05 Глава 4 (1-7) (1084726), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если необходимо графически изобразить функцию с четырьмя и более переменными = f(b,х, у, z), то строят серию графиков типа предыдущих (рис. 4.4), но каждый из них при =const или принимают из N переменных N—1 постоянными и стро­ят графики: вначале N-1= (x), далее N-2= (x), N-3= (x) и т. д. Таким образом, можно проследить изменение любой переменной величины в функции от других при постоянных зна­чениях остальных. Этот метод графического анализа требует тща­тельности, большого внимания к результатам измерений. Одна­ко он в большинстве случаев является наиболее простым и наг­лядным. При графическом изображении результатов экспериментов боль­шую роль играет выбор системы координат или координатной сетки. Координатные сетки бывают равномерными и неравномерными. У равномерных координатных сеток ординаты и абсциссы имеют равномерную шкалу. Например, в системе прямоугольных координат длина откладываемых единичных отрезков на обеих осях оди­наковая. Из неравномерных координатных сеток наиболее распространены полулогарифмические, логарифмические, вероятностные

Полулогарифмическая сетка имеет равномерную ординату и ло­гарифмическую абсциссу (рис. 4.5). Логарифмическая координатная сетка имеет обе оси логарифми­ческие (см. рис. 4.5), вероятностная — ординату, обычно равномерную, и абсциссу — вероятностную

шкалу (рис. 4.6). Назначение неравномерных сеток различное. В большинстве случаев их применяют для более наглядного изо­бражения функций. Функция у = f(x) имеет различную форму на различных сетках. Так, многие криволинейные функции спрямляют на логарифмиче­ских сетках. Большое значение в практике гра­фического изображения эксперимен­тальных данных имеет вероятностная сетка, применяемая в различных слу­чаях: при обработке измерений для оценки их точности, при определении расчетных характеристик (расчетной влажности, расчетных значений модуля упругости грунта, межре­монтных сроков службы одежды и покрытий и т. д.). Иногда в процессе обработки экспериментальных данных графическим способом необходимо составить расчетные графики, ускоряющие нахождение по одной переменной других. При этом существенно повышаются требования к точности вычерчивания функции на графике. Вычерчивая расчетные графики, необходимо руководствоваться следующими практическими рекомендациями. В зависимости от числа переменных нужно выбрать координатную сетку и определить вид графика - одна кривая, семейство кривых или серия семейств. Большое значение приобретает выбор масштаба графика, что связано с размерами чертежа и соответственно с точностью снимаемых с него значений величин. Известно, что чем крупнее масштаб, тем выше точ­ность снимаемых значений Однако, как правило, графики не превышают размеров 20X15см, что явля­ется удобным при составлении отчетов. Лишь в отдельных случаях используют графики больших размеров. Опыт показывает, что применяемая для вычерчивания графиков миллиметровая бумага в пределах размеров 15-20 см дает погрешность 0,1—0,2мм. Это следует иметь в виду при вычерчивании расчетных графиков. Таким обра­зом, абсолютная ошибка снимаемых с графиков величин может достигать 0,2 М, где М —принятый масштаб графика. Очевидно, что точность измере­ний может быть выше точности снимае­мых с графика величин.

-

Масштаб по координатным осям обычно применяют различный От выбора его зависит форма графика — он может быть плоским (узким) или вытянутым (широким) вдоль оси (рис. 4.7). Узкие графики дают большую погрешность по оси гy, широкие — по оси х. Из рисунка видно, что правильно подобранный масштаб (нормальный график) позволяет существенно повысить точность от­четов. Расчетные графики, имеющие максимум (минимум) функции или какой-либо сложный вид, особо тщательно необходимо вычерчивать в зонах изгиба. На таких участках количество точек для вычерчи­вания графика должно быть значительно больше, чем на плавных участках. В некоторых случаях строят номограммы, существенно облег­чающие применение для систематических расчетов сложных теоре­тических или эмпирических формул в определенных пределах изме­рения величин. Номограммированы могут быть любые алгебраиче­ские выражения. В результате сложные математические выраже­ния можно решать сравнительно просто графическими методами. Построение номограмм — трудоемкая операция. Однако, будучи раз построенной, номограмма может быть использована для нахо­ждения любого из переменных, входящих в номограммированное уравнение. Применение ЭВМ существенно снижает трудоемкость номограммирования. Существует несколько методов построения номограмм. Для этого применяют равномерные или неравномерные координатные сетки. В системе прямоугольных координат функции в большинстве слу­чаев на номограммах имеют криволинейную форму. Это увеличи­вает трудоемкость, поскольку требуется большое количество точек для нанесения одной кривой. В полу- или логарифмических координатных сетках функции имеют прямолинейную форму и составление номограмм упрощается. Методика построения номограмм функции одной переменной у=f(лx) или многих у = f(x1 x2, ..., Хп) описана ранее и сводится к построению кривой, семейства или серии семейств путем принятия постоянных и нахождения одной переменной. Сложные алгебраические выражения целесообразно сводить к простому произведению двух-трех значений, например: d = = abc, где а, b, с — функции двух, трех переменных.В этом случае необходимо вначале, задавшись переменными, вычислить а, б, с. Далее, придавая а, Ь, с постоянные значения, найти а. Величины а, b, с необходимо варьировать в определенных значениях, например от 0 до 100 через 5 или 10. Наиболее эффектив­ным является такой способ построения номограмм, при котором а, b, с представляются как безразмерные критерии (см. гл. 3).

§ 7. Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных измерений получают статистиче­ский ряд измерений двух величин, объединяемых функцией

(4.30)

Каждому значению функции соответствует определен­ное значение аргумента Экспериментатор должен быть уверенным в достоверности полу­чаемых им измерений (см. гл. 4, § 3). На oснове экспериментальных данных можно подобрать алгебра­ические выражения, которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбирают лишь в пределах измеренных значений аргумента Эмпирические формулы имеют тем большую ценность, чем больше они соответствуют результатам эксперимента. Необходимость в подборе эмпирических формул возникает во многих случаях. Так, если аналитическое выражение (4.30) сложное, требует громоздких вычислений, составления программ для ЭВМ, то часто эффективнее пользоваться упрощенной приближенной эм­пирической формулой. Опыт показывает, что эмпирические формулы часто незаменимы для анализа измеренных величин. К эмпирическим формулам предъявляют два основных требования — по возможности они должны быть наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента. Таким образом, эмпирические формулы являются приближенны­ми выражениями аналитических формул. Замену точных аналити­ческих выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции аппроксимирую­щими. Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов. На первом этапе данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы. На втором этапе вычисляют параметры формул, которые наилуч­шим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул не­обходимо начинать с самых простых выра­жений.

Результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейши­ми эмпирическими уравнениями типа

(4.31)

где a, b — постоянные коэффициенты.Так, линеаризованным уравнением (4.31) можно выразить зависимость между влаж­ностью и плотностью грунта, содержанием цемента и прочностью бетона, количеством проходов смесительной машины и степенью размельчения грунта, продолжительностью перемешивания асфальтобетонной смеси и степенью ее однородно­сти и т. д. Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности использовать линейную функцию. В этом случае при­меняют метод выравнивания. Он заключается в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линей­ной функцией. Для преобразования некоторой кривой (4.30) в прямую линию вводят новые переменные Х и У:

; (4.32)

В этом уравнении Х и У должны быть связаны линейной зави­симостью

(4.33)

Значения Х и У можно вычислить на основе решения системы (4.32). Далее строят прямую (рис. 4.8), по которой легко графически вычислить параметры а (ордината точки пересечения прямой с осью Y) и b (тангенс угла наклона прямой с осью У);

При графическом определении параметров а и b обязательно, чтобы прямая (4.31) строилась на координатной сетке, у которой началом является точка У = 0 и Х = 0. Для расчета b необходимо точки Yi и Xi принимать на крайних участках прямой. Для определения параметров прямой можно применить также другой графический метод. В уравнение (4.33) подставляют коорди­наты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и b. После установления пара­метров а и b получают эмпирическую формулу (4.31), которая связы­вает У и X, что позволяет установить функциональную связь между х и у (4.32) и эмпирическую зависимость (4.30). Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полу- или логарифмических координатных сетках, которые сравнительно широко применяют при графическом методе подбора эмпирических формул.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу следующих измерений:

Графический анализ этих измерений показывает, что в прямоуголь­ных координатах точки хорошо ложатся на прямую линию и их можно выразить зависимостью (4.31).Выбираем координаты крайних точек и подставляем в (4.31):

откуда A1=41,9:6=6,98 и Aо=12,10-6,98=5,12. Эмпири­ческая формула примет вид

Характеристики

Список файлов книги