4 (1084739), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

-

Масштаб по координатным осям обычно применяют различный От выбора его зависит форма графика — он может быть плоским (узким) или вытянутым (широким) вдоль оси (рис. 4.7). Узкие графики дают большую погрешность по оси гy, широкие — по оси х. Из рисунка видно, что правильно подобранный масштаб (нормальный график) позволяет существенно повысить точность от­четов. Расчетные графики, имеющие максимум (минимум) функции или какой-либо сложный вид, особо тщательно необходимо вычерчивать в зонах изгиба. На таких участках количество точек для вычерчи­вания графика должно быть значительно больше, чем на плавных участках. В некоторых случаях строят номограммы, существенно облег­чающие применение для систематических расчетов сложных теоре­тических или эмпирических формул в определенных пределах изме­рения величин. Номограммированы могут быть любые алгебраиче­ские выражения. В результате сложные математические выраже­ния можно решать сравнительно просто графическими методами. Построение номограмм — трудоемкая операция. Однако, будучи раз построенной, номограмма может быть использована для нахо­ждения любого из переменных, входящих в номограммированное уравнение. Применение ЭВМ существенно снижает трудоемкость номограммирования. Существует несколько методов построения номограмм. Для этого применяют равномерные или неравномерные координатные сетки. В системе прямоугольных координат функции в большинстве слу­чаев на номограммах имеют криволинейную форму. Это увеличи­вает трудоемкость, поскольку требуется большое количество точек для нанесения одной кривой. В полу- или логарифмических координатных сетках функции имеют прямолинейную форму и составление номограмм упрощается. Методика построения номограмм функции одной переменной у=f(лx) или многих у = f(x1 x2, ..., Хп) описана ранее и сводится к построению кривой, семейства или серии семейств путем принятия постоянных и нахождения одной переменной. Сложные алгебраические выражения целесообразно сводить к простому произведению двух-трех значений, например: d = = abc, где а, b, с — функции двух, трех переменных.В этом случае необходимо вначале, задавшись переменными, вычислить а, б, с. Далее, придавая а, Ь, с постоянные значения, найти а. Величины а, b, с необходимо варьировать в определенных значениях, например от 0 до 100 через 5 или 10. Наиболее эффектив­ным является такой способ построения номограмм, при котором а, b, с представляются как безразмерные критерии (см. гл. 3).

§ 7. Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных измерений получают статистиче­ский ряд измерений двух величин, объединяемых функцией

(4.30)

Каждому значению функции соответствует определен­ное значение аргумента Экспериментатор должен быть уверенным в достоверности полу­чаемых им измерений (см. гл. 4, § 3). На oснове экспериментальных данных можно подобрать алгебра­ические выражения, которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбирают лишь в пределах измеренных значений аргумента Эмпирические формулы имеют тем большую ценность, чем больше они соответствуют результатам эксперимента. Необходимость в подборе эмпирических формул возникает во многих случаях. Так, если аналитическое выражение (4.30) сложное, требует громоздких вычислений, составления программ для ЭВМ, то часто эффективнее пользоваться упрощенной приближенной эм­пирической формулой. Опыт показывает, что эмпирические формулы часто незаменимы для анализа измеренных величин. К эмпирическим формулам предъявляют два основных требования — по возможности они должны быть наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента. Таким образом, эмпирические формулы являются приближенны­ми выражениями аналитических формул. Замену точных аналити­ческих выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции аппроксимирую­щими. Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов. На первом этапе данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы. На втором этапе вычисляют параметры формул, которые наилуч­шим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул не­обходимо начинать с самых простых выра­жений.

Результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейши­ми эмпирическими уравнениями типа

(4.31)

где a, b — постоянные коэффициенты.Так, линеаризованным уравнением (4.31) можно выразить зависимость между влаж­ностью и плотностью грунта, содержанием цемента и прочностью бетона, количеством проходов смесительной машины и степенью размельчения грунта, продолжительностью перемешивания асфальтобетонной смеси и степенью ее однородно­сти и т. д. Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности использовать линейную функцию. В этом случае при­меняют метод выравнивания. Он заключается в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линей­ной функцией. Для преобразования некоторой кривой (4.30) в прямую линию вводят новые переменные Х и У:

; (4.32)

В этом уравнении Х и У должны быть связаны линейной зави­симостью

(4.33)

Значения Х и У можно вычислить на основе решения системы (4.32). Далее строят прямую (рис. 4.8), по которой легко графически вычислить параметры а (ордината точки пересечения прямой с осью Y) и b (тангенс угла наклона прямой с осью У);

При графическом определении параметров а и b обязательно, чтобы прямая (4.31) строилась на координатной сетке, у которой началом является точка У = 0 и Х = 0. Для расчета b необходимо точки Yi и Xi принимать на крайних участках прямой. Для определения параметров прямой можно применить также другой графический метод. В уравнение (4.33) подставляют коорди­наты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и b. После установления пара­метров а и b получают эмпирическую формулу (4.31), которая связы­вает У и X, что позволяет установить функциональную связь между х и у (4.32) и эмпирическую зависимость (4.30). Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полу- или логарифмических координатных сетках, которые сравнительно широко применяют при графическом методе подбора эмпирических формул.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу следующих измерений:

Графический анализ этих измерений показывает, что в прямоуголь­ных координатах точки хорошо ложатся на прямую линию и их можно выразить зависимостью (4.31).Выбираем координаты крайних точек и подставляем в (4.31):

откуда A1=41,9:6=6,98 и Aо=12,10-6,98=5,12. Эмпири­ческая формула примет вид

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямо­линейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул. Графический метод выравнивания может быть применен в раз­личных случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямо­угольных координат имеет вид плавной кривой. Рассмотрим основ­ные случаи. Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9, а, то необ­ходимо применить формулу

(4.34)

Заменяя Х=lgx и У=lgу, имеем У=Iga+bХ. При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке. Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9,то нужно использовать выражение

(4.35)

Заменяя Y=lgу, имеем У=lga+xblge.

Здесь экспериментальная кривая превращается в прямую линию на полулогарифмической сетке.

Рис. 4. 9. Основные виды графиков эмпирических формул.

Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9 a то применяем

(4.36)

а) b-задано. Принимая Х= , имеем прямую линию на сетке прямоугольных координат

у=аХ+с

б) b-неизвестно. Принимая Х=lgx и Y=lg(y-c) имеем прямую линию на логарифмической сетке Y=Iga+bХ.

В этом случае необходимо предварительно вычислить с. Для этого по экспериментальной кривой принимают три произвольные точки: x1y1; x2y2 и x3 = ;y3 вычисляют с:

(4.37)

Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9 b то нужно пользоваться формулой

(4.38)

Заменяя У=lg(y—с), имеем прямую на полулогарифмической сетке У=lga+blgex. Необходимо предварительно определить с с помощью (4.37), но x3=0,5(x1+х2).

Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9 d то применяем выражение

y=а+ (4.39)

Заменяя х=1/z, получаем прямую линию на сетке прямоугольных координат у=а+bz. Если график имеет вид рис.4.9 e то нужно использовать формулу

y=1/(a+bx) (4.40)

Заменяя y=1/z, имеем z=а+bх, т. е. прямую на сетке прямо­угольных координат.

Аналогично для уравнения

y=1/(a+bx+c ) (4.41)

с у=1/z имеем z=а+bx+c . Сложную степенную функцию

(4.42)

преобразуем в прямую линию.

При lgу=z; lga=Р; nlge=q, mlge=z имеем z=р+qx+r .

С помощью приведенных на рис. 4.9 графиков и выражении (4.34) - (4.42) практически можно всегда подобрать уравнение эмпирической формулы.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу для следующих измерений:

1 1,5 2,0 2.5 3,0 3,5 4.0 4,5

15,2 20,6 27,4 36,7 49,2 66,0 87.4 117,6

Характеристики

Список файлов лекций