Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2-е издание, 2004) (1092039), страница 42
Текст из файла (страница 42)
По значению математического ожидания все оценки можно классифицировать на: несмещенные, для которых математическое ожидание равно истинным значениям параметрон, т. с. М[Л(ц)) = Л; — имеющие известное смещение, т. е. М(Л.(и)) = Л ь Ь, где Ь вЂ” известный вектор (систематическая ошибка Ь возникает, например, при задержке сигнала в элементах приемного тракта, когда расстояние до цели измеряется по времени запаздывания принимаемого сигнала относительно зондирующего); — имеющие неизвестное смещение, зависящее от неизвестных параметров,т.е. М(Л(ц)) = ЛьЬ(ЛЛ Для произвольного закона распределения н(я) случайных ошибок дисперсия ошибки измерения определяется из соотношения 23б 5 ). Обмле свесе я и, '= ~ ее м(е)де Вероятна» ошибка соответствует такому значению е„= е, при котором Р((е) Е Цз) = Р((е(' е,) = ОУВ За максимальную ошибку обычно принимают такое значение е = е вероятность нревышения по модулю которого составляет 0,8 ЕЛ В случае наиболее распространенного цеитрираваннаго нормального шкала распрслеления случайных ошибок среднеквшйзвтическш ошибка полностью харштаризует вероятную и максимальную ошибки; 2 8 е„= — и, е =-и.
3 ' 3 Обобщенным показателем «ачества оценивания ввляютса усредненныс по всем значениям парамюров Л и возможным результатам наблюдения п потери д (средний риск). д=))П(ЛЛ(н» ~Лп)ЗЛД . сь (5.2) Здесь к(Л, в) — совместна» плотность нероятиости оцениваемого параметра Л е Л и наблюдаемой велмчины и е С( П = П(Л, Л(и)) — функшш потерь. Н» практике манболес гпирокое распространение пшбчилн функции потерь П = П(е), завис»мне только от ошибки одениаани» а = Л - 1. Графики некоторых типичных функций потерь для одномерного спуча» представлены на рис.
5.1: потери пропорциональны квадрату ошибки: П(е)ие' (рис. 5.1, а); потери увеличиваются пропорционально абсолн гной величине ошибки: Пбб И (рис. 5.1, б); функция шпарь принимает значения, разные 0 при й( е Ы2 и равные 1 при (е( > д)2 (рис. 5.1, е). Конкретный вид функции потерь спрелсляется пшом решаемой задачи. При этом оптимальная процедура измерения должна обеспечивать минимум средних потерь. 5.1.1.
Измерения случвйнык параметров Задача оцени»виня случайных параметров сигналов состоит в нахождении процедуры (алгоритма) обработки результатов наблюдения и ы Ю, об ечиваюшей минимальное значение средних потерь Я, определяемых выражением (5.2). 237 5 Основы теории итмерепил паранемрсв сиелалов Рнс. 54. Типпчньле функции потерь: о — квадратичная; б — линейная по модулю, в — «гупенчатая Для функции потерь, представленной иа рис.
5,1, а, выражение для среднего риска имеет вид й„, = ) ) (д — Цп))'В(Л вЂ” Цп))кт(Ц и)Л к(п, пл (5.3) где  — положительно-определенная матрица (г х г); г — разыерность пространства оцениваемых параметров; ( ) — оператор трал«полирования. Совместную плотность вероятности, входящую в (5.3), можно представить в виде ю(1., ц) = и (в)ю(Цц), (5.4) Здесь н(и) — априорнал платность вероятности наблюдаемой величины; ю(Ци) — апостериорная плотность вероятности оцениваемого параметра. Подставляя соотношение (5.4) в (5.3), будем иметь Я„, = Ц(1 — Ци))'В(Х-Ци))п(Ци)Лм(ц, цл Наименьшее значение потерь А, можно получить, минимизируя внутренний интеграл в выражении (5.5). Поскольку сомножители подынтегрального выражения неотрицательны, продиффереицировав его по д и приравняв результат нулю, получим ь„, = )ь (Цп)е(д, л (5.б) Таким образом, при квадратичной функции потерь оптимальная оценка, минимизирующая средний риск, получается как среднее значение апостериориой плотности версятиостн оцениваемого параметра.
238 51 Обмиес саския Для функции, представленной на рис. 5 1, б (критерий минимума аб. салютиай величины ошибки), при измерении скалярного параметра средние потери определяютая формулой й - = ) ) )Э. — ь(н)(и(Цн)и(в)Н3.си. (5.7) Эти патари будут минимальны, «огла внутренний интеграл минимален Для наваждения оценки, минимизирующей йш, разобьем внутренний интеграл и» два: йг Ди)= ) (2(и) — ь)н(Ци)г(Д;- ) (З.-Х(н))и(й)и)г(Э..
(5В) м г Дифференцируя Дн) па й и приравюшая результат нулю, патучим условие, которому должна удовлетворять оденка д, = )(и), минимизирующая средний риск йиы г гг / и(Цн)ЫХ = ) и(ь)н)г(Ш (5.9) гг Таким образом, оценка по критерию минимальной величины ошибки должна фармироватьая как а(миноса медиаим апостериориой плотности вероятности. Для ступенчатой функции потерь (см.
рвс. 5.1, а) имеем й г+ьг й„= ) и(н)~1 — ) и(Х)и)г(Д)г(в. й г-ыг (5.10) г(1п и(Ца) = О. г=м.г (5.! 1) 239 Двя минимизации потерь необхадича чаксиыизировать внутренний иитаграл, или, что то жс самса, минимюировать яерагпиосп того, па )я) > ЛО. Очевидно, что для мазы» Л наилучшей оценкой в атом случае будет то значение а е уи при катаром апостериорная плотность и(а)в) принимает максимальное значение.
Поскольку логарифмическая функция монотонна, то при условии, по измеряемые величины лежат внутри допустимой облаоти изменения параметров Л и функния 1п в(Ци) имеет непрерывные первые производные, нсобкаднмое условие максимума принимает внд 5. Основы теории измерения вара втрое снов<псе с((пи(Ци) ос1л и(в~Л)~ Лп и(Х)~ й3 ыю аъЛ ) й ! йЛ Полученные соотношения для оценки скалярного параметра иллкктрируются графиками, представленными на рис. 5.2, где изображены зависимости априорной плотности вероятности м(Л), апостериорной плотности вероятности ы(е(и)и плотности вероятности и(и!л)(функции правдополобия) оцениваемого параметра. Пологий характер кривой зе(Л) хараюсризует весьма ограниченную априорную информацию об оцениваемом параметре, Информация существенно уючняется после проведения измерения, что отражается на графике ы(и!Л) — пик становится существенно уже. Отметим, что при полном отсутствии априорных данных (и(Л) = = соля!) график апостериорной плотности вероятности по форме совпадает с графиком функции правдоподобия.
5.1.2, Измерение неслучайных параметров Синтез алгоритмов оценивания неслучайных параметров осуществляется обычна на основе метода максимума правдоподобия. Напомним, что плотность вероятности н(и(Л), рассматриваемая как функция от оцениваемого параметра Л и Л, называется сруньт(ией правдоподобия. На практике удобно использовать логарифм этой функции. Оценка Лев(и) по максимуму правдоподобия — это шкое значение Л и Л, при котором функция правдоподобия максимальна. Если точка максимума лежит внугри области изменения Л, а функция правдоподобии имеет непрерывную первую произ- 240 Л Рис 5.2. Типичные зависимости априорной шзотности вероятности и(Л), ааэстериориой плотности верэятиости и(Л!и) и функции правдоподобия и(и!Л) оцениваемого параметра Выражение (5.1! ) называется уравнением максимальной ооосглериорной вероюлиости, оно часю иаюльзуется для синтеза алгоритмов оценивания параметров сигналоа в радиолокации. Применив формулу Байеса, получим !пи (Л!и) = )ли(и!Л) +!ли (!) -)пы(и).
(5.12) Тогда уравнение для максимальной апостериорной вероятности можно записать в следующем виде: 1.1 ОГ» рке гседс я водную. то оценку по максимуму правдоподобия можно поаучить из уравнения правдополобня ДИМА)2)! (5 14) дк Сравнива» соотношеии» (5.14) и (5.13), видим, что оценка па максимуму правдоподобия и оценка по максимуму апосгерчарной плотности нероятности совпалают, если априорные данные пюугствуюг. Стметим, по априорные данные сб оцснинвемых параметрах могут быль получены на основе предыдущих измерений 5Л.З. Осабенностн многократного измерении елучавных параметров Бдиничныс оценки, прнвеленные выше, формируются обычно за время радиолокационного контакта с целью.
В процессе наблюдения за целью этн кон»акты и, следовательно, измерения могут повторяться и быль многократны. Таким гбразом, прихолим к задаче синтеза алгоритмов обработки инфсрмыгии при многократиьщ измерениях. Предположим, что по результатам л — 1 радиолокационного контакщ сформированы данные о парамюрах цели, которые являкнся априорными при обработке и-го изиерсния. Далее будем рассматривать гопько еяучай регулярных измерений, лл» коюрых распределения оцениваемых параметров яюшютс» ггормюьными, а уравнение Лдя логарифм» апгютериорнай плотности вероятности имеет вид 1пи(1(н)= — (Х вЂ” 2»)'Р~'(2 — 1») — — (2 — 3.„)'Р„'(2 — 2„)чсощг, (5.15) где 2» оценка, а Р, — «оварианианная матрица оюибок, сформированные по результатам предылущих л — 1 измерений; 1.„оценка неизвестных параметров, полученная по текущему измерению; Р, — ковариациониа» матрица ошибок текущего измерени».
При сделаннык допущениях апостериорная плотность вероя~но~ти оцениваемых параметров явлаеюя нормальной, и логарифм ее можно прело гавить в виде 1пм(!(н)=- — (2-2)'Рч(2 — ь)тсопз!. (5!6) Здесь др, Рг — маземапмеское ожиаание и коваржщиоггнаа матрица результирующею апостсриорного распределения соствсютгснно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
