Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В этом метдде подлежат определению неизвестные узловые напряже- 1/» // ния. Для их о)зределения составляют Н уравнения (3.'9) относительно токов и) д/ ветвей /», ко/орые выражают через узловые напряжения согласно закону Ома (3.19).
Количество уравнений (3.9), составляемых по первому закону Кирхгофа, равно пг = п, и определяется по формуле (2.59) или (2.60). Однако здесь требуется уточнение. Если между некоторыми Й-м и 1-м узлами включен идеальный источник напряжения с (рис. 3.54, а),'то при найденном'узловом напряжении (/» становится известным н узловое напряжение (/г = (/»+ с.
Аналогично по найденному У~ определяется ()» = Й вЂ” Й. Поэтому количество неизвестных узловых напряжений уменьшается на число п, идеальных источников напряжения, включенных между узламн цепи. Соответственно должно быть уменьшено и количество составляемых уравнений, определяемое по формулам (2.59), (2.60): ш пу (пе + !) л! — пт (пе + пи). (3.189) Если ветвь с источником содержит также сопротивление Л = = 1/У (рис. 3.54, б), то для составления уравнений (3.9) целесообразно наметить «промежуточный узел» с «узловым» напряжением (/ = (/» + св.
Тогда удобно определить ток ветви / = = у(О,— (.'/)= у((/,— //,— Е). Рис. 3.54. Включение источника между узлами цспн Рассмотрим для примера цепь, изображенную на рис. 3,55. Для нее согласно первой формуле (3.189) надо составить два уравнения. Выбрав в заземленной точке базисный узел О, намечаем узловые напряжения (/1 и (/з, подлежашие определению, и известное узловое напряжение Еы Затем намечаем «узловые» напряжения — Ез и Й, + сз в «промежуточных узлах». Наконец, произвольно размечаем токи ветвей /ы !з, /з, /,, !з.
с г * Этот «узел» является устраиимой вершиной на графе пепи, Рис. 3.55. Схема пепи, иллюстри. рующая метод узловых напряжений 143 ' Выражаем токи ветвей через узловые напряжения: 1~ = У~ (Р ~ — О,), 1» = У» ((! ~ — ( — Е,)) = У, (У, + Е,), »» =Ъ(Й + Е» — О»), »» = «»((!~ — О»), 6 = У»Оь Для узлов с неизвестными узловыми напряжениями О,, О» составляем уравнения по первому закону Кирхгофа; !! + 1» + «4 = О, 13 »4 + ~5 = », или — Ую(6 — О~) + У»(О~ + Е») + 1»(О ~ — Ог) = О, =Уз(6 + Ез — 'О») — У»(О~ — Ог) + У»О» = 1. После раскрытия скобок и приведения подобных членов полу- чаем (« ~ + У» + У»)(! ~ — «4 О» = У ~Е~ — У»он — У,О~+(У»+ У + Уз)О»=.(+ У Е, + УЕ. (3190) Полученные уравнения имеют вполне определенную структуру. Как и в методе контурных токов, этой структуре соответствует определенный алгоритм, по которому должны составляться уравнения,для н = п~ узловых напряжений произвольной цепи.
Для произвольного й-го узла 6 Х УиО~ = Л» (й = 1, 2, ..., а). 1=! (3.19!) Здесь Ум= Уи — взаимные проводимости й-го и 1-го узлов, которые всегда входят в уравнение (3.19!) с отрицательным знаком, каково бы ни было выбранное направление токов. В первом уравнении (3.190) Хм = — У4, во втором Ум = — Уь При й =! в уравнении (3.19!) вместо взаимной проводимости фигурирует собственная проводимость У» й-го узла.
Эта проводимость складывается из проводимостей всех ветвей, сходящихся в А-м узле. В первом уравнении (3.190) Ун =Х, + У»+ У», а во втором уравнении У»»= Уз+ У4+ У». Собственная и взаимные проводимости узлов объединяются под общим названием узловых проводимостей. Ток !» в уравнении (3.191), .называемый узловым задающим током, складывается из трех составляющих.
Первая составляющая этого тока представляет собой сумму всех задающих токов ветвей, сходящихся в А-м узле. В первом уравнении (3.!90) эта составляющая равна нулю, а во втором — У. Вторая составляющая тока Л» представляет собой сумму произведений взаимной проводимости на э. д.
с. источника, включенного в ветви с этой взаимной проводимостью. Знак такого произведения положителен, если э. д. с. направлена в сторону рассматриваемого узла. В первом уравнении (3.190) вторая составляющая равна — Х»Е», а во втором уравнении — У»Е». !44 Третья составляющая тока 14 представляет собой сумму про- изведений взаимной проводимости на известное узловое напря- жение смежного узла, т. е. на э.
д.с. идеального источника на-. пряжения,'подключенного к этому узлу. Знак такого произведе- ния положителен, если э. д. с. направлена в сторону узла. В пер- вом уравнейии (3.190) третья составляющая равна У~К а во втором уравйении — Узб. Эта третья составляющая учитывается достаточно просто только в тех случаях, когда все ветви с идеальными источниками напряжения подключены к базисному узлу. В противном случае во избежание усложнения алгоритма освобождаются от ветвей с идеальными источниками напряжения, применив метод перено- са и расщепления таких источников, описанный в $3.7.2.
При твердом усвоении введенных здесь понятий можно при- обрести навыки в непосредственном составлении уравнений (3.191) без предварительного выражения токов ветвей через' узловые напряжения. Это существенно упрощает использование метода узловых напряжений. Сами же уравнения (3.19!) реша- ются достаточно просто.
6. Матричный метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений, как и метод контурных токов, можно использовать при решении задач на ЭВМ. При этом предварительно устраняют все ветви с идеальными источниками напряжения и уравнения (3.!91) представляют в матричной форме: (у,,)(иг) =(Р)+(1 ). Здесь (У„) — матрица узловых проводимостей, равная У~~ Уп .. Уп (Ум) = У„~ У„, ..
У.. (О') =10~ 05 ... (7„)' — матрица-столбец узловых напряжений; (Р) =(Л Л ... Л)' — матрица узловых задающих токов; ((ч) =(!(г Й ... Йу — матрица эквивалентных узловых задаю- щих токов, Матрицы узловых проводимостей и узловых задающих токов могут быть определены через узловую матрицу: (Ум) = (Аг) (У') (Аг)', (7') = — (Аг) (1'), (7'") = — (Ат) (У') (Е'), где у,оо...оо (У)= и у, о...о о о оо...оу, — диагональная матрица проводимостей ветвей; Уь У5 ... Ук— проводимости ветвей, пронумерованные соответственно номерам столбцов узловой матрицы (номерам ветвей); М =л, — количество ветвей в цепи (без ветвей с источниками тока); (1')= 145 = (1А ...
1к)' — матрица-столбец задающих токов (такая же, как в матричном методе контурных токов, $3.8.4); (Р) =(ВЕЛ .. ...Рэ)' — матрица-столбец э. д, с. ветвей (такая же, как в матричном методе контурных тонов, $ 3.6.4), Проиллюстрируем описанный матричный способ на примере цепи, изображенной на рис. 3.53, а. По графу этой цепи (см. рис. 3.53, б) составляем узловую матрицу (А„) = ( — — ! ох о о' — ! !1' а также задаем матрицы Отсюда находим с г,о о о — ! о а г, о о — ! о уг,+у+у —.Х ~ о от о ! — ! =( — г, г+г)' ооог, о о ') ~ =(~) (1")=-(' ~-'") — l, о о о 8 Х о о Е, (гй+г6) ого о ( о о от, о ( — "') ( о о — !!) х(', Окончательно получаем искомое матричное уравнение (- — — ) (,:)=(- г~ + г2+ гЗ гз '1 (с ~ ) ! ~!6 + ~282) -г, г.+ г,l ~и.,l ~ ! Решение уравнений (3.)9!) может быть записано также в общем виде, аналогично решению (3,!88) уравнений (ЗЛ85), (3.(87).
Такое решение выражается через определитель матрицы узловых проводимостей Лг = ! Ум!, называемый также определителем узловых проводимостей или определителем проводимостей (цепи). 7, Метод наложения. К основным законам токопрохождения относится также закон суперпозиции для линейных цепей (см. $ !.4.2). Соответственно к прямым методам расчета цепей следует отнести метод наложения, основанный на принципе суперпозиции. Для произвольной линейной цепи, содержащей несколько источников, любой ток или напряжение определяют по методу наложения в несколько этапов. Сначала выключают все источники, кроме первого, и определяют напряжение или ток в том участке цепи, где это необходимо.
Затем выключают первый, включают второй источник и находят напряжение или ток в том 146 же участке цепи под воздействием этого источника. Далее операцию повторяют г; аналогичным образом для всех остальных источников. При этом искомое напряжение или ток определяют как сумму напряжений или токов, обусловленных дей- )~л х ствием каждого источника в отдельности. При использовании метода под вы- Е ключением источника тока понимают размыкание ветви с этим источником (рис. 3.56, а), а под выключением источ- )! Ю) ника ' напряжения — исключение задаю- а) щего напряжения при коротком замыка- Р . Збб. выключение кении зажимов идеального источника точникон и тока нннрн(рис. 3.56, б) Для примера рассмо'грим определение методом наложения напряжения О в цепи„изображенной на рис.
3.57, а. При выключении источника тока (рис. 3.57, б) напряжение У' на сопротивлении Ях определяется по второй формуле (3.67): 0' = Ест/Я~ + +Я»). При выключении источника напряжения (рис. 3.57,в) на сопротивлениях Уь Ят полу-' чается одинаковое напряжение 0", определяе»х мое по закону ~Ома (3.19) с учетом второй формулы (3.26): ()и=с1=1/У=1/(У~+ Ух)= Ф =1о~Я~/(7~+2~.
Складывая (/' н 0", находим искомое на- пряжение 0 =' Ах(а + с11)/(Е~ + 2»). а) Применение метода наложения для расчета токов в линейных цепях наглядно нллюстриру- Х ется формулой (3.188), которую можно перепи- 2 сать в следующем виде: 1~ = 1ы+ 1м+ ". + 1ы+ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
