lect1mech (1083136), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения.Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому дляописания движения материальной точки надо знать, в каких местахпространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходилато или иное положение.Тело отсчета — произвольно выбранное тело, относительно которогоопределяется положение остальных тел.Система отсчета — совокупность системы координат и часов,связанных с телом отсчета.Наиболее употребительная система координат — декартовая —ортонормированный базис которой образован тремя единичными по модулю иrrrrr r rrоднозначно представить в виде a = a x i + a y j + a z k , где i , j , k — единичныевекторы (орты) по осям координат x, y , z .

Числа a x , a y , a z называютсяrпрямоугольными декартовыми координатами вектора a .В прямоугольной декартовой системе координат каждый вектор a можно7. Скалярное произведение векторов.rar r rвзаимно ортогональными векторами i , j , k , проведенными из началакоординат.r Положение произвольной точки M характеризуется радиусом-векторомr , соединяющим начало координат O с точкой M .rrrrr = x⋅i + y⋅ j + z ⋅k ,rr = r = x2 + y2 + z2Движение материальной точки полностью определено, если декартовыкоординаты материальной точки заданы взависимости от времени:x = x(t )y = y (t )z = z (t )Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки.Ониэквивалентныодномуr r векторномууравнению движения точки: r = r (t ) .Линия,описываемаядвижущейсяматериальнойточкой(илителом)относительно выбранной системы отсчетаназываетсятраекторией.Уравнениетраекторииможнополучить,исключивпараметр t из кинематических уравнений.В зависимости от формы траектории движение может бытьпрямолинейным или криволинейным.Длиной пути точки называется сумма длинвсех участков траектории, пройденных этой точкойзарассматриваемыйпромежутоквремени∆s = ∆s(t ) .

Длина пути — скалярная функциявремени.r r rВектор перемещения ∆r = r − r0 — вектор,проведенный из начального положения движущейсяточки в положение ее в данный момент времени(приращениерадиуса-вектораточкизарассматриваемый промежуток времени).r rrrrvab = (a , b ) = ab cosϕ = a x bx + a y b y + a z byr rгде ϕ − угол между векторами a и b .Скалярное произведение векторов a и b есть числоϕ br8. Векторное произведение векторов.rcraϕrrПод векторным произведением векторов a и b понимаютrвектор c ,имеющийдлину(площадьc = ab sin ϕrbrrrrнаправленный перпендикулярно к a и b , причем так, чтоr r rвекторы a , b и c образуют правую тройку векторов.r r r r rОбозначение:c = [a , b ] ≡ a × bпараллелограмма, построенного на a и b как на сторонах) и9.

Скалярное поле.Если каждой точке M пространства ставится в соответствие скалярнаявеличина U , то возникает скалярное поле U (M ) (например, полетемпературы неравномерно нагретого тела, поле плотности в неоднороднойдекартовысреде, поле электростатического потенциала). Если M имеетrкоординаты ( x, y , z ) , то пишут U = U ( x, y , z ) или U = U (r ) с векторнымrrrrаргументом (радиусом вектором) r = OM = xi + yj + zk .10. Векторное поле.rЕсли каждой точке M ставится в соответствие вектор V , то говорят оrвекторном поле V (M ) (например, поле скоростей движущейся жидкости,гравитационное поле Солнца, поле электрической напряженности, полемагнитной напряженности).

В декартовых координатах:rr rr rrrV = V ( x, y , z ) = V ( r ) = V x ( x , y , z ) i + V y ( x , y , z ) j + V z ( x , y , z ) krгде r − радиус-вектор. Компоненты Vx ,V y ,V z образуют три скалярных поляr rи однозначно определяют V (r ) — векторную функцию векторного аргумента.11. Производная по направлению.rПусть скалярное поле U (r ) имеет в некоторой точке M 0 значение U 0 , иrrrr r r rr∆r = r − r0 = r (t ) − r (t 0 ) = ∆x ⋅ i + ∆y ⋅ j + ∆z ⋅ krВ пределе ∆t → 0 длина пути по хорде ∆s и длина хорды ∆r = ∆r будутrвсе меньше отличаться:ds = dr = dr .этом перемещении равно dU = U s − U 0 .

Предел отношения этого приращенияА.Н.Огурцов. Лекции по физике.Приложениеrпусть при перемещении ds по направлению вектора s мы приходим из точкиM 0 в точку M , где скалярное поле имеет значение U s . Приращение U при1–281–52. Производные некоторых элементарных функций.′(e ) = e′(ln x ) = 1x(a ) = a ln a(x )′ = nx3. Частная производная.Пусть функцияfопределенаxxx′′(sin x ) = cos x(cos x )′ = − sin xxn −1nвнекоторойокрестностиP0 ( x10 ,K, xn0 ) .Функция f называется дифференцируемойсуществует предел разностного отношенияlim0f( x10 ,K, xk0−1 , xk , xk0+1 ,K, xn0 )−xk −xk → xkпоточкиxk , еслиf ( x10 ,K, xk0−1 , xk0 , xk0+1 ,K, xn0 )xk0этот предел называется частной производной функции f (по xk ) в точке P0и обозначается:∂f ( x10 ,K, xn0 )00или f x′k ( x1 ,K, x n )∂xk4.

Полный дифференциал функции f в точке P0 :ndf ( P) = ∑ f x′k ( P0 ) ⋅ ( x k − x k0 )k =15. Определенный интеграл.Пусть функция f (x ) определена и ограничена на отрезке [ a, b] . Разобьемэтот отрезок на "элементарные" отрезки введением n точек xi следующимобразом: a = x0 < x1 < x2 < K < xn −1 < x n = bОбозначим через dx длину элементарного отрезка dx = xi − xi −1 . Вкаждом элементарном отрезке выберем произвольное число ξ i ( xi −1 ≤ ξ i ≤ xi ) .Число σ =n∑ f (ξ i )( xi − xi−1 ) называется интегральной суммой.i =1Функция f (x ) называется интегрируемой на отрезке [ a, b] , еслисуществует число I со следующим свойством: для любого ε > 0 найдетсятакое δ (ε ) > 0 , что при любом разбиении на отрезки dx , для которого dx < δ ,выполняется неравенство σ − I < ε независимо от выбора ξ i .Число I называется определенным интегралом функцииотрезке [ a, b] и обозначается: I =f (x) наb∫a f ( x)dx .

Здесь x называется переменнойинтегрирования, a и b — соответственно нижним и верхним пределамиинтегрирования.6. Вектор.rГеометрический вектор a — это направленный отрезок в пространrrстве. Длина вектора a называется его модулем и обозначается: a = a .А.Н.Огурцов. Лекции по физике.3. СкоростьСкорость — это векторная величина, которая определяет как быстротудвижения, так и его направление в данный момент времени.rВектором средней скорости за интервал времени ∆tr ∆rr=υназывается отношение приращения ∆r радиуса-вектора точки к∆tпромежутку времени ∆trНаправление вектора средней скорости совпадает с направлением ∆r .Единица скорости — м/с.Мгновенная скорость — векторнаявеличина, равная первойrпроизводной по времени от радиуса-вектора r рассматриваемой точки:rr∆r dr r&r==rυ = lim∆t →0 ∆tdtВектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории всторону движения.

Модуль мгновенной скорости (скалярная величина) равенпервой производной пути по времени.r∆rr∆s dsυ = υ = lim= lim=∆t →0 ∆t∆t →0 ∆tdt(Отсюда: ds = υ dt .)При неравномерном движении модуль мгновенной∆sскорости с течением времени изменяется. Поэтому можноυ =∆tввести скалярную величину υ — среднюю скоростьнеравномерного движения (другое название — средняяt2путевая скорость).s=υ (t )d tДлина пути s , пройденного точкой за промежутокt1времени от t1 до t 2 , задается интегралом:При прямолинейном движении точки направление вектора скоростисохраняется неизменным.Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости неизменяется с течением времени (υ = const ) , для него∫s = υ ⋅ ∆tЕсли модуль скорости увеличивается с течением времени, то движениеназывается ускоренным, если же он убывает с течением времени, тодвижение называется замедленным.4.

Ускорение.Ускорение — это векторная величина, характеризующая быстротуизменения скорости по модулю и направлению.rСреднее ускорение в интервале времени ∆t — векторнаяr ∆υra=величина, равная отношению изменения скорости ∆υ к∆tинтервалу времени ∆t :Мгновенное ускорение материальной точки — векторная величина,равная первой производной по времени скорости рассматриваемой точки(второй производной по времени от радиуса-вектора этой же точки):rrrr∆υ dυ r& d 2 r &r&a = lim==υ = 2 = r∆t →0 ∆tdtdtЕдиница ускорения — м/с2.В общем случае плоского криволинейного движения вектор ускоренияr rra = a n + aτудобно представить в виде суммы двух проекций:Механика1–61–27Тангенциальное ускореrние aτ характеризует быстроту изменения скорости по модулю (рис.(А)), его величина:aτ =dυdtНормальное (центростремительное) ускорениеran направлено по нормали ктраектории к центру еекривизны O и характеризуетбыстроту изменения направления вектора скорости точки.

Величинанормального ускорения a n связана со скоростью υ движения по кругу иR (рис.(В)). Пусть υ1 = υ 2 = υ . Тогда для α → 0 :∆υ n = υ sin α ≈ υ ⋅ α , ∆s = υ ⋅ ∆t ≈ R ⋅ α ⇒ α ≈ (υ ⋅ ∆t ) R , отсюда:dυ∆υ n υ 2υ2υ2∆υ n ≈∆t ⇒=⇒ an = n =RRdtR∆tвеличиной радиусаa n2aτ2a=Величина полного ускорения (рис.(С)):+ .Виды движения:rrr1) aτ = 0, a n = 0 — прямолинейное равномерное движение: a = 0 .ran = 0 — прямолинейное равнопеременное (равноускоренное) движение. Если t 0 = 0 , то3) aτ = 0,a n = const =tυ = υ0 + a ⋅ t ;s = ∫ (υ 0 + at )dt = υ 0t +02υ— равномерное двиRm = E c 2 и, наоборот, со всякой массой связана энергия.

Покоящееся тело2обладает энергией: E 0 = m0 c , называемой энергией покоя.Полная энергия замкнутой системы сохраняется. Закон сохраненияэнергии — следствие однородности времени.− 1 . 1− β 2Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:E 2 = m 2 c 4 = m02 c 4 + p 2 c 22 2А.Н.Огурцов. Лекции по физике.2at 22222В случае, когда масса покоя частицы равна нулю, то E − c p = 0 .Следовательно, такая частица может обладать отличными от нуля энергией иимпульсом только в том случае, когда она движется со скоростью света.

Ктаким частицам относятся фотоны.Основной вывод теории относительности — пространство и времяорганически взаимосвязаны и образуют единую форму существованияматерии — пространство-время.жение по окружности.rr4) aτ ≠ 0, a n ≠ 0 — криволинейное равнопеременное движение.5. Кинематика вращательного движения.При описании вращательного движения удобнопользоваться полярными координатами R и ϕ ,где R — радиус — расстояние от полюса (центравращения) до материальной точки, а ϕ — полярныйугол (угол поворота).rЭлементарные повороты (обозначаются ∆ϕrили dϕ ) можно рассматривать как псевдовекторы.rУгловое перемещение dϕ — векторнаявеличина, модуль которой равен углу поворота, анаправление совпадает с направлением поступательного движения правого винта.12Кинетическая энергия: K = E − E 0 = mc 2r∆υ υ − υ 0 υ − υ 0;==t − t0t∆tE = mc =2Соотношение E = mcносит универсальный1− β 2характер, оно применимо ко всем формам энергии, т.е.можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она не была, связана массаВеличина E − p c = E0 является инвариантом системы.2) aτ = a = const ,aτ = a =Основной закон релятивистской динамики:r rrЗаконы классической динамики получаются из F = dp = d  m0υ законов релятивистской динамики в предельномdt dt  1 − β 2 случае υ << c (или c → ∞ ).

Т.о. классическаямеханика – это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (посравнению со скоростью света в вакууме).m0 c 2Полная энергия тела массы m :2ПРИЛОЖЕНИЕОсновные понятия математического аппарата физики1. Понятие производной функции.Функция f называется дифференцируемой в точке x0 , если существуетпредел разностного отношения функции f в точке x0lim ϕ ( x) = limx→ x0x → x0f ( x ) − f ( x0 )x − x0Этот предел называется производной функцииобозначается:f ′( x),df df ( x0 ),  ( x0 ),dx dx Механикаdf ( x0 ),dxfв точкеdfdxx = x0x0 и1–261–7эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются инеодновременными.Пусть в некоторой точке x в системе O происходит событиедлительностью τ = t 2 − t1 , то в системе O ′ длительность этого же событияτ ′ = t 2′ − t1′ =t 2 − υx / c 21− β2−t1 − υx / c 21− β2=t 2 − t11− β2=τ1− β 2>τТ.о. длительность события, происходящего в некоторой точке,наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой этаточка неподвижна.

Характеристики

Список файлов лекций