05 Глава 4 (1-7) (1084726), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Доверительная вероятность, гарантийный коэффициент и зна­чение xi связаны соотношением

(4.6)

Функцию Ф(t) называют интегралом вероятностей или интегралом Лапласа. Численные значения интеграла вероятности приведеных в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Величину 1 - Ф(t) называют уровнем значимости. Из нее следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из n_и измерений: или иначе приходится браковать одно из n_и измерений:

Зная величины , Кв, можно дать характеристику качества изме­рения.

Пример: Допустим, испытано 53 образца бетона, Определено, что средняя прочность при сжатии R=201 кгс/см² 27 кес/см²

Задаваясь величиной t, можно определить доверительный интер­вал и доверительную вероятность Ф(t) измерения по табл. 4.1. Так, при t =1 = ±27 кгс/см², т. е. R = 201 ±27 кгс/см². Из табл. 4.1 определим доверительную вероятность Ф(t) = 0,683. Зна­чит, из 1000 измерений 683 попадает в данный доверительный интер­вал, а 317 результатов выходят за его пределы. При t = 3 = 27 = 81 кгс/см² , т. е. R == 201 ±81 кгс/см². По табл. 4.1 Ф(t) = 0,997, следовательно, из 1000 измерений 993 попадают в дан­ный доверительный интервал и только 3 измерения выходит за его пределы. Для строительства обычно принимают, что гарантийный коэффициент t изменяется от 2 до 3.

При выполнении измерений необходимо знать их точность m, которую обычно характеризуют величиной - среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения о:

(4.8)

Величину часто называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки, точности измерения m определятся аналогично, как и для величин измерений: По величине t легко опреде­лить доверительную вероятность (надежность) точности (ошибки)измерения из табл.4.1

В исследованиях часто по заданной точности m и доверительной вероятности (надежности) измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые величины m и Ф(t). Для этой цели в большинстве случаев используют прибли­женную зависимость:

(4.9)

В относительных величинах (4.9) принимает вид (4.10)

Здесь Кв - коэффициент вариации (изменчивости), %; точность измерений, %.

Для вычисления Nmin может быть принята следующая последо­вательность.

1. Проводят предварительный эксперимент с количеством изме­рений л, которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50.

2. Вычисляют среднеквадратичное отклонение о (4.4).

3. В соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливают требуемую точность измерений, которая должна быть не менее точности прибора.

4. Устанавливают нормированное отклонение , величину кото­рого обычно задают; она зависит также от точности метода. Например, при большой точности измерений и трудоемком эксперименте можно принять t = 2,0; при малой - t = 3. Так, измеряя влажность грунта и материалов, можно принять t = 2; плотность, прочность, размеры тел - t = 2,5.

Из (4.9) определяют Nmin.

В дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше Nmin

Оценки измерений с помощью величины и по приведенным методам справедливы при больших n> 30. Для нахождения границ доверительного интервала при малых значениях n применяют метод, предложенный в 1908 г. английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент).

Уравнение распределения Стьюдента имеет вид:

(4.11)

где Г (n) - гамма-функция

Рис.4.1 Кривые распределения Стьюдента для

различных значений n: ;2-n=10;3-n=2

Как видно из рис.4.1, кривые распределения Стьюдента при n (практически при n>20) переходят в кривые нормального распределения. Для малой выборки доверительный интервал

(4.12)

Здесь - коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл. 4.2 в зависимости от значения доверительной вероятности Фcт

Зная , можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки: (4.13)

Возможна иная постановка задачи. По n известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность

Таблица 4.2

Фcт при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы

Задачу решают в такой последовательности. Вычисляют среднее значение и

По величине , известному n и табл. 4.2 определяют довери­тельную вероятность.

Оценка результатов измерений, содержащих грубые ошибки. Появление этих ошибок вполне вероятно, а наличие их ощутимо вли­яет на результат измерений. Так, уже одна грубая ошибка в 25 изме­рениях значительно искажает экспериментальные данные. При ана­лизе эксперимента необходимо прежде всего исключить грубые ошибки. Однако прежде чем исключить то или иное измерение, не­обходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка, а не отклонение вследствие статистического разброса.

Известно несколько методов определения грубых ошибок ста­тистического ряда. Пусть имеется статистический ряд малой выбор­ки, подчиняющийся закону нормального распределения. При нали­чии грубых ошибок критерии их появления

; (4.14)

где -наибольшее и наименьшее значение из n измерений.

В табл.4.3 приведены в зависимости от доверительной вероятности максимальные значения , возникающие вследствие статистического разброса. Если , то значение необходимо исключить из статистического ряда как грубую погрешность. При исключается величина После исключения значений грубых ошибок определяют новые значения и из n-1 или n-2 измерений.

Таблица 4.3

Второй метод установления грубых ошибок основан на исполь­зовании критерия В. И. Романовского и также применим для малой выборки. Методика выявления грубых ошибок сводится к следую­щему. Задаются доверительной вероятностью Ф(t) и по табл. 4.4 в за­висимости от л находят коэффи­циент q

Характеристики

Список файлов книги