Густав Олссон, Джангуидо Пиани - Цифровые системы автоматизации и управления (1087169), страница 46
Текст из файла (страница 46)
чение некоторого времени все последовательные значения у,; кроме одного, равнк нулю, то на выходе фильтра сигнал будет отличен от нуля только на т временнаг интервалах. Если некоторые либо все коэффициенты а; не равны нулю, то тай фильтр называется авторегрессивным (г(иго/(ейгезмге — АК) и имеет бесковечнув импульсную характеристику. Другими словами, входной сигнал, отличаюшийсг к нуля только на одном временном интервале, вызовет появление на выходе сигнюз отличного от нуля в течение бесконечно долгого времени. Обобщенный фильтр, Ою' сываемый уравнением (5.9), называется авторегрессивным фильтром скользяжггг среднего (Ащойейгеззгпе Мосглл Авегале — АКМ А). Фильтры могут быть "причинными" и "непричинными", Причинный (саюй' фильтр вычисляет выходное значение на основании ранее введенных данных (злю ,юбг ' момент г учитываются входные значения толыго для г < гэ). поэтому все филь'" О жяю" реального времени (ои-/ьче) являются причинными.
Последоватсльность отфя. ' июс ~"' рованных значений на выходе будет отставать на некоторое время по сравнения' ежв ' следовательностью на входе. Если даннгяе обрабатываются в автономном р ' 1, мою' (о(/-1/пе), например при анализе серии значений уже собранных измерений, и ' ' я момгкь использовать непрнчинный (поп-гамза/) фильтр. В этом случае расчет лля мо времени го можно произволить на основе как предыдущих (г ~ гэ), так и ' следующих (г > гэ) значений. 5.4.2. Цифровые фильтры низкой частоты собхох ю Для того чтобы исследовать медленно изменяющиися входной сигнал, н ' навозг мо удалить из измерительных данных случайные пики и высокочастотные с поз которь е н о ые не содержат какой-либо полезной информации.
Это можно сделать Ог щью ц щ ю цифрового фильтра низкой частоты (г/гйгги//ою разз/!/гег), Структура цифр б, е эрг" го фильтра, который эффективно удаляет резкие колебания сигнала и в то же ыег ие влияет на медленные изменения, всегла компромиссна, потому что частота ло авазоны исходного и постороннего сигналов обычно пересекаются, Как и у ана ильтров динамика фильтра высокого порядкаболсеэффективнадля удаления выхч" ательных высоких частот. не;келате '„„.
„более важных типа ФНЧ вЂ” скользящего среднего и экспоненциального „ания (ехропепВа/ зтоогйтл). ФНЧ, используемые в промышленности, почти сглаж всегда а базируются на Одном из этих простых фильтров. Пример 5.8 фильтр скользящего сРеднего — простейший ФНЧ Простой фильтр скользящего среднего получается, если принять все параетры о, в уравнении (5.9) равными нулю. Если необходимо простое усреднение, то все весовые коэффициенты Ь; равны и дают в сумме единицу.
Например, фильтр скользящего среднего с пятью входными отсчетами имеет вид 1 у(*яй) = — (у(/г/г) + ... + у [(/г — ч)А// 5 Если операция фильтрации производится не в режиме реального времени, то величину скользящего срелнего можно подсчитать, используя измерения как Ло, так и после заданного момента времени /г6, В этом случае отфильтрованное значение не Отстает по времени относительно входных значений. Непричинный простой фильтр скользящего среднего по пяти значениям имеет вид 1 у(ЬЬ) = — (у[(/г — 2)Ь1 + ... + у[(/г + 2)6~) Если ли величина на выходе представляет собой усреднение по последним и выбо кам, Рвам, то она смещается иа 1 ж и/2 циклов. При больших значениях я выходной сигна й си~пал становится более гладким, но при этом все больше отстает по времени, Им . Импульсная характеристика фильтра скользящего среднего конечна.
Для в одны~ л ого импульса в момент г - 0 выходной сигнал после момента 1 .-- я 'тановится нулевым. Скользя ее с щее среднее — это простои метод, но он имеет определенные ограничения П и исп аковых коэффициентов фильтр тишне ине тным и Р гм и недостаточно быстро реагировать на реальные изменения во входном сигнале лля больших знач ало. С друтой стороны, если коэффициенты различны и убывают значений индекса п, то это затрудняет анализ свойств фильтра. Экспо скс„ьз й фильтР (ехРопеиггп//1/гег) — это автоРегРессионный фильтР ноненциальный фи вящего среднего пе вог пеРвого порялка, определяемый следуюп!им уравнением У(кй) = а у[(/г — 1)Ь1.~- (1 — а) у(Ыг) (5.10) ь " трованное значени 'ф Ивы ачение у(/гЬ) вычисляется суммированием предыдущего значеьв„ильтрованвого сигнала у [(Ь вЂ” 1)Ь1 и последнего значения у(/гй) измерительвгнала с весовыми коэффициентами.
Коэффициент а лежит в интервале межРавнение (5.10) можно переписать в виде у(/гЬ) .. у[(/г 1)Ь ~ ь (1 — а) (у(/гЬ) — у[(/г 1)Ь// „фровая фильЧ3агггггв и Глава 5. Обработка сигнв двв, 205 204 а-0 0.5 1.0 Пример 5.9 а-0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 а- 0,95 0 100 150 200 а= 0.98 т. е. экспоненциальный фильтр уточняет отфильтрованное значение на выходе ср, как только на вход поступает новое значение. Это уточнение невелико и становитс„, . меньше лля значений а, близких к 1; в этом случае появляется эффект инерционно„„' Уменьшение шумовых компонентов выходного сигнала происходит за счет слабог ответствия с реальными изменениями на входе. При а, близком к нулю, величина,„, правки растет. Соответственно, фильтрация шума уменьшится, однако изменения „, ходного сигнала будут отслеживаться более точно.
При а= 0 сигнал на выли идентичен сигналу на входе. Влияние величины а на реакцию фильтра при скачке;.г шумленного входного сигнала проиллюстрировано на рис. 5.23. Интерпретация экспоненциального фильтра как фильтра скользящего среднего Эксп о ненциал ьный фильтр можно интерпретировать как фильтр скол ьзяшсгв среднего, у которого в уравнении (5 9) бесконечное число членов с коэффициентами Ь. и отсутствием членов с коэффициентами а . Коэффициенты Ь, быстро умень.г г' гпаются лля более старых значений во входной последовательности.
Этот результат можно получить, переписав уравнение (5.10) как у(ггЬ) =- а у[(гг — 1)Ь~ + (1 — а) у(ггй) = =(1 — а) у(ЬЬ)еа (1 — а) у[(Ь вЂ” 1)Ь)ьа у[(Ь вЂ” 2)Ь~= = (1 — а) у(ггЬ) + а (1 — а) у[(А — 1)Ь)+ аз у[(Ь вЂ” 2)Ь~ + аэ у[(гг — 3)Ь1 = = (1 — а) у(Иг) + а (1 — а) у[()г — 1)lг) + ... + а™ у[(гг — п)Ь|+ ... гдеЬ = 1 — а, Ьг = а (1 — а),Ь9 = аз (1 — а)ит.л.ТаккакО< а<1,токозф фициснты для более старых зна гений убывают па экспоненциаль у где гг = — а, ном закову Например, при а - 0.5 коэффициенты Ь равньг 0.5, 0.25, 0,125, 0.0625,, а пра а = 0.9 — 0 1, 0 09, 0,081, 0,072, ...
Другими словами, если а стремится к ивает вхолнов фильтр имеет более долгую "память" и более эффективно сглаживает вхолнш и иентов филь"7 сигнал. Из-за экспоненциального убывания значений коэффицие ф . и получил свое название. Экспоненциальный фильтр в действительности представл яет собой лискретнып ' риант аналогового ФНЧ первого порядка с единичным стат ическим коэффициеш усиления (см. раздел 5.3.1) и передаточной функцией, аналогичной уравнению 5 У(з) 1 Су(з) = — = Постоянная времени равна Т равна Ь' С либо Егг11 в зависимости от вида фильтра гр ференциальцое уравнение цифрового фильтра г(0(г) 'г' ?' — = — у+у (;г г1г Яс.
5 ~ггвметр и ' с "лажяваюшего зкспоненпиальво„„ф„„ '23 Влиянгге 'ввь ег згга гение О, 0.5, 0,9, 0.95 в 099 Прв „„, Яд уьв ~~заживает изменения во входном сиг.н веНь „, Раня тсявысоквй шума. При большых значениях сг Фильтр вносит значительное запаздывание, °" заметно подавляется. Прв а = 0 вьгхогпгой сигнал фильтра ндснтггчен входному Глава 5.
Обраб Работка „ 1ь к06 При аппроксимации производной обратными разностями по У(т) — у(с — Ь) 1 1 Ь Т Т = †. У(с) ' — у(т) что является достаточно хорошим приближением для малых зца можно упростить следующим образом ' урквкк. 1 „Ь у(г) = у(с — Ь»+ — — у(с) Ь Т Ь 1+— Т 1+— Т что идентично уравнению (5.10) при 1 а= 1+— Т или а Ь Т= 1-а Поскольку было принято, что Ь/Т мало, то аппроксимация верна, только е1 стремится к 1. В этом случае а можно определить следующим приближенвня и жением Ь Ь а=1 — — ~ Т= Т 1 — а ия 5!!) В действительности точное решение дифференциального уравнения (5 ) уравнение (5.
10) Пример 5.10 Программа, реализующая зкспоненциельный фильтр и" в~я 10 легко !' ' ' Цифровой экспоненциальный фильтр [уравнение (5 10)! й варим1" вать программными средствами. Ниже приведен примерный вар аивыа "' мы. Функции АР 1прцс и (эА оцсрцс используются лля ввода Ь агВАГ ~ Т= —— (п(а) П ИК1акмь"" для которос.о выражение (5.12) является хорошим приближением Р ниях Ь/Т. иртетРеакция фильтра на скачок входного сигнала (рис. 5.23) ил иллюстриРУ' ' между а и Т. В течение интервала, равного одной постоянной вр В смени Т, с1! :и на=09 и,,' гыходе достигает 63 % от величины окончательного значения: пр а 0 98 оков ная времени Травна примерно 20 интервалам выборки, а при а = тервалов.
202 вая фи - льтрация 44 „фров Переменная с[е!Са Сцпе есть интервал выборки, а тветственно. Р , 1х соответ я для синхронизации работы программы с выборкой используется д. хс пп1е,;! обьясняется в разделе 10.6.э). Ет- туа1С ППС1 О ,1„вкц1'Я тв ехропепба! (!!Сег ьгаш ехро тат и з18па[, а1РЬа; т 11!сегес(,у о!Й: хс Вше, йе!са Вше: геа1; геа1; геа1; Ьей!и Пехг С1ШЕ:= 0; ктЬ!!е сгце с!о (* бесконечный цикл ") Ьея!и кча!с ипс!!(пехс сцпе); ш з18па[:= А[) !прцс(сЬ№1); у (!!сетей:= а1РЬа"у о!4 я (1-а!РЬа)*сп з!8па1; у оЫ:= у (йегег!.
1)А оцсрцс (сЬ№2, у 61сегес1); пехс с1псе:= пехс сцпе+ 1!е!са сцпе; епс[; (* бесконечного цикла *) епсй (* ехропепйа! В!сег *) Ус(ЬЬ)=а У [(Ь-1)Ь!+(1-а) у(ЬЬ) У2(ЬЬ) = а ' у2[(Ь вЂ” 1)Ь! + (1 — а) ' ус(ЬЬ) зва ение вхо „ аной с "л"ого сигнала, ус — выходной сигнал первого фильтра, а у аа вго ого ф 2 яскл „Рого фильтра. Свойства фильтра определяются параметром а. чить переме н ъ в с Р явную у с(ЬЬ), то цифровой фильтр второго порядка можно заду ющеы виде 2а' У2[(Ь вЂ” 1)Ь~ — а2 У2[(Ь вЂ” 2)Ь1+ (1 — а)2 у(ЬЬ) 3, 11ока, . Я фильтРа втоРого поРЯДка к сигналУ, изобРаженномУ на ча, "" парис.
5 стог,, „Р 5 24. Фильтр второго порядка эффективнее подавляет высо ц, у ожно выбрать меньшее значение а, Выходной сигнал этого ка 'с соответств твует изменениям входного сигнала, чем у фильтра первого 5 4 3 Цифровые фильтры низкой частоты высоких порядков Аналогов, " "огов11й фильтр второго порядка более эффективен для подавления высоко14С10тямк кс к компонентов, чем фильтр первого порядка (раздел 5.3.2). цифровой Фильтр со сг ч какяОГОВОМУ И структурой, определяемой уравнением (5.9), при л = т = 2 соответствует ' у ф"дыру второго порядка. Соединив последовательно два экспоненци- Ь"Ь1кфильт а пе ,ь,в Р" "еРвого поРЯдка, полУчим фильтР втоРого поРЯдка с двУмЯ олина"""я ~~с~отами среза Глава 5. оная фильтрация 5.4 г( сигн 1.0 а 0 0.5 Р 1.0 0.5 с(у(1) Иу(1) Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
