Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 54
Текст из файла (страница 54)
матрицы Р, С, Г, Н от времени не зависят. Предположим также, что возмущающее воздействие и на парамет- б. Основы вторичной обработки радиолокационной информации параметров намного превышает величину самой оценки и значение средней квадратической ошибки со временем неограниченно возрастает. Расходимость фильтра может возникнуть в силу; 1) заметного несоответствия модели состояния динамической системы реальному процессу движения цели и (или) модели измерений — реальной помеховой остановке, а также неправильного выбора параметров стартовой точки; 2) ошибок в процессе численных вычислений (особенно при матричных вычислениях) из-за недостаточной точности представления чисел в ходе практической реализации алгоритма калмановской фильтрации на средствах вычислительной техники; 3) ошибок при выполнении операции селекции в условиях сложной помеховой и целевой обстановки.
Из анализа соотношений, определяющих работу калмановского фильтра, видно, что перечисленные факторы могут привести к возрастанию величины невязки измерений (6.37) до такого значения, при котором она становится несогласованной с коэффициентом усиления фильтра (6.39), в результате чего оценка (6.35) траекторных параметров не корректируется регулярно до нужных значений. Поскольку почти всегда любая модель содержит некоторые аппроксимации и погрешности, а численные расчеты выполняются с конечной точностью, вопрос о приемлемых текущих ошибках оценивания траекторных параметров, означающих отсутствие расходимости фильтра, является одним из важнейших при разработке алгоритмов ВО. Для характеристики с этих позиций работоспособности калмановского фильтра вводится понятие его состоятельности [63), несколько отличающееся от традиционного. Состоятельной оценкой некоторого постоянного параметра называют оценку, которая сходится к истинному значению рассматриваемого параметра при увеличении числа наблюдений.
Соответственно, алгоритм, производящий такое оценивание, можно назвать состоятельным. Состоятельны.и катиановскии фи|ьтром называют фильтр, в котором первый и второй моменты ошибок получаемых оценок траекторных параметров соответствуют теоретически предсказанным, т. е. средняя ошибка равна нулю (оценка является несмещенной), а второй момент соответствует ковариационной матрице ошибок, вычисляемой фильтром. Для проверки состоятельности калмановского фильтра используется тот факт, что при линейном гауссовском допущении условная плотность Распределения н(Х„~й~~~) траекторных параметров должна подчиняться нормальномУ законУ РаспРеделениЯ с паРаметРами Х и Ч'ь, вычислаемы- ми фильтром в некоторый А=й момент времени: 308 6.4.
Рекуррентная оценка траекторных параметров гв(Х»~й®) = Ф( Х», Х», +» ), (6.48) где Ф~Х», Х», 'У» ~ — условная запись нормального закона распределения величины Х» с математическим ожиданием Х» и ковариационной матрицей Ф». Поэтому одним из способов проверки состоятельности фильтра является проверка справедливости выражения (6.48). Статистические характеристики распределения можно задавать его моментами, причем для гауссовского распределения достаточно двух моментов. Тогда выражение (6.48) эквивалентно условиям м(х,-х,) =м(лх,) =0, м((х„- х,)(х» - х„)'~ = т,, (6.49) (6.50) которым должен удовлетворять фильтр.
Условие (6.49) является требованием несмещенности для оценок траекторных параметров (т.е. нулевой средней ошибки оценнвания). Условие (6.50) — это требование согласованности моментов, т. е. того, что действительная ковариационная матрица (левая часть) равна ковариационной матрице, вычисленной фильтром (правая часть). В качестве статистики, которую можно применить для проверки соотношений (6.49), (6.50), целесообразно использовать нормированный квадрат ошибки оценки траекторных параметров б (Х) =АХ' »12»'ЬХ . (6.51) 309 Если вычисленная фильтром ковариационная матрица Ч'» соответствует оценкам траекторных параметров и действительной коварнационной г матрице, то при гауссовском допущении эта статистика подчиняется у -распределению с Ь степенями свободы (Ь вЂ” размерность вектора траекторных параметров).
При попадании этой статистики в заданный доверительный интервал анализируемый калмановский фильтр можно полагать состоятельным. Заметим, что статистика 82(Х) чувствительна как к невыполнению условия (6.49), так и (6.50). Тест на основе статистики бг(Х) можно использовать при проверке состоятельности фильтра по результатам статистических испытаний. Пусть после моделирования с помощью метода Монте-Карло получена выборка М независимых случайных величин 82(Х),, 2 =1,2, ..., М. Среднее значение б -статистики имеет внл 2 6. Основы вморичной обрабомки радиолокационной информации (6.55) Тогда величина МЗ~(Х) будет иметь у'-распределение с г =МЬ степенями свободы.
Гипотеза о состоятельности фильтра принимается, если Мб (Х)а[с,,сз], (6.56) где границы двухстороннего доверительного интервала определяются кван- тилями соответствующего у -распределения для допустимой вероятности ошибки ол с! Х с2 Х 1 (6.57) Например, для доверительной вероятности Р„„= 0,95, где Р„, = 1- а, Ь=2, М=50 имеем с, =74,2 и сз — — 130. Условие (6.56) может не выполняться в силу различных причин, например из-за наличия смещения оценок (невыполнения условия (6.49)). Дополнительную проверку на наличие смещения можно провести, используя среднюю ошибку оценки траекторных параметров, нормированную к соответствующему значению среднеквадратической ошибки.
При выполнении условий (6,49), (6.50) распределение нормированной средней ошибки должно подчиняться нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тестируя полученную после статистического моделирования последовательность ошибок оценок траекторных параметров, легко принять решение о наличии или отсутствии смещения. Всеми указанными выше свойствами обладает невязка (см. п. 6.4.1) лх =х„— н х.
Квадрат нормированной невязки определяется выражением (6.58) б (х) =лх' б,'лх», (6.59) 310 где Бм — экстраполированная ковариационная матрица параметров отсчета. Для гипотез, при которых фильтр является состоятельным, квадрат нормированной невязки имеет у'-распределение с а степенями свободы, где а — размерность вектора параметров отсчета. После М независимых испы- 6.4. Рекуррентная оценка траекторных параметров таний величина Мб~(Х) тестируется аналогичным образом, исходя из у -распределения с Ма степенями свободы. г Заметим, что тестирование с использованием нормированного квадрата ошибки оценки траекторных параметров можно проводить только по результатам статистического моделирования, а тестирование с использованием нормированного квадрата невязки можно проводить и в реальном времени в процессе работы фильтра.
6.4.4. (а-13)-фильтры В случае равноточных (К» = К) равнодискретных ((г» -г»,) =Т для любых 1) измерений параметров отсчета при неискаженном движении объекта Я = О) уравнения калмановской фильтрации существенно упрощаются. При измерении в момент А на этапе первичной обработки одной обобщенной координаты я» (я» — скаляр) в случае, если оцениваются дальность Х,о» и скорость Хеь» цели, соответствующие оценки траекторных параметров после преобразования и упрощения соотношений (6.35) — (6.41) могут быть записаны в следующем виде: Х А, » + а» (я» — А„о «) к ь»+ (х» 1~ оя) Р» (6.60) где 2(21о — 1) 6 Ц/о+1) к(/с ~-1) (6.61) 311 Соотношения типа (6.60), (6.61) получили название (а-~3)-фильтров в силу коэффициентов а» и ~3» (коэффициентов усиления), учитывающих влияние невязки измерений Ье» =е» вЂ” Х о» при коррекции экстраполированных параметров траектории Х» и Х, ».
Для оценки скорости движения цели и ускорения применяют (а-13-у)-фильтры. Их структура аналогична структуре (а-~3)-фильтров. Область применимости соотношений (6.60), (6.61) достаточно ограниченна вследствие того, что коэффициенты а» и 13» в данном случае с увеличением lс стремятся к нулю. При фильтрации результаты последних измерений учитывакггся вой с меньшим весом и, наконец, фильтр перестает реагировать на изменения входного сигнала. Фильтр становится несостоятельным и расходится. б.
Основы вторичной обработки радиолокационной информации По указанным причинам фильтр, для которого оценки описываются соотношениями (6.60) и (6.61), используется без каких-либо дополннгельных условий в радиолокационной практике только в ограниченных случаях, когда Ф не велико.
Однако простота реализации (а-[3)-фильтра и небольшие требования к вычислительным мощностям обусловили большой интерес к фильтрам с подобной структурой. Для решения практических задач был проведен значительный объем исследований (а-~3)-фильтров для зашумленных кинематических моделей движения целей, преэкде всего, для случаев (6.11), когда ускорение описывается белым шумом, а также когда ускорение описывается процессом Винера [55 — 611. Естественно, коэффициенты аэ и ~3э в этом случае рассчитываются по более сложным, чем формула (6.61), соотношениям, Во многих случаях параметры (а-[3)-фильтров могуг быть получены в результате анализа их стационарных режимов.
Как указывалось в п. 6.4.2, оценка н ковариационная матрица ошибок траекторных параметров для систем с постоянными коэффициентами в уравнениях, описывающих процесс движения целей и измерения параметров отсчета, будут сходиться прн определенных условиях (выполняющихся для рассматриваемых моделей) к установившемуся значению.
Это позволяет получить точные значения для ковариационной матрицы н коэффициента усиления фильтра и использовать их при нахождении параметров (а-~3)-фильтров. Например, пусть для модели траектории (6.11) и модели измерений (6.13) установившиеся компоненты ковариационной матрицы экстраполяции определяются соотношением (см. п. 6.4.2): 1цпэ1э, =~Чэ,й~, 1,/=1,2,...,Ь, (6,62) где Ь вЂ” размерность вектора параметров траектории. Тогда для оценивания дальности и скорости движения цели (как при выводе соотношений (6.60)) получим [611 Ч'эп 2 Чээп+о, (6.63) а— Ч~э!2 Чээп 312 где и, — дисперсия ошибок измерения отсчетах 2 Аналогично можно найти коэффициенты и для (а-р-у)-фильтров, а также для других видов шумов измерений параметров отсчета.
Заметим, что (а-[3)- и (а-[3-у)-фильтры являются простейшими из возможных фильтров. Они используют фиксированные или предварительно б.4. Рекуррентнан оценка траекторных параметров вычисленные коэффициенты усиления. Естественно, они не являются опти мапьными в течение переходного периода (в начале сопровождения), а также в случае, если шумы возмущения нестационарны. Поэтому без специальных мер коррекции рассмотренные фильтры мало пригодны для использования в автоматизированных системах обработки радиолокационной информации.
Однако, как уже указывалось, они могут применяться для реализации алгоритмов сопровождения в реальном времени, где получаемые характеристики оценки траекторных параметров удовлетворяют потребителей информации. 6.4.5. Расширенный фильтр Кялмаиа В случае линейных моделей движения целей (6.6) и измерений параметров отсчетов (6.15) для возмущений параметров траектории гауссовского типа н гауссовских ошибок измерения параметров отсчета, как показано в п. 6.4.1, рекуррентный процесс вычисления оценок траекторных параметров реализует капмановский фильтр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
