Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Однако такой способ целесообразен лишь при машинном составлении уравнений на ЭВМ. Практически для цепей с плоскими графами удобно составлять уравнения по второму закону Кирхгофа для тех главных контуров, которые ограничивают внутренние неперекрывакцциеся ячейки графа (см. $2.5.6).
При этом для исключения лишних контуров нодо мысленно разомкнуть ветви„содержащие источники тока. Тогда следует рассматривать оставшиеся контуры, ограничив юшие оставшиеся внутренние ячейки. Будем называть их независимо.ми контурами. Для примера рассмотрим цепь с четырьмя неизвестными токами (рис. 3.51, а).
Размечаем предварительно неизвестные токи 1,, /т, .1,, 1,, ПРОИЗВОЛЬНО Задан ИХ ПОЛОжИтЕЛЬНЫЕ НаПраВЛЕНИя, По формул» (2.591 определяем, что необходимо составить два 13л уравнения (3.9) по первому закону Кирхгофа. Составляем их для узлов а и б: !!+хз+хз=О, хз+хх=х. (3. 182) По первой формуле (3.181) опре-' деляем, что требуется составить два уравнения (3.180) по второму закону Кнрхгофа. Для этого мысленно размыкаем ветвь с источником тока. Остается два контура, ограничивающих внутренние ячейки. Выбрав направление обхода контуров по ходу часовой стрелки, составляем для ннх уравнения (3.180): Я,1, +Уз/з=Й, — 2А+ + Лз!з+ ЕА = 0 (3.183) е сз е1 1,тс зкЬт Рис.
3 й! Схемы испей, иллюст- рируюсиие метод толам еетвей Совместное решение системы из четырех уравнений (3.182), (3.183) позволяет определить четыре неизвестных тока ветвей. Возможно и машинное решение такой задачи на ЭВМ с использованием стандартной программы и операторов расчета комплексных чисел. При этом само составление уравнений по методу токов ветвей осуществимо машинным спбсобом с помощью матриц главных сечений и главных контуров, как это описано в $ 2.6.
Метод токаи ветвей позволяет рассчитывать цепи с индуктивными связями. При этом в уравнениях (3.180) под сопротивлениями Ел Понимают также сопротивления взаимонндукции Лзь Таким образом, для каждой индуктивности, связанной с т другими индуктивностями, в уравнениях (3.180) следует складывать падение напряжения на этой индуктивности ЛА и т напряжет ний взаимоиндукции Еи!з(! =' 1, 2, ..., пз).
Например, для цепи, изображенной на рис. 3.81, б, следует составить одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два уравнения по второму закону Кирхгофа. Эти ураннения имеют следующий вид: — А + А+ хез = О, (т, + )ы~.,)з~ +)езМ~А — )езМ~зхез+ + (те + !езсз)зз + !изМ!зз1 — )изМзззз = о, (тз+ !езс з)гз— — !юМ~з!~ — 1сеМззххз — (гз+)ыхх.з)ххз — 1езМ~А + !езМзз~з = О. После приведения подобных членов эта система уравнений решается обычным образом.
2. Метод переменных состояния. Переменными состояния цепи называют мгновенные значения напряжений на емкостях и . токов через индуктивности. В методе переменных состояния урав- 135 пения составляют именно относительно этих неиэвесгныХ величин, подлежащих определению. Хотя переменные состояния не включают в себя всех токов и напряжений цепи, они 'полностью определяют состояние цепи в любой момент времени, чем и обусловлено их название. Такая роль переменных соцтояния объясняется двумя факторами.
Вопервых, они однозначно определяют запас энергии в цепи в любой момент времени. Поэтому, в частности, если по каким-либо причинам входной сигнал перестает действовать, то процесс в цепи не прекрашается вследствие расходования запасенной энергии, что и определяется значениями переменных состояния. Во-вторых, по этим значениям могут быть определены любые другие напряжения и токи в цепи, с которыми переменные состояния связаны уравнениями Кирхгофа и законом Ома, Если каждая из ветвей содержит только по одному реактивному элементу, то количество подлежаших определению неизвестных переменных состояния равно числу ветвей.
В этом случае уравнения относительно переменных состояния (уравнения состояния) составляют в том же количестве и по тем же правилам, что и в методе токов ветвей (для мгновенных значений напряжений и токов). С, а) я, Л Рис. 3.5х. схемы делей, иллюстрирующие метод переменных состоянии !36 Если некоторые ветви содержат и индуктивность и емкость, то для них количество неизвестных величин удваивается.
Недостаюшее при этом количество уравнений состояния составляют по первому равенству (2.6). Полученная система дифференциальных уравнений может быть решена численно на ЭВМ. Для этого она должна быть предстпвлена в так называемой нормальной форме. Такая система дифференциальных уравнений содержит в левой части каждого уравнения первую производную одной из переменных состояния, а в правой части все остальные слагаемые (без производных).
Для примера рассмотрим цепь, показанную на рис. 3.52, а. Здесь неизвестными переменными состояния являются напряжения иь ит и ток йь По первому и второму законам Кирхгофа можно составить лишь по одному уравнению (при й = С~ -Я-): ол~ Ои~ — С~ — +се=/, Я~С~ — + ш ' ж + и~ + й —," + Щт + ит = е, Недостающим уравнением является равенство лиг гг = Сг —. О! Решив совместно полученные уравнения относительно произ- водных, получим систему уравнений в нормальной форме: Ои!' 1 — = — (!г — 1), ш с, ° лиг 1 гг О! С, О!! 1 О! = й (е+ гг!1 и! иг (гс! + Аг)!г1. Такая система уравнений решается на ЭВМ с помощью стан- дартной программы при заданных начальных условиях и!О= = и!(1) ( ! = О игО = игЯ ! ! = О гО = гг(1) ! ! = О.
Возможен случай, когда некоторые ветви не содержат реак- тивных элементов. Неизвестные токи этих ветвей не должны вхо- дить в систему уравнений для переменных состояния. При этом из уравнений (2.25) или (2.33), (2.1) определяют в общем виде указанные неизвестные токи и подставляют их в остальные урав- нения. Таким образом соответственно сокращается как число неизвестных, так и количество уравнений.
Например, для цепи рнс. 3.52, б при двух переменных состоя-' ния и! и иг существует три независимых уравнения — одно по первому закону и два по второму закону Кирхгофа. Из уравне- ниЯ ДлЯ контУРа Сг, )сг опРеДелЯют ток гг= — иг. ПРи этом 1 яг остается два уравнения для двух переменных состояния; Ои! ди! 1 ди! — С! — + Сг — + — и, = 1', Я!С! — + и!+ иг =е, ш ш лг е! или в нормальной форме аи! !1и! 1 Г.
1 — (е — и! — иг), — = — р+ — (е — и,)+ ш а,с, ш с, ( я, + ( — — — ) иг~. Возможен, наконец, случай, когда некоторые из независимых уравнений не содержат производных переменных состояния. Следует продифференцировать такие уравнения и остальные действия производить по общей схеме. Так, для цепи с переменными состояния и!, иг, показанной на рис. 3.52, в, получаются два независимых уравнения по законам Кирхгофа: Ои! лиг 1 1 — С! +СΠ— — и!+ — иг=1', и!+иг=е.
М ш, й! й! Продифференцировав второе уравнение и решив полученную систему.из двух уравнений относительно производных, получим 137 дифференциальные уравнения в нормальной форме: ьи, ! / Еь . ! 1 — !Сг — — 1 — — и!+ — и!), ж и+и 1, с! я я1 Еь, — ~С! — +1+ — и! — — и8). с~+ сг уу п~ % Решение подобных уравнений возможно не только на цифровых, но и на аналоговых ЭВМ. В ряде случаев такие уравнения решают аналитически (см. $6.2.2). 3. Метод контурных токов. В методе контурных токов подлежат определению неизвестные контурные токи. При этом реальные токи ветвей могут быть найдены алгебраическим суммированием соответствующих контурных токов (см. $2.3.9). Для определения контурных токов составляют уравнения по второму закону Кирхгофа.
Независимые контуры, для которых составляют эти уравнения, выбирают по тем же правилам, что и е методе токов ветвей -(см. $3.6.1). Количество контуров определяется прежними формулами (3.181). Перед составлением уравнений размечают контурные токи. Направление их выбирают произвольно. Однако удобно (особенно для планарных схем) выбирать для всех контурных токов одинаковые направления, например по ходу часовой стрелки. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа каждый из контуров следует обходить по выбранному направлению соответствующего контурного тока.
Как и в методе токов ветвей, уравнения по методу контурных токов составляют в виде равенств (3.180), где фигурируют токи ветвей. Следовательно, в составляемые уравнения надо сразу подставлять алгебраическую сумму контурных токов, образующих соответствующий ток ветви. Следует подчеркнуть одну особенность составления уравнений по методу контурных токов. Как и в методе токов ветвей, в этом случае не составляют уравнения для контуров, содержащих ветви с источниками тока, а сами эти ветви мысленно размыкают.
Однако е методе контурных токов перед мысленным размыканием укаэанных ветвей намечают вспомогательные контуры, по которым замыкаются задающие токи; будем называть ик контурными задающими токами. Как и для прочих контурных токов, эти контуры выбирают произвольно, но направление каждого контурного задающего тока должно задаваться в соответствии с направлением задающего тока источника. Хотя для вспомогательных контуров уравнения не составляют, в уравнениях для остальных независимых контуров токи ветвей выражают через алгебраическую сумму контурных токов, включающую и соответствующие контурные задающие тони. Рассмотрим для примера цепь, показанную на рис.3.53, а. По первой формуле (3.181) определяем, что необходимо соста' вить два уравнения вида (3.180).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
