Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(3.195) выходной ток 1г определяется через сопротивление передачи лиг! из входного (первого) контура в выходной (второй) контур четырехполюсника: Г (г = Е7Хогь Лог! = Лг7Л1г., (3.197) а! Здесь Лг — определитель сопротивле- ний всей цепи, включающей четырех- ! 7,' 7",т! полюсник и сопРотивлениЯ У,, Лг, а Л~г — алгебраическое дополнение элег, мента Лп этого определителя. Й вЂ” Перенесем задающее напряжение Е из входного в выходной контур, что означает изменение направления перес) дачи сигнала через четырехполюсник Рис.
з.а2. изменение ааправ. (Рнс 3.82, б). При этом все токи в цепи лгичгггвсхачисчгчглч через изменятся. В частности, бывший входвгссчгчи» чгтигчггчлюск ной ток 7, изменяется до некоторого значения 7! и приобретает смысл нового выходного тока. При изменении направления передачи сопротивления Ль А остаются в своих контурах. Поэтому определитель Лг сохраняет прежнее значение. Таким образом, новыи выходной ток определяется следующим образом: А = ~Яраги Дго = аг/аг1 (3.
! 98). В силу отмеченного свойства симметричного определителя сопротивлений цепи (см. $3.6.4) в рассматриваемом случае соблюдается равенство (3.199) Ли = Ли. Из,вторых равенств (3.197), (3.198),и равенства (3.199) следует, что при изменении направления передачи через четырехполюсник сопротивление передачи не меняется: Л„н=гп„. (3.200) Из первых равенств (3.197), (3.198) н свойства (3.200) находим, что г'1 = гг (3.201) Это равенство определяет свойство (принцип) взаимности пассивных цепей и составляет содержание теоремы взаимности, илн обратимости. Согласно этому свойству при изменении направления передачи сигнала новый выходной ток получается равным прежнему выходному току. Цепи, обладающие таким свойством, называются обратимыми, а в противном случае— необратимыми.
По смыслу доказательства соотношения (3.201) любые линейные пассивные четырехполюсники являются обратимыми цепями. Г52 у, уз 13 где Х=Х~ +Хе+ Уз — собственная проводимость центрального узла. Из соотношений (3.202)' и (3.203) можно определить токи звезды: /, = У,Хз(О, — Оз)/У+ У|Хз(О, — ' Оз)/Х, 1, = У,Х(и, — и, уу+Х,У,(и, — О,)/У, /, = ЪХ,(О, — О,У~ + Хзхз(Оз — О УХ. 6. Взаимное преоб- у', Разование пассивной ~! У' 111, звезды и пассииного ъ! Ъ и треугольника. Выше уже -' 1я/г рассматривалась экви- у, с Е, Егг валентность пассивных гз -г двухполюсников. ПасЪе с уз сивные многополюсни- у 1з 1зи ™ ! ки также могут быть в) -г эквивалентными. В ча- рее, 3 из взаимное егеецоезоеание езссиенои стности, грехлучевая зеезлн и паееизгого треугольнике звезда и треугольник (рис. 3.63) могут стать эквивалентны.чи, если по общему критерию эквивалентности в этих цепях обеспечить одинаковые токи 1ь 1з, )з при одинаковых узловых напряжениях Оь Оз, Оз.
Для этого надо соответствующим образом выбрать сопротивления в этих схемах. Схемы, которые могут стать эквивалентными при соответствующем выборе параметров их элементов, называют потенциально эквивалентными, а указанное свойство этих схем — потенциальной эквивалентностью. Для нахождения условия эквивалентности треугольника и звезды определим для нее (рис. 3.63, а) токи лучей: ! = У~(О~ = Оо), /з= Уз(Оз — Ое), 1з= Уз(Оз — Оо). (3.202) Сложив эти равенства, найдем из первого закона Кирхгофа ()~ + /з+ 1з = О) узловое напряжение центрального узла: О. =(Х, О, +Х,О, +Х,и,уу, (3.203) С другой стороны, токи в твеугольнике (рис.
3.63, б) связаны соотношениями — — /иь !з=!, — 1, где /и =Хи(и| — из), /зз = Хзз(из — из), /з~ =Хе|(из — и~)-, Сравнивая эти токи с найденными токами звезды, устанавливаем, что они получаются одинаковыми при соблюдении следующих условий: Хгз =Х~Хз/Х, Хзз =ХзХз/У, Хзз = ХзХ~/Х (3.204) 153 Эти равенства являются условиями эквивалентности треугольника и звезды. Они позволяют преобразовать звезду в треугольник. Для обратного преобразования треугольника в звезду следует решить совместно систему нелинейных уравнений (3.204) относительно Хь Ят, Ла. С этой целью найдем из этих уравнений произ' ведения 31т315, 3м2та, Ее~Лат и сумму л = Ям+Яда+Явь которая является собственным сопротивлением контура треугольника.
Упрощение выражения для Я достигается применением формулы квадрата трехчлена. Разделив найденные произведения сопротивлений на указанную сумму, получим 3~ = Е~еЯ~аггот, 3е = Ем3еа/Е, Уа =Яа~_#_атЯ. (3.205) В формулах (3.205) для большей наглядности переставлены некоторые индексы с учетом равенства Ялг=2г». 7. Взаимное преобразование активной звезды и активного треугольника. Активную трехлучевую звезду (рис. 3.64, а) можно преобразовать в эквивалентный активный треугольник. Для этого сначала преобразуем пассивную звезду в пассивный а) Рис.
З.бе. Преобразование активной звезды в антивный треугольник !54 треугольник в соответствии с формулами (3.204), как показано иа рис. 3.64, б. Затем в соответствии с методом переноса и расщепления источников напряжения, (см. $3.7.2) все три э. д. с. перенесем в ветвк треугольника (рис. 3.64, в). Теперь остается объединить последовательно включенные идеальные источники напряжения, как показано на рис. 3.64, г.
При этом определяются эквивалентные параметры: Кз = йт — 6, Ьзз = Ез — ~г, Ез~ =6 — Ез. (3.206) Расчет эквива,лентного активного треугольника производится по формулам (3.204) и (3.206). Обратное преобразование активного треугольника (рис. 3.65, а) в активную трехлучевую звезду можно произвести в пять этапов. На первом этапе источники напряжения преобразуются в источники тока (рис. 3.65, б) в соответствии с формулами (3394). На втором этапе пассивный треугольник преобразуется в пассии-. ную звезду (рис. 3.65, в) в соответствии с формулами (3.205). На третьем этапе в соответствии с методом расщепления и переноса источников тока (см.
$3.7.3) источники тока расщепляются и переносятся к центральнокту узлу (рис. 3.65,г). На четвертом этапе объединяются параллельно включенные идеальные источники тока (рис. 3.65, д). На пятом этапе источники тока преобразуются в источники напряжения (рис. 3.65, г) в соответствии с формулами (3.204).
При этом с помощью формул (3.205) опре- ,7и тх угу етг б) о) 7 з -'гз а) т. г) рне. З.ББ. Преобразование активного треугольника в активную звезду !55 делаются эквивалентные параметры: Е~ = (Х~гЕз~ — Хз Е1г)/Х, Ег =(ХгзЕ г — Х гЕгз)/Х, Ез = (Хз~ Егз — ХгзЕз|)/Х (3.207) Расчет эквивалентной активной звезды производится по формулам (3.205) и (3.207).
з З.З. РАСЧЕТ ПОСТОЯННЫХ НАПРЯгКЕНИИ И ТОКОВ Рассмотренные методы расчета цепей, как уже отмечалось, пригодны н в случае постоянных напряжений н тонов. Однако в этом случае имеется несколько особенностей, которые требуют специального подкода к расчету некоторых цепей. Эти особенности н подходы рассматриваются в настоящем параграфе. 1. Расчет цепей с реакгивнымн элементами. Как отмечалось, при использовании любых расчетных соотношений для постоянных напряжений и токов комплексные сопротивления и проводимости следует заменять диссипативными сопротивлениями н проводимостями. При постоянных напряжениях и токах существуют и другие правила расчета цепей, содержащих реактивные элементы.
Такис цепи характеризуются тремя особенностями. Сопротивление индуктивности для постоянного тока равно нулю: Х=озЕ = О, поскольку со=О. Это эквивалентно короткому замыканию как самой индуктивности, так н всех элементов, подключенных параллельно к индуктивности. За счет этого цепи упрощаются, как показано на рис. 3.66. В этом заклгочается первая особенность. Емкость не пропускает постоянного тока. За счет этого цепь может содержать обесточенные днссипативные элементы. Для таких элементов (/ = Я, 77, = тс/ = О, поскольку 1=0. Равенство нулю Е г напряжения на элемен- ь" з Е те эквивалентно коротке кому замыканию как самого этого элемента, так и всех других элеРис. 3-бб.
Упрощение цепи с индуктивнастями ни ментов подключенных постоянном токе к нему параллельно. За счет этого цепи упро77г ьг щаются, как показано Е на рис. 3.67. В этом заключается вторая осо- С 7Т : ) бенность. Е Третья особенность заключается в сущестРис. 3.б7. Упрощение цепи с обесточенными дис- ВОВаиИИ ИЗОЛИрованиых сипативиыми элементами узлов (см.. рнс. 2.23). !5б Цепи с такими узлами нельзя рассчитывать методом токов ветвей и методом контурных токов, поскольку сами эти токи равны нулю.
Вместо этих методов используют методы зарядов ветвей и контурных зарядов. 2. Метод зарядов ветвей. Если ветвь цепи состоит из емкости, то статический заряа на этой емкости называют зарядом ветви (по аналогии с током ветви). При наличии изолированных узлов в цепи заряды ветвей могут являться неизвестными величинами, подлежащими определению. Их определение составляет содержание метода зарядов ветвей. В этом методе уравнения составляют по закову сохраненения зарядов (2.4!) или (2.42), которые заменяют уравнения по первому закону Кирхгофа. Недостающие уравнения, как и в методе токов ветвей, составляют 'по второму закону Кирхгофа (2.48). При этом напряжения на емкостях выражают через заряды ветвей по формуле (2.5): „~,!еа/ Сх = Е, (3.208) где Š— суммарная э. д.
с. в контуре (контурная э. д. с.); пх— количество емкостей в контуре. При использовании уравнений (2.41), (2.42) и (3.208) во избежание путаницы в знаках рекомендуется размечать предварительно полярность зарядов, подобно тому как в методе токов ветвей размечают направление токов. Рассмотрим для примера схему, в которой емкости С!, Сз имели начальные заряды !)О!, Своз заданной полярности (рис. 3.68). 'йь Рис. 3.68. Схема цепи, иллюстрирую Охая метод зарядов аетеей !57 Рис. 3.69. Схема цепи, иллюстрирующая метод контурных зарядов Размечаем пРоизвольно полЯРность заРЯдов ветвей сг!, 2~2, 2,22.
Для их определения составляем одно уравнение (2.42) и два уравнения (3.208). Выбрав для этого верхний узел и контуры с направлениями обхода, показанными стрелками, получаем тх!! (гз+ (гз = !ЕО! 2хто2, тЕ!ттС! тгз/С2 = Е ЯхттС2+ 9зттСз = 0 Решение этой системы уравнений дает искомые значения зарядов ветвей !е!, сгх, (ез, по которым определяютсн и напряже- иия иа емкостях (/~ = Я~/Сь Ут = 1,1т/Сз, (/з = Яз/Сз. Если искомыми величинами являются указанные напряжения, то можно модифицировать систему уравнений: — С, (/, — Сз Сз+ С,(/, = — а., — О.„и, — ' и, = Е, (/т+ (/з = О. Здесь начальные заряды могут определяться по заданным начальным напряжениям иа емкостях. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
