполюсннкам посвящен 1 8.5. 1. Основные уравиеиия. Основываясь иа принципе суперпозиции и спектральном методе анализа, рассмотрим линейные пассивные четырехполюсиики при гармонических иапряжеииях и токах. В соответствии с обозначениями иа рис. 2.1, б примем положительные иаправления отсчета входных и вЫходных иапряжеиий и токов, показанных иа рис. 83, а при передаче сигнала слева направо.
Эти напряжения и токи связаны друг с другом. Для установления вида связи заменим напряжения Уь (/т некоторыми э. д. с. Еь Еэ в соответствии с рис. 2.10, а. Тогда получим схему, показанную иа рис. 8.1„ б, где Е~ = ()ь Ьэ = Уг. Токи 1~ и /т можно считать контурными токами входного и выходного контуров четырехполюсииков. При этом согласно примципу суперпозиции и формулам (3.192), (3.193) получаем /~ = Й~/2110 — Ет/71эо, 1т = Е~/Дпт> — Ет/втэк где 2(г!), Я(!г) — сопротивления передачи из выходного во входной контур и из входного в выходной контур; 2(!и, Д(г) — входные сопротивления четырехполюсника слева при замыкании э.д.с.
сг и справа при замыкании э. д. с, Е!, отрицательные знаки в последних слагаемых поставлены вследствие противоположного направления Йг и !г. Переходя в полученных равенствах к исходным напряжениям, перепишем их в виде (! =. У!!()! + У!Фг, (г = Уг!(/! + Угг()г, /г 'г Рнс. 8.!. Передача сигнала через четырехпаяюснин слева напраао (8.1) (8.3) где У!! = 1/~(!!) У!г= — 1/~(г!), Ум = 1/~(!г), угг = — 1/Л(гг). (8.2) Соотношения (В.!) называютсч основными уравнениями четырехполюсника, поскольку они исчерпывающе и однозначно описывают все еео свойства при известных проводимостях (В.2).
Эти проводимости (у-параметры) называют основными параметрами четырехполюсника. Основные уравнения четырехполюсника могут быть записаны в матричной форме: Здесь (!) — матрица-столбец токов; (()) — матрица-столбец напряжений; (у) — квадратная матрица проводимостей четырехполюсника. Произведение матриц (8.3) находят по известному правилу умножения строки на столбец (см. $ 2.6.2). При этом перемножение матриц (8.3) дает уравнения (8.1). В основных уравнениях четырехполюсника (В.!) напряжения !)!, Уг считаются заданными.
По ним опреде,гяются неизвестные токи !!, )г. Однако из четырех переменных (!!, (!г, !!, )г можно задавать любую пару величин. При этом другая пара переменных определяется через эти заданные величины. Такое определение возможно путем решения системы из двух уравнений (8.1) относительно двух неизвестных переменных. Например, при неизвестных напряжениях О!, Ог решив систему уравнений (8.1), получим (/! = 2!(!! + 2!г!г, 0г = 2г!)! + 2гг)г, (8.4) где 2)! =Угг/)У), 2)г = — и!г/(У), 2г! — Уг!/(УП 2гг =У!!/)У! (8.5) — 2-параметры четырехполюсника; 36! 1у1= ~ ~ =унугг — утгуг1 Дн Ди — определитель матрицы проводимостей четырех пол юсника.
Соотношения (8.4) также являются основными уравнениями четырехполюсника, а величины (8.5) — его основными параметрами. Эти уравнения тоже представляют в матричной. форме (О) = (г) (1), (8.7) где (8. 8) — матрица сопротивлений четырехполюсника. Матричное равенство (8.8) записано с учетом значений параметров (8.5) и (8.6). Оно называется уравнением связи между основными параметрами четырехполюсника. ' По основным уравнениям (8.4) или (8.7) определяют неизвестные напряжения по заданным токам. Аналогично этим уравнениям могут быть найдены и другие основные уравнения четырехполюсника: (8.9) (8.10) (8.1 1) (8.12) Квадратные матрицы (8.9) — (8.12) называются а-, Ь-, )- и Ь-матрицами, а их коэффициенты — а-, Ь-, 1- и Ь-параметрамн (основными параметрами) четырехполюсника.
Матрица (8.9) называется также цепочечиой матрицей четырехполюсиика. Методы расчета четырехполюсников с помощью матричных уравнений (8.3) и (8.7) — (8.12)) назьчваются матричными методами. При составлении уравнений (8.9) — (8.12) находят уравнения связи между основными параметрами четырехполюсника. Все уравнения связи приведены в табл. П.15, а значения определителей, использованные в этих уравнениях связи, — в табл. П.16. Как было отмечено, основные параметры четырехполюсников однозначно определяют их свойства.
Поэтому разные четырехполюсники при совпадении их основных параметров обладают одинаковыми свойствами, т. е. являются эквивалентными. Таким образом, условиями эквивалентности различных четырехполюсников являются равенства их соответствующих основных параметров. 2. Основные свойства. Линейные пассивные четырехполюсиики являются обратимыми цепями (см. $ 3.5.5).
Рассмотрим свой- 3ег Изменим направление передачи через четырехполюсник и примем обозначения, показанные на рнс. 8.2, а. Тогда, учитывая изменение положительного направления токов,' уравнения (8.14) перепишем в виде Для обратимых четырехполюсников перенос 3. д. с. Е~ = 01 (см. рис. 8.1) в выходной контур (рис.
8.2, б) означает, что 1; = = 1, при 0; = Е, = Уи При этом первое уравнение (8.15) принимает вид У1 = — "б", + — "1т. ~о! ~о~ (8.16) Сравним это соотношение с первым основным уравнением (8.13). Оба они устанавливают связь между напряжением 0~ и током 1з. Эта связь является идентичной, если слагаемые (8.16) имеют следующие значения: оо ., ' о|т — У! = ам 02, — 12 = а!2тт. 1о~ 1а! Из второго равенства следует, что определитель цепочечной матрицы обратимого четскрехполесника должен равняться единице. С учетом значений этого определителя (см.
табл, П.16) 1т уг и, У' а? г (1т -в 1' СПР РИС. Вчв ПЕрЕдаЧа Снтиала через четырехполюсиик справа налево Рис. З.З. Напряжения и токи в симметричном че. тырехполюснике 363 ства обратимых четырехполюсников, базируясь на основных уравнениях (8.9): 01 =ан0з+ам1з, 1~ = аз~0т+ аы1з. ' (8,13) !з учетом уравнений связи (см. табл. П.!5) система основных уравггений (8.10) также выражается через а-параметры: указанное условие обратимости четырехполюсника запишем в различных формах: — ут/угс = — зсг/зм = ассам — асгам = бс с/гг — бсгбгс = = / 12 с 121 = 1112/821 = 1.
(8.18) Таким образом, обратимые четырехполюсники имеют только три независимьсл параметра, задившись когорьсми, можно определить и четвертый основной сгараметр по одному из условий Г. 8). Первое равенство (8.!7) должно выполняться при произвольном значении И. В частности, может наблюдаться равенство Й = (/2. Это означает, что в таких обратимых четырсхполюсниках при изменении направления передачи сохраняются значения как выходного тока, так и выходного напряжения.
Если в четырехполюсниках подводимые и отводи.чые напряжения и токи не изменяются при перестановке местами входных и вьтодньт зажимов (рис. 8.3, а, б), то такие обратимые четырехсюлюсники называются симметричньслси. Учитывая условие обратимости (8.18), из первого равенства (8.!7) находим, что в симлсегричньт четырехполсосниках должны быть равны основные паралсетры а«и агг. С учстом соотношения этих параметров (см. табл. П.16) запишем условие симметрии четырехполюсиика в различных формах; У11/Угг = асс/хгг = а11/агг = /211/Лм = /гг/21 — /11/22 = = /112/121 й«622 — ! . (8.19) Следует иметь в виду, что условия симметоии (8./У) должньс выполняться одноврелсенно с условиями обратилсости (8.18) четьсрехсголюсника.
Отсюда следует, что симметричные четырехполюсники имеют два независимых основньсх параметра. 3. Канонические схемы. Различные электрические цепи с неодинаковым количеством элементов могут обладать одинаковыми свойствами. Для разны классов с/епей можно установить правила составления слеч с минимальньсм количеством элементов при заданных свойствал. 7акие схемы с лсинимальным коли- ЧЕСтВОМ ЭЛЕМЕНТОВ НаЗЫВасатСЯ КаиапиЧЕСКиМи (От ГРЕЧ. Уатсот— правило, норма). Канонические схемы обратимых четырехполюсников могут быть составлены из трех произвольных двухполюсников с некоторыми сопротивлениями сс, Лг, Дг. Это вытецает из тога, что обратимые четырехяолюсники ймеют только три независимых параметра.
Свойства же четырехполюсников могут характеризоваться не только основными параметрами, но и сопротивлениями двухполюсииков, из которых составлены эти четырехполюсники. Следовательно, сусцествует только три независимыл сопротивления двухполюсника, из которых можно составить произвольный обратимый четырехполюсник с любыми заданнылш свойствами. Для получения канонических схем обратимых четырехпо- люсников указанные двухпЬлюсники можно соединить двумя способами— звездой и треугольником. Пр(е этом получаются Т- обр1зная (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
