05 Глава 4 (1-7) (1084726), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямо­линейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул. Графический метод выравнивания может быть применен в раз­личных случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямо­угольных координат имеет вид плавной кривой. Рассмотрим основ­ные случаи. Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9, а, то необ­ходимо применить формулу

(4.34)

Заменяя Х=lgx и У=lgу, имеем У=Iga+bХ. При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке. Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9,то нужно использовать выражение

(4.35)

Заменяя Y=lgу, имеем У=lga+xblge.

Здесь экспериментальная кривая превращается в прямую линию на полулогарифмической сетке.

Рис. 4. 9. Основные виды графиков эмпирических формул.

Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9 a то применяем

(4.36)

а) b-задано. Принимая Х= , имеем прямую линию на сетке прямоугольных координат

у=аХ+с

б) b-неизвестно. Принимая Х=lgx и Y=lg(y-c) имеем прямую линию на логарифмической сетке Y=Iga+bХ.

В этом случае необходимо предварительно вычислить с. Для этого по экспериментальной кривой принимают три произвольные точки: x1y1; x2y2 и x3 = ;y3 вычисляют с:

(4.37)

Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9 b то нужно пользоваться формулой

(4.38)

Заменяя У=lg(y—с), имеем прямую на полулогарифмической сетке У=lga+blgex. Необходимо предварительно определить с с помощью (4.37), но x3=0,5(x1+х2).

Если экспериментальный график имеет вид рис. 4.9 d то применяем выражение

y=а+ (4.39)

Заменяя х=1/z, получаем прямую линию на сетке прямоугольных координат у=а+bz. Если график имеет вид рис.4.9 e то нужно использовать формулу

y=1/(a+bx) (4.40)

Заменяя y=1/z, имеем z=а+bх, т. е. прямую на сетке прямо­угольных координат.

Аналогично для уравнения

y=1/(a+bx+c ) (4.41)

с у=1/z имеем z=а+bx+c . Сложную степенную функцию

(4.42)

преобразуем в прямую линию.

При lgу=z; lga=Р; nlge=q, mlge=z имеем z=р+qx+r .

С помощью приведенных на рис. 4.9 графиков и выражении (4.34) - (4.42) практически можно всегда подобрать уравнение эмпирической формулы.

Пример. Подобрать эмпирическую формулу для следующих измерений:

1 1,5 2,0 2.5 3,0 3,5 4.0 4,5

15,2 20,6 27,4 36,7 49,2 66,0 87.4 117,6

На основе этих данных строим график. Как видно из рис. 4.10, имеем типичный график для показательной функции (4.35) (рис. 4.9, б). В этой формуле необходимо найти параметры а и b. После логарифмирования этого выражения имеем lgy=lga+blgex Если обозначить lgy=Y, то У=lga+blgex, т. е. в полулогарифмических координатах выражение для Y представ­ляет собой прямую линию, что подтверждается рис. 4.10.

Подставим в уравнение координаты крайних точек; lg15,2=lga+blgв. lg117,5=lga+4,5blge или lga+blge=1,183; lga+4,5lge=2,070. Отсюда b=0,579; Iga=1,183-0.254=0,929; a=1,85. Окончательно эмпирическая формула имеет вид При подборе эмпирических формул широко используют полиномы

(4.43)

где A0, А1 .... An — постоянные коэффициенты. Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически выражают непрерывные функции.

Особо ценным является то, что даже при неизвестном точном выражении функции (4.43) можно определить значения коэффициентов А. Кроме графического метода, изложенного выше, для определения коэф­фициентов А применяют методы средних и наименьших квадратов. Метод средних основан на следующем положении. По экспери­ментальным точкам можно построить несколько плавных кривых. Наилучшей будет та кривая, у которой разностные отклонения наи­меньшие, т. е. =0. Порядок расчета коэффициентов полинома сводится к следую­щему. Определяют число членов ряда (4.43). Обычно принимают не более 3—4. B принятое выражение последовательно подставляют коорди­наты х и у т экспериментальных точек и получают систему из т уравнений. Каждое уравнение приравнивают соответствующему отклонению

Обычно число точек, т. е. число уравнений, больше числа коэффициентов А, что позволяет их вычислить при решении системы (4.44). Разбивают систему начальных уравнений (4.44) последовательно сверху вниз на группы, число которых должно быть равно количе­ству коэффициентов А. В каждой группе складывают уравнения и получают новую си­стему уравнений, равную количеству групп (обычно 2—3). Решая систему, вычисляют коэффициенты А. Метод средних обладает высокой точностью, если число точек достаточно велико (не менее 3—4). Степень точности можно повы­сить следующим образом. Начальные условия группируют по 2— 3 вариантам и вычисляют для каждого варианта эмпирическую фор­мулу. Предпочтение отдают той формуле, у которой min.

Пример. Выполнено семь измерений:

Необходимо подобрать эмпирическую формулу для полинома у =

Подставим в это уравнение точки и разобьем систему начальных уравнений на три группы (1—2, 3—4, 5—7):

После сложения уравнений в каждой подгруппе имеем

Определяя из этих выражений А0, А1 и А2, окончательно имеем следующую эмпирическую формулу: у=26,168-5,2168+0,2811 . Метод средних может быть применен для различных кривых после их выравнивания.

Пример Имеется восемь измерений:

Анализ кривой в системе прямоугольных координат дает возмож­ность применить формулу (4.33): Произведем выравнивание путем замены переменных У = lgy, х =x/2,303 тогда Y=А+BX где A=1ga, B=b

Поскольку необходимо определить два параметра, то разбиваем все измерения на две группы по четыре измерения. Составляем во­семь уравнений:

После суммирования по группам получаем систему двух уравне­ний с двумя неизвестными А и В, решая которую, имеем

A=1,8952 B= -0,1037

a=78,56 b= -0,1037

Окончательно у=78,56 Наилучшие результаты при определении параметров заданного уравнения дает использование метода наименьших квадратов Суть этого метода заключается в том, что если все измерения функции У1 У2 ……, Уn произведены с одинаковой точностью и распределен­ные величины ошибок измерения соответствуют нормальному зако­ну, то параметры исследуемого уравнения определятся при условии, что сумма квадратов отклонения измеренных значений от рас­четных принимает наименьшее значение. Для нахождения неизвестных параметров (a1, a2 ……,аn).число которых л, необходимо решить систему n линейных уравнений

(4.45)

где y1,….., Уn — частные значения измеренных величин функциями у; х, u, z—переменные величины; а1....., аn—коэффи­циенты уравнения, которые необходимо определить. Эту систему приводят к системе нормальных линейных уравне­ний путем умножения каждого уравнения соответственно на х1.....,xm и последующего их сложения, затем умножения соответственно на u1,....., um и т. и т. д. Это позволяет получить так называемую си­стему нормальных уравнений

(4.46)

Решив эту систему, определяют искомые коэффициенты.

Пример. Необходимо определить коэффициенты а1 и a2 в уравнении Кр=a1+а2Цм, где Кр — коэффициент раздвижки зерен в бетоне; Цм — расход цементного теста в литрах на 1 бетона.

Поскольку требуется определить два параметра, то система уравне­ний представляется: у=а1+а2u2, уu2 = а1х1u2+а2u2 здесь у=Кр; x1=1; u2= м. Так как урав­нение линейное, ограничиваемся четырьмя сериями опытов (табл. 4.6).

Система нормальных уравне­ний состоит из двух: 5,48=4a1+1100a2; 1519=1100a1 +307350a2.Решая их, получаем a1=0,78; a2=0,0025. Следовательно, окончательно имеем следующую эмпирическую формулу: Кр=0,78+0,0025Цм.

Метод наименьших квадратов обеспечивает результаты высокой надежности. Степень точности коэффициентов А в (4.43) должна быть такой, чтобы вычисленные значения у совпадали со значениями в исходных табличных значениях. Это требует вычислять значения А тем точнее, чем выше индекс А, т. е. A4 должно быть точнее (боль­ше число десятичных знаков), чем А3; А3— точнее, чем A2 и т. д. Для вычисления коэффициентов А методом наименьших квадратов необходимо расчеты проводить по типовым программам на ЭВМ.

Характеристики

Список файлов книги