Автореферат (1091516), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При этом область  рассматривается как область впространстве R3 , а поверхность  как его граница.Задача дифракции монохроматической акустической волны состоит внахождении полного поля акустического давления в области  вне тел видаu full ( x, t )  u full ( x)eit ,которое далее будем называть полным полем акустического давления. Здесь t –время, ω - заданная частота волнового процесса, x  ( x1, x2 , x3 )  , функция u fullявляется комплексной функцией действительных аргументов.Полагается что поле u full ( x, t ) вызвано первичным полем (падающейволной):u0 ( x, t )  u0 ( x)eit .Пространственную составляющую полного поля акустического давленияu full ( x) ищем в виде:u full  u0  u ,и для нее ставится граничное условиеu full / n  0 на поверхности  .(1)(2)8Нахождение пространственной составляющей вторичного поля u сводитсяк решению внешней краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца:u  k 2u  0 в  ,(3)u / n  f на  ,(4)где параметр k называется волновым числом и определяется по формулеk   / c , c –скорость звука в среде.

Правая часть в граничном условии (3), всоответствии с формулой (2) и условием (3), определяется выражениемf  u0 / n ,(5)u0 - заданное первичное поле. Неизвестная функция u ( x) должна удовлетворятьусловиюлокальнойинтегрируемостиgradu  L1loc   2иусловиямнабесконечности (условия излучения на бесконечности Зоммерфельда:u ( x)  0 , 1 1( x, gradu ( x))  ikx  o  при | x |  ,| x|| x|(6)o  r  - величина более высокого порядка малости, чем r при выполнениисоответствующего предельного перехода.Один из известных подходов к решению задачи (3)-(6) основан наотыскании решения в виде потенциала двойного слоя:u ( x)   g ( y )e  ikrF ( x  y ), r | x  y | ,d y , F ( x  y ) rn yздесь F ( x  y) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца.При этом при учете граничного условия (4) задача сводится кинтегральному уравнению g ( y) F ( x  y )d y  f ( x) ,n x n y(7)в котором интеграл понимать в смысле конечного значения по Адамару:2 F ( x  y)2 F ( x  y)2g(x)d y  lim g ( y)d y  g ( y).nnnn  0  \ U ( x )x yx yВ диссертации осуществлено преобразование уравнения (7), основанное на9выделении в явном виде главной особенности:  g ( y) n n F0 ( x  y)d y   g ( y) K1( x, y)d y  f ( x) ,xyF0 ( x  y ) (8) 1, K1( x, y )  F ( x  y)  F0 ( x  y)  .nx n y4 | x  y |При этом для ядра K1( x, y) получено выражение k 2 e ikr 3ike ikr 3e ikr  3 K1 ( x, y )   3   ( x  y , nx )  ( x  y , n y ) 45rrr eikr  ikreikr  1  nx n y , x, y  , x  y, r  x  y ,3rи доказано, что K1 ( x, y)  O(1/ r ) , при r  x  y  0 .Во второй главе строится численный метод для моделирования процессадифракцииакустическойволны,основанныйначисленномрешенииинтегрального уравнения (8).

Будем аппроксимировать поверхность  системойячеек  i , i 1,...,n , так, что  n ii 1и множество  i   j при i  j имеетнулевую площадь, на каждой ячейке разместим точку коллокации xi . Разбиениеосуществляется так, что контур каждой ячейки  j- есть пространственныйчетырехугольник. Могут быть использованы также треугольные ячейки, при этомтакая ячейка трактуется как четырехугольная, у которой одна из вершинсдвоенная. Для ячейки  j с вершинами A1, A2 , A3, A4 строится точка коллокацииxjпоформулеx j  ( A1  A2  A3  A4 ) / 4 ,n j  A1A3  A2 A4 / A1A3  A2 A4 ,ивычисляетсявекторприближеннаянормалиплощадьs j  A1A3  A2 A4 / 2 .Приближенное решение уравнения (8) ищется в виде кусочно-постояннойфункции g~( x) , принимающей постоянное значение g i на каждой ячейкеразбиения  i .

При этом приближенное решение краевой задачи (3)-(6) ищется в10виде:nu ( x)   g j u j ( x) , u j j 1F ( x  y ) n d y .yj(9)Подставляя функцию u ( x) в уравнение (7) и записывая это уравнение в точкахколлокации x , i  1,..., n , получим систему линейных алгебраических уравнений.in g j aijj 1 f ( xi ) , i  1,...,n ,(10)гдеaij F ( x  y )d y , x  xi .n x n yj(11)Такая система выписывалась ранее в работах Лифанова И.К. При этоминтегралы в выражении (11) сводились к вычисляемым численно контурным ислабосингулярным поверхностным интегралам, на основе параметризацииповерхности и предположении о том, что поверхность аппроксимируетсяплоскими ячейками.В настоящей работе использован подход, основанный на дискретизацииуравнения (8).

Представим функции u j ( x) в формуле (9) в виде:F0 ( x  y )F ( x  y )u j ( x)  u 0j ( x)  u j ( x) , u 0j ( x)  d y , u j ( x )  d y .nnyyjjПри записи уравнения (8) в точках коллокации возникает системауравнений (10), в которой коэффициенты представлены в виде F0 ( x  y )d y , aij   K ( x, y )d y .nnj 1xyjaij  aij0  a~ij , aij0  (12)Интегралы в выражениях для коэффициентов aij0 сводятся к контурныминтегралам по закону Био-Савара, и для их вычисления используется известноеаналитическое выражение в случае, когда контур ячейки есть ломаная линия.Интегралы в выражениях для коэффициентов aij являются несобственными.

Дляних предложена квадратурная формула типа прямоугольников со сглаживанием11особенности. Для каждой ячейки  j осуществляется дополнительное разбиениеmна ячейки  mj с выбором на каждой ячейке узла y j так же, как и точкиколлокации на основных ячейках. После этого для нахождения коэффициентовa~ij предложена приближенная формула:Nmmaij   K1( xi , y mj )    xi  y jm 1 sm , j(13)где  (r )  3(r /  ) 2  2(r /  )3 при 0  r   ,  (r )  1 при r   - сглаживающаяфункция, C0 - константа, независящая от r и  . Число  - малый параметр,который выбирался как   2h' , где h ' - максимальный из диаметров мелкогоразбиения  mj , j  1,..., N , m  1,..., N j .Отметим, что построенный алгоритм численного решения интегральногоуравнения (5) требует для реализации только знания массива вершин ячеекразбиения  j , j  1,..., n .В задачах дифракции акустических волн представляет интерес диаграмманаправленности, выражающая зависимость эффективной площади рассеянияотражающего тела от направления.

Эффективная площадь рассеяния (ЭПР) внаправлении единичного вектора  вводится по формуле:u 2 ( x) 4 R 2  limR ,u02 ( x)(14)где x  R  , R – радиус,  - единичный вектор.Для численного расчета ЭПР, использовалась формула: ( )  4k 2nj 1( x j , )ikgj e n j , S j2.В третьей главе проведено теоретическое обоснование предложеннойчисленной схемы для случая дифракции акустической волны на жестком плоском12экране. В этом случае уравнение (8) преобразуется к интегральному уравнениюотносительно функции   g /(4 ) вида:где ( y)dy| x  y |3  B( x, y) ( y)dy  f ( x) , x  ( x1, x2 )   ,B( x, y)  B* ( x, y) / | x  y | , функцияИсследован случай, когда поверхность множествоявляется(15)замыканиемB*( x, y)непрерывна по Гельдеру.лежит на плоскости и как плоскоевыпуклойобласти.Уравнение(15)рассматривается для правой части, непрерывной по Гельдеру, и ищется решение,в классе функций: функция  непрерывна по Гельдеру на замыкании множества , вектор grad непрерывен по Гельдеру на любом компактном подмножествевнутренности множества  (здесь множество  рассматривается как множествона плоскости).

Для такого уравнения известна теорема о выполненииальтернативы Фредгольма.При численном решении плоскость, на которой лежит множество разбивается равномерно на квадратные ячейки и из них выбирается система ячеек i , i 1,...,n , покрываемая множеством  - назовем такое разбиение регулярным.Далее по такой системе ячеек записывается система уравнений (10).

Вдиссертации доказана теорема:Теорема: Пусть уравнение (15) однозначно разрешимо. Тогда существуютконстантыCи h0  0 такие, что при любом регулярном разбиении множества с диаметром h  h0 система линейных уравнений (10) однозначно разрешима идля ее решения справедлива оценка:| i   ( xi )| Ch ,   min(,1/ 2) , - показатель непрерывности по Гельдеру правой части и ядра B*( x, y) .В четвертой главе приводятся примеры расчетов, иллюстрирующиеадекватность и возможности вычислительной модели.Проводилосьтестированиеописаннойчисленнойсхемырешениягиперсингулярного интегрального уравнения (7) на поверхности сферы на основе13спектральных соотношений для интегрального оператора в левой части этогоуравнения. Бралась сфера радиуса a  1 с центром в начале координат.

Известно,что собственными функциями указанного интегрального оператора являютсяфункции g вида:g ( x)  Ynm ( , )  Pnm (cos )cos(m ) ,mm2Pn (cos )  1  cos  2dmd (cos )mPn (cos ) ,где Pn - полиномы Лежандра, x  x( , )  ,  и  – сферические координатыточки x , x1  cos cos  , x2  cos sin  , x3  sin  . Каждая такая функцияявляется решениям уравнения (7) для правой частиf ( , )  Cn g ( , )  CnYnm ( , ) ,(16)где Cn - коэффициенты, выражающиеся через функции Бесселя и Ханкеля.В табл. 1 приведены значения собственных чисел, соответствующиеисследованным сочетаниям параметров k и n, а в табл.

Характеристики

Список файлов диссертации