Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(7.93) ззэ В ряде случаев добротность отрезка линии может быть измерена экспериментально с помощью специальных приборов. Тогда по известной добротности из формулы (7.90) может быть определен коэффициент затухания. 4. Расчет входного сопротивления. Входное сопротивление линии в произвольном ее сечении на расстоянии 1 от нагрузки определяется в соответствии с законом Ома (рис. 7.!б, а): 2= О/).
(7.91) Такое определение соответствует входному сопротивлению линии длиной 0 как показано на рис. 7.!б, б. Входное сопротивление находят подстановкой соотношений (7.80) и (7.82), (7.83) в определение (7.9!). Тогда с учетом значения нагрузочного сопротивления Л„ = ()2/1ь получаем Л = Л,(Л„сп 71+Я, зй у!)/Я, ей у(+ Л„з|~ 71) = : — 2,(2„+ 2, 15 71)/(2, + 2„15 у() (7.92) — для линии с потерями и 2= р(2„соз 51+)р з(п 51)/(рсоа)И+ )У„з1п (31) = = РЯн+)Р М Ж)/(р + ) 2н18 51) — для линии без потерь. Из формул (7.92) и (7.93) видно, что входное сопротивление линии зависит прежде всего от нагрузочного сопротивления. В частности, прн Л„=О (режим короткого замыкания) и Я„=ао (режим холостого хода) получаются следующие выражения для входных сопротивлений; Х, = Л,Нц~! =1р!5!1а1, Л = Ус(571=)рс(кйа!.
(794) Последние равенства в этих формулах относятся к линиям без потерь. Из формул (7.92) — (7.94) видно, что входное сопротивление линии зависит также от ее параметров. В частности, оно является функцией длины 1 отрезка линии или его волновой волны 51 =2п1/Х. При заданной длине отрезка линии его можно использовать в качестве трансформатора сопротивлений, который определенным образом трансформирует сопротивление от значения Е„ до значения 2. Эти трансформирующие свойства отрезка линии изменяются в широких пределах в зависимости от выбранной длины 1. Например, для полуволнового и четвертьволнового отрезка линии без потерь, когда 1 = Х/2(51=к) и 1=! /4((11= =л/2), из первой формулы (7.93) находим Лыа = У„Лы4 = р~/2,. (7.95) Таким образом, полуволновой отрезок идеальной линии вообще не трансформирует сопротивлений. Согласно же второй формуле (7.95) четвертьволновый отрезок идеальной линии является инвертором сопротивлений и называется четвертьволновым трансформатором.
Его свойства сохраняются в узком диапазоне частот, в котором соблюдаются неравенства Х„соз 51 « р з1п 51 и р соз (И « Я, з!п 51. Входное сопротивление линии может быть определено также через коэффициент отражения (7.38). По аналогии с выводом формулы (7.41) для произвольного сечения линии получаем формулы ~= 17 + 1Х = 3,(! + р)/(! — р) = р(! + р)/(! — р), г = г + )х = (1 + р)/(1 — р). (7.96) Здесь последние равенства написаны для линии без потерь, причем г = Х/(ь г = 11/р, х = Х/р — нормированные сопротивления. 5. Круговая диаграмма. Круговая диаграмма длинной линии, предложенная независимо друг от друга Ф. Смитом (1939) н А. Р. Вольпертом (1940), служит для графического определения входных сопротивлений линий без потерь.
Для таких линий Я, = р и из формулы (7.96) определяется зависимость коэффициента отражения от нормированного входного сопротивления: р = рда = и + )о = (.х — 1)/(г+ 1) = (7.97) = (г — 1 + )х)/(г + 1 + )х), где и, и — соответственно вещественная и мнимая части коэффициента отражения. На комплексной плоскости р значения коэффициента отражения могут отсчитываться в декартовой системе координат (и, э) и в полярной системе координат (р, т)!).
Координатная сетка в полярной системе координат образуется окружностями постоянных р = сопз1 и радиусами постоянных ф = сопз1. Такая координатная сетка показана на рис. 7.!7 с учетом предельных значений коэффициента отражения (7.39). г-салз1 а) Рнс. 7.17. Семейство р-окружностей н гр.рвниусов Рнс. 7.!8. Построение г-окружности и семейство г-окружностей На координатной сетке в соответствии с формулой (7.97) можно отсчитывать также значения нормированных входных сопротиалений г и х.
Для удобства отсчета сделаем замену переменной р: Р '= Р— ио, ио = г/(г + !). Эта замена переменной означает, что центр полярной системы координат переносится по вещественной оси и на величину ио, т. е. в точку (ио, 0), как показано на рис. 7.!8, и. Из соотношений (7.98) и (7.97) находим новую переменную: г — ! + !х г ! — (г+ ! +!к или, поскольку модуль последней дроби равен единице, р, = р,е', р, = —,, О, = — 2агс18 — ", . (7 дд) Таким образом, при заданном значении г = сопз1 и разных значениях' х( — оо ( х ( оо) переменная (7.99) описывает окружность с радиусом ро как показано на рис, 7.18, а. При любом значении г эта окружность проходит через точку (1,0) „поскольку 1 — ио = 1 — г/(г + !) = !/(г + 1) = р , (рис. 7.!8, а). Задаваясь .различными значениями г в диапазоне О ( г ( оо, получаем семейство г-окружностей, показанное ' на рис.
7.!8, б. Для отсчета в полярной системе координат нормированных реактивных сопротивлений сделаем новую замену переменной р: р = р — (1 + )оа), ов = 1/х. (7.! ОО) Эта замена переменной означает, что центр полярной системы координат смещен на вертикальную прямую и! = 1 и находится на этой прямой в точке (1,)ов), как поназано на рис. 7.19, а. Из соотношений (7.100), (7.97) находим новую переменную: г — 1+!х 1 1 — 1(г+ 1 — )х) — г+1+!х 1 х х г+1+!х Поскольку модуль последней дроби равен единице, а х может быть положительно(1 и отрицательной величиной, отсюда получаем р = р,д'", р, = ~ — 1, О, = Т- —" — 2агс18 —. (7.101) е+ 1 Таким образом, при заданном значении х = сопз1 и разных значениях г (О ( г ( оо) переменная (7.101) описывает окружность с радиусом р„, если аргумент О„ изменяется в пределах 0 ( О„ ( 2п (рис.
7.19, а). Практически этот аргумент изменяется в меньших пределах. При этом реальным значениям г соответствует часть указанной х-окружности, называемая х-ду- пз Рнс. 7.19. Построенне х-окружностей н семейство х-дуг 342 гой, которая находится внутри р-окружности максимального (единичного) радиуса (рис. 7.19,а).
При любом значении х эта цуга проходит через точку (1, О), поскольку р„ = ~ ое, где знак определяется знаком х (рис. 7.19, а). Задаваясь различными значениями х в диапазоне — оо ( х ( оз, получаем семейство х-дуг, показанное на рис. 7.!9, б. Из предыдущего рассмотрения видно, что на р-плоскости точка (1, 0) отображает сечепис липни, в котором лнйия является разомкнутой (г = оо, х = ~ оо). Прн этом положительная полуось и, проходящая через указанную точку, соответствует пучностям напряжения в линии, поскольку на этой полуоси ф = О, т.
е. падающая и отраженная волны напряжения совпадают по фазе. Противоположная точка ( — 1, 0), в которой пересекаются г-окружность при г = О и х-дуга (прямая) прн х = О, отображает сечение линии, в котором она является короткоэамкнутой. При этом отрицательная полуось и, проходнщая через указанную точку, соответствует узлам напряжения в линии, так как на этой полуоси зр = и, т. е. падающая и отраженная волны напряжения находятся в противофазе. Поскольку графики, изображенные на рис.
7.! 7, 7.18, б н 7.19, б, построены в одной и той же р-плоскости, их можно совместить. При этом получается номограмма для непосредственного пересчета параметров г, х и р, зр. На такой номограмме пересчет нормированных сопротивлений г, х в различг(ых сечениях линии получается более удобным прн смене маркировки полярных координат. С учетом формулы (7.44) р-окружности (см. рис.
7.!7) обозначим как КБВ-окружности (рис. 7.20). Одновременно изменим маркировку зр-радиусов. Согласно формулам (7.40) н (7.82) аргумент зр имеет значение зР = 2(Д!» — Р!) = -2ф! — Р(п). (7.102) Рнс. 7ЦО. Семейство КБВ-окружностей н Рнс. 7.2Ь Определение волнового О.раднусов расстояння до узла напряжения 343 Таким образом, определение ф возможно путем измерения волнового расстояния от заданного сечения линии до первой пучности напряжения (рнс.
7.2!). Практически удобно измерять волновое расстояние до узла напряжения: 0 = 61 — (11„. (7. 103) Из рис. 7.21 и формул (7.!02), (7.103) видно, что О = 6! — 61. + и/2 = (л — ф)/2, ф = 'л — 26. (7.104) Следовательно, ф-радиусы можно обозначить как 6-радиусы (см. рис. 7.20). Согласно формулам (7.104) для 0-радиусов отсчет ведется от отрицательной полуоси и по направлению вращения часовой стрелки. При этом изменению аргумента ф на угол 2п соответствует изменение волнового расстояния 61 на величину и. Совмещение г-окружностей, х-дуг и КБВ-окружностей дает круговую диаграмму длинной линии (диаграмму А. Р. Вольперта), или диаграмму сопротивлений, показанную на рис. 7,22.
На этой диаграмме положительная полуось и направлена вниз, а волновые расстояния 61 = 2л1/Л отсчитываются от верхней полуоси не в угловых, а в относительных единицах !/Л. На круговой диаграмме сопротивлений маркировка КБВ-окружностей и г-окружностей при г ( 1 совпадает, поскольку в соответствии с формулами (7.44) и (7.93) — ! — 0 — б?(г+ !) = Г. ! + г ! + 0 — г)/(г + !) По круговой диаграмме можно рассчитывать не только нормированные входные сопротивления, но и нормированные входные проводимости линии; у=1/з = д+1Ь, (7.105) . где д = б/й„Ь, = В/д, — нормированные диссипативные и реактивные проводимости; д, = 1/р — волновая проводимость линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
