Диссертация (1090191), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Согласно закону Гомпертца–Мейкхама вероятность смерти за фиксированный короткий промежуток времени после достижения возраста x составляет:p = a + bx,где p – относительная вероятность смерти за определённый промежуток времени,x – возраст, a – коэффициент, не зависящий от возраста компонент смертности(фоновая смертность при экстремальных ситуациях, авариях и т.п.), b – коэффициент, зависящий от возраста (старение, износ).

Таким образом, размер популяции снижается с возрастом по удвоенной экспоненте:s(x) = exp [–m(bx + c)].290Закон смертности Гомпертца–Мейкхама наилучшим образом описывает динамику смертности человека в диапазоне возраста 30–80 лет. В области большеговозраста смертность не возрастает так быстро, как предусматривается этим законом смертности.Кривые выживаемости, используемые в демографии, и кривые Айова, применяемые для прогнозирования вероятных сроков службы объектов, строятся поимеющимся возрастным данным выбывающих (умирающих) объектов. В этомслучае анализ должен проводиться следующим образом:– событие = переход изделия в отходы (выбытие из эксплуатации);– точка отсчета = дата производства;– шкала времени = возраст (годы, месяцы, дни);– Т = возраст перехода в отходы;– график = P(T > t) в зависимости от t.При применении данного подхода к оценке изделий, переходящих в отходы, тоесть к оценке количества выбывающих изделий, мы должны строить не кривыевыживания (распределение функции выживания), а кривые смертности, либопользоваться уже имеющимися кривыми.

Но для создания таких таблиц времендостижения предельного состояния для изделий и построения по ним кривых выбытия по подобранной функции распределения у нас нет исходной статистической информации по фактическому количеству выбывших («умерших»), либопродолжающих эксплуатироваться изделий в определенном году. Мы об этомможем судить лишь косвенно, по вновь выпускаемой и импортируемой продукции данного класса. Но, опять-таки, эти данные не совсем точные, так как производство идет не только на восполнение продукции, вышедшей из строя, но либона расширенное воспроизводство для удовлетворения все возрастающей потребности рынка в этой продукции, либо на спад, из-за вытеснения определенных изделий совершенно другими, более соответствующими новым достижениям наукии техники (мобильные телефоны заменили пейджеры).Интенсивность отказов из-за скрытых дефектов в начальный период эксплуатации можно свести к минимуму за счет технологического прогона изделий и291изъятия бракованных, что приводит к увеличению надежности оставшейся продукции [66].

С одной стороны, это не должно сказываться на количестве отходов,так как какая разница, в результате чего появился отход – при производстве илиэксплуатации, главное, что он появился. С другой стороны, на предприятииизготовителе бракованное изделие можно отремонтировать, либо превратить вовторичный материальный ресурс, следовательно, количество отходов из-за бракованных изделий на производстве не увеличится.Далее мы остановимся более подробно на часто используемых в теории надежности вероятностных распределениях.7.2.2 Логарифмически-нормальное распределениеЛогнормальное распределение имеет вид (таблица 2.3, глава 2)2 1 1 ln х − ( x −µ2)−2σеdx,x≥0e, f ( x ) =  σx 2πF ( x ) =  σ 2π ∫0 0,x<0 0,где μ, σ – параметры распределения.У этогох) распределения дисперсия D ( x ) = (ние М (еσ2− 1)eσ2 + 2µ( ln x −µ )22 σ2,x≥0,x<0и математическое ожида-σ2+µ=е 2 .Так как по литературным данным коэффициент вариации V =D( x)для маM ( x)шин и оборудования составляет 0,3-0,4 [430], то примем, что в нашем случаеD( x)2D ( x ) = V 2M ( x ) ;=V ;D ( x ) = VM ( x ) ;M ( x) σ22 +µ 222,(еσ − 1)eσ + 2µ = V 2е σ = ln (1 + V22) = 0,086 ÷ 0,148 ,2σ2 = 0,172 ÷ 0,296 ,еσ = 1 + V 2 ,(еσ − 1) = V 2 ,22()σ2 1= ln 1 + V 2 = 0,043 ÷ 0,074 ,2 2σ = 0, 294 ÷ 0, 385 .где D – дисперсия, М – математическое ожидание (средний срок службы).Далее из определения математического ожидания получим:Мσ2= е 2 еµ ,σ2ln М =+µ.2292Таким образом, для параметра µ имеем следующее выражение через M и V :σ21M.µ = ln М − , µ = ln М − ln (1 + V 2 ) = ln221+V 2Для дисперсииеeимеем:VV eVVM VD ( x) = (σ2− 1)σ 2 + 2µ(= 1+2)(−1 1+2)MПодставляя выражение для µ = lnM2 ln1+V 21+ V 2=2(1 + ) 1 + V =( )M22222.в выражение для функции плотностивероятности, получим:2M lnx−ln1+V 2  1−f ( x) = 2σ2e, x ≥ 0, σx 2π0,x<02 x 1+V 2  lnM 1−2f ( x) = 2σe, x ≥ 0, σx 2π0,x<0При использовании параметров M , V имеем следующие выражения:- для моды:Мо( х) = еµ−σ2е=еlnµσMе 1+V==1+V 222M(1 + V );2 3- для медианы:µМe( х) = е = еlnM1+V 2=M1+V;2- для коэффициента асимметрии:хееVVV V22As ( ) = ( σ + 2) σ − 1 = (1 + 2 + 2) 1 + 2 − 1 = ( 3 + 2 ) ;- для коэффициента эксцесса:х)236 1222Ех( = е4σ + е3σ + е2σ − = + V 2()421+(+V)2 331+(+V)2 26− .Для конкретных значений V1 = 0,3 и V2 = 0,4 получим следующие характеристики распределения:2 1,044 x  lnM  3,406 − 0,172f1 ( x ) = e, x ≥ 0,x2π0,x<02D1(x) = 0,09 M , D2 (x) = 0,16 M 2.2 1,077 x  lnM  2,596 − 0,297f2 ( x ) = e, x ≥ 0,x2π0,x<0293Mo1 (x) = 0,879 M, Mo2 (x) = 0,8 M.Me1 (x) = 0,958 M, Me2 (x) = 0,928 M.As1 (x) = 0,927, As2 (x) = 1,264.Ex1 (x) = 1,566, Ex2 (x) = 2,969.Таким образом, кривая логнормального распределения всегда положительна иимеет правостороннюю скошенность (асимметрию).

Длинный «хвост» справасвидетельствует, что большей, по сравнению с нормальным распределением, вероятности соответствует более высокая скорость отходообразования. Но, как мыуже убедились при рассмотрении кривых Айова, асимметрия у дифференциальнойфункции распределения скорости отходообразования может быть не только лево-,но и правомодальной. Следовательно, логнормальное распределение не отражаетдолжным образом распределение рассматриваемой случайной переменной.7.2.3 Гамма-распределениеГамма-распределение имеет вид (таблица 2.3, глава 2)x 1 x−α−1βх e dх, α ≥ 0, β ≥ 0, x ≥ 0,F ( x ) =  βα Г(α) ∫00,x<0где α, β – параметры распределения.x−β α−1 e, x > 0; ,f ( x) =  xαβГ(α)0, x ≤ 0.У этого распределения дисперсия D ( x ) = αβ 2 и математическое ожиданиех)М ( = αβ .Так как коэффициент вариации V =D( x)для машин и оборудования соM ( x)ставляет 0,3-0,4 [430], то примем, что в нашем случаеD( x)2= V ; D ( x ) = VM ( x ) ; D ( x ) = V 2 M ( x ) ;M ( x)αβ2 = V 2αβ ,β =V 2,β = 0,09 ÷ 0,16 ,где D – дисперсия, М – математическое ожидание (средний срок службы).Далее из определения математического ожидания получим:ММ = αV 2 , α = 2 .М = αβ ,VДля дисперсии имеем:294D ( x ) = V 2M 2 .Подставляя выражение для α =М,V2β = V 2 в выражение для функции плот-ности вероятности, получим:Мx М −1−121122−x/V− x /V 2VVxedx,x≥0xe,x≥0∫ 2 М2  М  0 2 М2  М F ( x ) = V V Γ, f ( x ) = V V Γ. 2 2V V 0,x<00,x<0Для моды имеем следующее выражение через параметры M, V:МММо( х) = ( α − 1) β =  2 − 1V 2 = M − V 2 при 2 > 1 .VVДля коэффициента асимметрии имеем:хVMAs ( ) = 2 /  = 2 /.Для коэффициента эксцесса имеем:х) 6 /6 /Ех( =  = V 2 M .Для конкретных значений V1 = 0,3 и V2 = 0,4 получим следующие характеристики распределения:М−10,09 xe − x /0,09,x≥0М2,f1 ( x ) = 0,09  М 0,3Γ 0,09 x<0 0,2D1(x) = 0,09 M , D2 (x) = 0,16 M 2.М−10,16 xe − x /0,16,x≥0М2,f2 ( x ) = 0,16  М 0,4Γ 0,16 x<0 0,Mo1 (x) = M – 0,09, Mo2 (x) = M – 0,17.As1 = 0,6 / M , As2 = 0,8 / M .Ex1 (x) = 0,54 / M, Ex2 (x) = 0,96 / M.Таким образом, выражение для моды показывает, что кривая гаммараспределения является левомодальной, что, как и в случае с логнормальным распределением, не соответствует характеристикам отходообразования.

Следовательно, гамма-распределение неадекватно отражает распределение рассматриваемой случайной переменной.2957.2.4 Распределение ВейбуллаРаспределение Вейбулла имеет вид (таблица 2.3, глава 2):1 − e − λx , x ≥ 0F ( x) = ,x<0 0,mλmx m−1e − λx , x ≥ 0f ( x) = .x<0 0,mПредставим плотность распределения вероятностей как функцию среднегосрока службы μ и коэффициента вариации V, где:V=D( x)M ( x)=σ; σ =Vµ ;µ1µ = λ Γ 1 +  . m2D = λ Γ 1 +  − µ 2 ; m−D = σ 2 = V 2µ 2 .2m−1mТогда, приравнивая различные выражения для D, получаем:−2222 2D = λ Γ  1 +  − µ 2 = V 2µ 2 ; λ m Γ  1 +  = µ + V µ ; m m2−2m λ Γ 1 +  = 1 + V 2 µ 2 . m−22m()Таким образом, имеем следующие уравнения для определения параметровраспределения λ, m через μ и V: − m2 222λΓ1+ = (1 + V ) µ m.1−1λ m Γ 1 +  = µ mРешим эту систему уравнений:(1 + V ) µλ =2Γ 1 +  m 1,µ −mλ = 1Γ 1 +  m2−m2221 + V 2 ) µ2−(m λ =2Γ 1 +  m2или  , −1 2 µ λ m  = 1  Γ 1+  m или296 − 2 (1 + V 2 ) µ 2 λ m=2Γ 1 +  m2 , −2 µλ m =  Γ 1 + 1    m  − 2 (1 + V 2 ) µ 2λ m =2Γ 1 +  mmили 1  .  Γ 1 + m  λ =  µТак как левые части равны, то равны и правые части2(1 + V ) µ222Γ 1 +  m(1 + V )1 + V 2 ) µ2(µ2µ= , или=2 ,211 Γ 1+Γ 1 + Γ 1+  m m    m   22Γ 1 +  m=или11  Γ1+  m 2.Таким образом, параметр m является функцией от коэффициента вариации V.Решая численно это уравнение, получим зависимость m(V).Тогда функция плотности распределения вероятностей как функция μ, V имеетвид: 1 m(V ) Γ1+m(V )   m(V )1 Γ 1+−xµm(V )  m(V )−1 mVxe, x ≥0()f ( x) = µ.0,x <0Выразим параметр λ через M и V:1−MMλ m=1 , λ= 1 Γ 1 + Γ 1 + m  m(V )  тогда для моды имеем выражение:− m (V ),297(m (V ) − 1)λ −1/ m (m − 1)1/ mMМо( х) ==1/ m(V )m1/ m1  m (V )Γ 1 +mV()1/ m(V )(m (V ) − 1)fmV=()()где,1 1/ m(V )m (V )Γ 1 +mV()1/ m(V )= Mf ( m (V ) ) ,а функция m(V) определяется из решения нелинейного уравнения(1 + V )22Γ 1 +  m=11   Γ 1 + m   2.Если функция f (m(V) > 1, то мода смещена вправо от математического ожидания, если эта функция меньше 1, то мода смещена влево.

График этой функциипредставлен на рисунке 7.1. Как видно из графика, только в области 0 < V < ≈ 0,33мода находится правее, в остальных случаях она расположена левее. Из этогографика также видно, что правостороннее смещение не превосходит определенного значения <1,1.Рисунок 7.1 – График зависимости f(m(V))Следовательно, кривые могут быть как левомодальными, так и правомодальными.При использовании параметров M, V имеем следующие выражения:- для коэффициента асимметрии:3 32)λ − 3cГ(1 + )λ 2 − 2c 3mm, илиAs =3σ Г 123 m (V )2 m (V )  1 1  Γ 1 + Γ 1 +3    m (V )  2    m (V )  Γ 1 +− 3c  +− c3MM m (V )   m (V )  ;As =33V MГ(1 +298- для медианы: 1 Γ1+1mV()Me = λ ln 2 m =  Mm(V )ln 21m(V );- для коэффициента эксцесса:4 m(V )3 m(V )  11  Γ 1 + Γ 1 +   m (V )  4    m (V )  3 Ex = Γ 1 +−4cΓ 1 ++MmVMmV()()  1  Γ 1 +mV()+6  M2 m(V )2444c 2Γ 1 +−3M / (V M ) . m (V ) Для конкретных значений V1 = 0,3 и V2 = 0,4 получим следующие характеристики распределения:- дисперсия:D1(x) = 0,09 M 2, D2 (x) = 0,16 M 2;- мода:Mo1 (x) = 1,018 M, Mo2 (x) = 0,947 M;- медиана:Me1 (x) = 0,817819 M, Me2 (x) = 0,776206 M;- коэффициент асимметрииAs1 (x) = –0,0260637, As2 (x) = 0,276674;- коэффициент эксцессаEx1 (x) = –0,276598, Ex2 (x) = –0,212588.Исходя из изложенных выше рассуждений, сфер применения различных законов распределения и графиков этих распределений (таблица 2.3, глава 2), для ве-299роятностной оценки скорости отходообразования наиболее подходит распределение Вейбулла.Можно видеть, что закон Вейбулла удовлетворяет также всем описанным ранее принципам выбора между конкурирующими законами распределения срокаслужбы:– он теоретически обоснован, так как выводится из математических моделейтеории надежности машин и оборудования; его функция распределения всегданеотрицательна, что соответствует физическому смыслу срока службы.

Характеристики

Список файлов диссертации