Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 53
Текст из файла (страница 53)
301 б. Основы вторичной обработки радиолокационной инфор»»ации Х, = ~»о(Х»)а"')Х»АХ», (6.30) где Š— область значений возможных состояний системы (область возможных траекторных параметров); »и(Х»~й ) — многомерная условная плот(») » ность вероятности того, что траекторные параметры цели будут равны Хь если к А-му моменту времени наблюдалась последовательность отсчетов »в, или, иначе говоря, апостериорная плотность вероятности того, что в к-й (») момент времени состояние динамической системы будет Хь если с выхода первичной обработки получен отсчет Хь 1 = 1, 2, ..., к, т. е. й1'1=(Х, Х, ... Х»г.
Используя введенное обозначение М( ) (см. п. 6.1.2) для нахождения условного среднего, можно записать (6.31) Ошибка оценки траекторных параметров имеет в»щ ЛХ =Х вЂ” Х. (6.32) Условная ковариационная матрица Т» оценки траекторных параметров по определению вычисляется следующим образом: 302 — детерминированное входное воздействие (управление) н», если оно имеется, известно; случайное возмущение и» траекторных параметров имеет характер гауссовского шума с нулевым средним и известной ковариационной матрицей 0»' — ошибки измерений параметров отсчета (шум наблюдений а») пред- ставляют собой процесс типа гауссовского шума с нулевым средним и из- вестной ковариационной матрицей К», — случайные процессы и» и а» взаимно не коррелированы; — начальное состояние Хв не коррелировано с возмущениями иь а».
Изложенные условия образуют линейное гауссовское допущение. Одним из наиболее распространенных подходов прн выводе уравне- ний калмановского фильтра является использование критерия минимума среднего риска при квадратичной функции потерь. Показано (см., например, [621), что оптимальный фильтр должен при оценивании параметров траек- тории в Ф-й момент времени вычислять условное среднее 6.4. Рекуррентнак оценка траекторных иараметров %» = М(~Х» — Х»~~~Х» — Х»] ~й~ ~~ = М~ЬХ»ЛХ»~й~ ~~ (6.33) Выражение (6.33) можно записать следующим образом: Ф» — — ~в(Х»~й~ «)~Х» — М(Х»)йы~ЦХ» — М(Х»~й~"~Ц ЫХ». (6,34) Выражения (6.30) (или (6.31)) и (6.33) (или (6.34)) являются исходными для синтеза алгоритма оценивания траекторных параметров Х и соответствующей ковариационной матрицы й'».
При сделанных выше предположениях были получены (подробный вывод формул калмановской фильтрации можно найти, например, в работах [55, 701) рекуррентные соотношения для оценивания состояния Х„. Они позволяют вычислять оценку траекторных параметров Х» на текущем /с-м шаге с учетом текущих измерений параметров отсчета е.» по результатам оценивания траекторных параметров Х», на предыдущем (/с — 1)-м шаге: (6.35) Х» —- Х» +%~»ЬУ», где Х,» — экстраполированная оценка состояния системы на к-й шаг; Ъ׻— коэффициент усиления фильтра; ЛЕ» — невязка измерений. Экстраполированная оценка состояния (экстраполированные параметры траектории) для линейной модели движения (см.
п. 6.2.1) находится следующим образом: (6.36) Х„= р»х» 1+ С»ц» 1. Невязка измерений есть разница между полученными параметрами отсчета Е» на lг-м шаге и экстраполированными параметрами отсчета»о,».' (6.37) Для рассматриваемой линейной модели измерений экстраполированные параметры отсчета связаны с экстраполированными параметрами траектории следующим образом: Х,» = Н»Х»» (6.38) Коэффициент усиления фильтра находится из соотношения (6.39) Ж~ =~У,~Н,'Я; 303 б.
Основы вторичной обработки радиолокационной информации где Ч'и — экстраполированная на «-й шаг ковариационная матрица оценки траекторных параметров на к-м шаге: %',~ —— Рлф'л,рл + ГЯ» 1Г„'; (6.40) б„, — экстраполированная ковариационная матрица параметров отсчета: Б,л — — Н 'Р,~Нл+Нл. (6.41) Выражения (6.35) — (6.41) определяют рекуррентный алгоритм вычисления оценки состояния системы — алгоритм оценки траекторных параметров.
Ковариационная матрица оценки траекторных параметров в 1с-й момент вычисляется следуюшим образом: т =~1 — ЧН]т,, (6.42) где 1 — единичная матрица. Выражение (6.42) также может быть записано в тождественной форме: Ковариационную матрицу оценки траекторных параметров лучше вычислять, используя форму Длсозефа 1631, которая менее чувствительна к округлению ошибок и не приводит к отрицательным собственным значениям: %гл — — [1 — ЪчлНл1'Рщ (1 — М~лНл]'+ 'ЦРлНд%~. (6 43) 304 Иногда уравнение (6.35) называется уравнением обновленного состояния, а уравнение (6.42) — уравнением обновленной ковариации.
Эти уравнения определяют операцию калмановской фильтрации при построении траектории сопровождаемой цели. В процессе фильтрации важную роль играет величина %У» — коэффициент усиления фильтра. Из выражения (6.39) видно, что он пропорционален экстраполированной ковариационной матрице траекторных параметров к,ь н обратно пропорционален экстраполированной ковариационной матрице параметров отсчета Я ь Таким образом, коэффициент усиления будет «большим», если прогноз (экстраполяция) параметров траектории является «грубым», а текущие измерения параметров отсчетов, поступившие с выхода первичной обработки, являются «точными», т.
е. текущие измерения в этом случае будут учитываться в большей степени, чем оценки параметров траектории в пРелыдуший момент времени, Коэффициент усиления будет «малым», если прогноз параметров траектории является «точным», а текушие измерения параметров отсчета являются «грубыми». 6.4. Рекуррентнан оценка траекторных нараметрое Итак, последовательность операций при оценке траекторных параметров методами калмановской фильтрации (при условии, что все другие операции в соответствии со схемой, приведенной на рис.
6.2, выполнены) можно представить следующим образом. До начала работы фильтра (априори), исходя из условий задачи, задаются: — все компоненты уравнения (6.6) динамического состояния системы (модели движения объекта), т, е. матрицы Е», С», Г» и ковариационная матрица 9»; — все компоненты уравнения (6.12) измерений параметров отсчета— матрица Н» и ковариационная матрица»к». На предыдущем (/с — 1)-м шаге необходимо вычислить или определить: — оценку состояния Х», системы (траекторные параметры) на (к — 1)-м шаге; — ковариационную матрицу»к», оценки состояния системы (ковариационную матрицу оценки траекторных параметров) на (7» — 1)-м шаге.
На текущем /»-м шаге вычисляют: — экстраполированную оценку Х,» состояния (экстраполированные параметры траектории) по формуле (6.36); — экстраполированную ковариационную матрицу %',» оценки состояния (ковариационную матрицу экстраполированных траекторных параметров) по формуле (6.40); — экстраполированные (прогнозируемые) измерения У.,» по формуле (6.38); — экстраполированную ковариационную матрицу $,» параметров отсчета по формуле (6,41); — невязку измерений ЬХ» по формуле (6.37); — коэффициент усиления фильтра Ж» по формуле (6.39); — ковариационную матрицу %'» состояния системы (ковариационную матрицу оценки траекторных параметров) на текущем lс-м шаге по формуле (6.42); — оценку состояния Х, системы (оценку траекторных параметров) на текущем )»-м шаге по формуле (6.35).
Для выполнения перечисленных операций необходимо определить параметры стартовой точки: Х и Ч' . Если значения выбранных параметров сильно отличаются от истинного, а выбранная ковариационная матрица этого не учитывает, то при малых значениях элементов ковариационной матрицы, а следовательно, при малых размерах строба сопровождения (см. 305 б. Основы вторичной обработки радиолокационной информации п. 6,Е2) может произойти срыв сопровождения. Если предположить, что стартовая точка выбрана с большой ошибкой, то, во-первых, время сходимости фильтра будет продолжительным, во-вторых, сильно увеличатся размеры строба сопровождения, а значит, возрастет вероятность появления в нем ложных отсчетов, что также может привести к срыву сопровождения. Ошибка начальной оценки состояния должна быть согласована с начальной ковариационной матрицей.
При выборе начальной ковариационной матрицы необходимо, чтобы ошибки по соответствующей координате по крайней мере в 2 раза превышали среднеквадратическое отклонение, в этом случае фильтр сходится достаточно быстро (63). На практике выбор стартовой точки может быть сделан с использованием нескольких последовательных (обычно не более 2-4) измерений местоположения, как при построении траекторий по фиксированной выборке (см. э 6.3).
Например, если параметры отсчета представляют собой скаляр, измеряется только одна из координат г цели, а в качестве траекторных параметров оцениваются эта координата и скорость ее изменения, то из (6.22) и (6.23) по двум измерениям можно получить: г-~ + го (6А4) г0 — г, оз оз lТ 0 2 и (Т 2п~(Т (6.45) где Т вЂ” период измерений, о' — дисперсия ошибок измерения дальности г. 6.4.2. Стационарный режим калмаиовского фильтра 306 Представляет интерес исследование калмановского фильтра при неограниченном увеличении интервала наблюдений. Важно знать, существуют лн предельные значения коэффициента усиления фильтра, ковариационных матриц ошибок измерения, экстраполяции, н если существуют, то при каких условиях они не зависят от начального состояния. Предположим, что модели движения объекта н измерений параметров отсчетов инвариантны во времени, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
