Диссертация (1090191), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

С его помощью можно оперировать менее громоздкими массивами данных о сроке службы объектов и корректно интерпретировать получаемую информацию;– он универсален, поскольку описывает распределения сроков службы самыхразных объектов;– он соответствует принципу полного описания, так как семейство распределений Вейбулла описывает все периоды эксплуатации изделий, независимо от того,что вероятность выбытия меняется с течением времени;– он отвечает принципу достаточной аппроксимации при наименьшем числепараметров – нормативном сроке службы, известном практически для всех изделий, и коэффициенте вариации срока службы (случайной величины), которыйможно принять, согласно многочисленным исследованиям по теории машин, равным 0,3–0,4 [430].Благодаря вышеперечисленному, можно считать, что семейство распределенийВейбулла применимо в качестве инструмента при оценке количества образующихся за год отходов.7.3 Характеристики распределения Вейбулла7.3.1 МодаОпределим моду для распределения Вейбулла по формулеMo =λ−1m( m − 1)m1m1m.300Так как для распределения Вейбулла коэффициент вариации V =D( x)M ( x)=σ,сµдругой стороны, для машин и оборудования он составляет 0,3-0,4 [430], то примем, что в нашем случае:σ= 0,3 ÷ 0,4 ;µσ = ( 0,3 ÷ 0,4 ) µ ;D = σ = ( 0,09 ÷ 0,16 ) µ ;22D=λ−2m2Γ 1 +  − µ 2 ; m1Γ 1 +  , mгде D – дисперсия, σ – стандартное отклонение, μ = М – математическое ожиданиеµ=λ−1m(средний срок службы).Тогда, приравнивая различные выражения для D, получаем:2−2222mD = λ Γ 1 +  − µ = ( 0,09 ÷ 0,16 ) µ ;λ Γ 1 +  = µ 2 + ( 0,09 ÷ 0,16 ) µ 2 ; m m2−2m λ Γ 1 +  = (1,09 ÷ 1,16 ) µ 2 . mТаким образом, имеем следующие уравнения для определения параметров−2mраспределения λ, m через μ: − m2 22λ Γ 1 +  = (1,09 ÷ 1,16 ) µ m.1−1λ m Γ 1 +  = µ mРешим эту систему уравнений: − m2 (1,09 ÷ 1,16 ) µ 2 − m2 (1,09 ÷ 1,16 ) µ 2λ=(1,09 ÷ 1,16 ) µλ =22λ =Γ 1 + 2Γ 1 + Γ 1 +  m m m22, или  , или  .1−2µ − 1   λ m= −2 µµmm1λ =λ  =Γ 1 + 1 1  m Γ 1 + m   Γ 1 + m    2−m2Так как левые части равны, то равны и правые части:30122(1,09 ÷ 1,16 ) µ 2 =µ2(1,09 ÷ 1,16 ) µ =  µ , или2 ,221 1Γ 1 + Γ 1 + Γ 1 +   Γ 1 + m  mm   m или(1,09 ÷ 1,16 ) =1.21   Γ 1 + m   Таким образом, для определения параметра m имеем одно уравнение, которое2Γ 1 +  mне зависит от μ.

Следовательно, для всех изделий параметр m будет одним и темже и равен m0. Этот параметр рассчитывается с помощью численных методов изуравнения:2 1 2 (1,09 ÷ 1,16 )  Γ 1 +   − Γ 1 +  = 0 . m0   m0  После вычислений получим следующие значения: m0 находится в промежутке(3,714÷2,696), коэффициент( m − 1)1m1m– в промежутке (0,919÷0,842).mНайдем зависимость λ от μ, где μ - нормативный (ожидаемый) срок службы:λ−1m0=µ1 Γ 1 + m0 ,λ−1( − m0 )m0µ= 1  Γ 1 +m0( − m0 ),m0( − m0 ) 1  1 Γ1+  Γ 1 +mmµ00 , λ=λ== . µµ1  Γ 1 +  m0  Тогда мода для распределения Вейбулла будет равна:m0Mo = ( 0,919 ÷ 0,842 ) λ−13,714 ÷2,696Математическое ожидание определяется по формуле:1−1m µ = λ Γ 1 +  . mПоэтому в нашем случае.302µ=λТогда черезλ−13,714÷2,696−13,714÷2,6961Γ 1 +. 3,714 ÷ 2,696 имеем следующую связь между модой и математиче-ским ожиданием:µ1Γ 1 + 3,714 ÷ 2,696 Mo ==λ−13,714 ÷2,696=Mo,( 0,919 ÷ 0,842 )( 0,919 ÷ 0,842 )µ.1Γ 1 + 3,714 ÷ 2,696 σПри коэффициенте вариации V = = 0,3 значение m0 = 3,714 , коэффициентµили m0 − 1  m0 1m0= 0,919 , тогда1m0 m0 − 1 m0 0,919Mo =µ=µ = 1,018µ ,1 1 Γ 1 +Γ 1 +m 3,714 0 то есть мода больше, чем μ, в 1,018 раз, следовательно, мода сдвинута вправо отсреднего срока службы (правомодальная кривая);При коэффициенте вариации m0 − 1  m0 1m0σ= 0,4 значение m0 = 2,696 , коэффициентµ= 0,842 , выражение для моды имеет вид:1m0 m0 − 1 m0 Mo =µ = 0,947µ .1 Γ 1 + m0 Таким образом, мода расположена левее математического ожидания, так какона меньше, чем μ, в 0,947 раз, т.е.

сдвинута влево от среднего срока службы.Следовательно, кривые левомодальные при коэффициенте вариации 0,3, и правомодальные при коэффициенте вариации 0,4.3037.3.2 Максимальные значения плотности распределения ВейбуллаНа рисунке 7.2 представлены графики плотности распределения вероятностейдля μ= 1,2,3,4,5 для двух различных значений: m01 = 3,714 (сплошные линии) и m02= 2,696 (линии из точек).Несмотря на то, что полученные графики напоминают нормальные распределения при указанных m0 = 3,7 и m0 = 2,7 , они таковыми не являются, о чем свидетельствуют следующие графики, построенные по той же формуле, но дляm0 = 0,2;0,5;1;1,5;2;2,5;3;4;5;6 (рисунок 7.3).Рисунок 7.2 – Плотность распределениявероятностей для различных μРисунок 7.3 – Плотность распределениявероятностей для различных m0Найдем наибольшие значения плотности распределения вероятностей fmax, т.е.значения плотности распределения вероятностей в точках x = Mo.

Получим аналитическое выражение fmax = f (x=Mo) в зависимости от среднего срока службыизделия μ.Для этого в выражение плотности распределения вероятностейλmx m−1e −λx , x ≥ 0f ( x) = x<0 0,m304подставим вместо λ его выражение через математическое ожидание – среднийсрок службы, которое может быть получено из выражения для математическогоожидания:µ=λ−1m1Γ 1 +  . mТогдаm1  Γ1+1−µmm .λ =, λ=1µΓ 1 + mОкончательно получим следующее выражение для плотности распределениявероятностей через математическое ожидание μ и параметр m:  1 m Γ1+  m m1− x Γ 1+µ  mm −1 mxe,x≥0f ( x) = .µ 0,x<0m(7.1)Полученное выражение определяет функцию плотности вероятности черездва параметра: μ – средний срок службы и m – параметр, по значениям которогоможно сделать вывод о правомодальности или левомодальности кривых.11 m −1 m m −1 m1m m µ < µ или< 1 , или, так как Γ 1 +  > 0 дляУсловие Mo =11 mΓ 1 + Γ 1 +  m m1m11m > 1, то 1 −  − Γ 1 +  < 0 или m < 3,312 определяет левомодальность кри m mвых, а условие m > 3,312 определяет правомодальность кривых.

Значение mкр =3,312 определялось численным методом, что иллюстрируется графиком зависи11 m −1 m−Γ1+мости yk ( m ) =  (рисунок 7.4). m  m305Рисунок 7.4 – График зависимости1m1 m −1yk ( m ) =  − Γ 1 +  m  mИными словами:1Γ 1 + m µ=< 1 – правомодальные кривые;- условие 1Mo1 m1− m1Γ 1 + m µ=> 1 – левомодальные кривые.- условие 1Mo1 m1− mВыразим плотность распределения вероятности через моду и параметр m:m Γ1+ 1   m − 1Γ1+   m  Mo1  Γ 1 + 1   m −1  m  m   mx m−1e   m  f ( x ) = 1Γ 1 +   Mo  m  1m m −1   m  0,x<0  m −1  m−  m   x m Mo f ( x ) =  ( m − 1) x m−1e , x ≥ 0.mMo0,x<0mxm,x≥0,3061m11− Mo  m =Рассмотрим величину z =, где m > 1.

Для ее исследования1µΓ 1 +  m1m11 − mрассмотрим функцию z = z ( m ) = , где m > 1. Для удобства введем новую1Γ 1 +  mпеременную x = 1/m, при этом область изменения переменной x определяется условием x < 1. Тогда величину z можно представить как функцию переменной x:(1 − x )z = z ( x) =Γ (1 + x )xпри 0 < x < 1. Построим график z(x) при 0 < x < 1 (рисунок 7.5).z ( x)Рисунок 7.5 – График z(x)(1 − x )z = z ( x) =Γ (1 + x )xКак видно из графика, функцияимеет максимум на интер-вале 0 < x < 1, который достигается в точке x = 0,154 (m = 6,497) и равен(1 − 0,154 )z ( 0,154 ) =Γ (1 + 0,154 )0,154= 1,046 .

Следовательно, отношение моды к среднемусроку службы не может превосходить 1,046, т.е. правомодальные кривые, кривые,где мода больше среднего срока службы, не могут иметь форму, когда отношениемоды к среднему сроку больше 1,047. Напротив, левомодальные кривые могутиметь любое отношение моды к среднему, меньшее 1.Найдем f max ( µ ) = f ( x = Mo, µ ) , подставляя в полученное выше соотношение(7.1) выражение для моды3071m m −1m Mo =µ1 .Γ 1 +  mТогда1  Γ1+  mf max ( µ ) =  µm1mm−1 m m µ1 Γ 1 +    m m −1e  1  Γ1+  m− µm1   m −1  m   m µ Γ1+ 1    m  m,или после преобразований получимm  m −1f max ( µ ) = µ m m −1m1  − mm−1Γ 1 +  e, µ ≥ 0. mКак видно из этого выражения, fmax возрастает до бесконечности при постоянном значении параметра m и неограниченном стремлении среднего срока службык нулю ( µ → 0 ), т.е.

lim f max ( µ ) = ∞ . Очевидно также, что lim f max ( µ ) = 0 .µ→0µ→∞Зависимость f max ( µ ) является гиперболой f max ( µ ) =K (m), где K(m) – коэффиµциент, зависящий от m:m  m −1K (m) = µ m m −1m1  − mm−1Γ 1 +  e. m(7.2)7.3.3 Максимальные значения плотности распределения вероятностей дляконкретных значений коэффициента вариацииНайдем наибольшие значения плотности распределения вероятностей fmax вточках x = Mo в зависимости от среднего срока службы изделия μ и коэффициента вариации V = 0,3÷0,4.K (m), где K(m) – коэффициент, определяемый согласно выµражению (7.2), то для двух наших случаев m = m01 = 3,714 (при коэффициенте ва-Так как f max ( µ ) =308риации V =σσ= 0,3 ) и m = m02 = 2,696 (при коэффициенте вариации V = = 0,4 )µµимеем: m −1K1 = K ( m01 ) = m01  01  m01 m01 −1m01m02 −1m021  −Γ 1 +e m01 m01 −1m01= 1,284 ,m −1 m02 − 1 1  − m0202K 2 = K ( m02 ) = m02 Γ 1 += 0,955 .emm0202 На рисунке 7.6 представлена полученная зависимость fmax (μ) на разных интер-валах изменения μ: а – 0 < μ < 10; б – 0 < μ < 50; в – 50 < μ < 100, а в таблице 7.1представлены конкретные значения fmax для конкретных значений μ.

Характеристики

Список файлов диссертации