Методические указания (1082831), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . +(4.12)(4.13)Областью сходимости ряда (4.12) является внешность круга |z −z0 | > r. Областью сходимости ряда (4.13) является внутренностькруга |z − z0| < R.82Если r < R, то ряд (4.11) сходится в кольце r < |z − z0 | < R.Здесь r ≥ 0, 0 < R < +∞.Теорема 4.2. Функция f (z) однозначная и аналитическая вкольце r < |z−z0| < R (не исключаются случаи r = 0 и R = +∞)разлагается в этом кольце в ряд Лоранаf (z) =∞Pn=−∞∞P(4.14)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А−1Pcn (z − z0 )n ==n=−∞cn (z − z0)n +n=0cn (z − z0 )n ,где коэффициенты cn находятся по формуламcn =1 R f (z)dz2πi L (z − z0)n+1(n = o, ±1, ±2, . .
.)(4.15)Здесь L – произвольная окружность с центром в точке z0, лежащей внутри данного кольца.Определение 4.3. В формуле (4.11) ряд (4.12) называетсяглавной частью ряда Лорана, а ряд (4.13) – правильной частьюряда Лорана.На практике при нахождении коэффициентов cn стараются избежать применения формул (4.15), так как они приводят к громоздким вычислениям.Чаще используют готовые разложения в ряд Тейлора элементарных функций (4.4)–(4.10).4.3Примеры разложения функций в ряд Лорана.Пример 4.2.1Разложить в ряд Лорана функцию f (z) = (z − 3)4 cosвz−3окрестности точки z0 = 3.8311, получим f (t) = 4 cos t.z−3tИспользуя разложение (4.6), получимРешение: сделаем замену t =cosтогда1111=1−+−+ ...,z−32!(z − 3)2 4!(z − 3)4 6!(z − 3)6111+−+2!(z − 3)2 4!(z − 3)4 6!(z − 3)6(z − 3)2114+ .
. . = (z − 3) −+ −+ ...2!4! 6!(z − 3)2f (z) = (z − 3) 1 −КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А4Это разложение справедливо для любой точки z 6= 3. В данномслучае "кольцо" представляет с собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z = 3. Его можно определитьтак: 0 < |z −3| < +∞. Здесь r = 0, R = +∞. В указанной областиf (z) – аналитическая.Пример 4.3.Получить все разложения в ряд Лорана по степеням z функции2z + 3f (z) = 2.z + 3z + 2Решение: Приравняем знаменатель дроби к нулю z 2 + 3z + 2 =(z + 2)(z + 1) = 0, отсюда z1 = −2, z2 = −1. Изобразим накомплексной плоскости возможные области. Для этого проведемокружности с центром в z0 = 0 и радиусом равным расстоянию доближайшей особой точки. Имеем три "кольца" с центром в точкеz0 = 0, в каждом из которых f (z) является аналитической:1) круг |z| < 1,2) кольцо 1 < |z| < 2,3) 2 < |z| < +∞ – внешность круга |z| ≤ 2 (см.
рис. 17)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А84Рис.17Найдем ряды Лорана для функции f (z) в каждой из этих областей. Для этого представим f (z) в виде суммы элементарныхдробейf (z) =2z + 3AB11=+=+.z 2 + 3z + 2 z + 1 z + 2 z + 1 z + 2A и B нашли методом неопределенных коэффициентов.1) Рассмотрим круг |z| < 1.
Преобразуем f (z):f (z) =111+ ·.1 + z 2 1 + 2z(4.16)85КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АИспользуя формулу (4.9), получимz z2 z3123f (z) = (1 − z + z − z + . . .) + 1 − + 2 − 3 − . . . =22 223 359= − z + z2 − z3 + . . .2 248Это разложение является рядом Тейлора функции f (z), при этом1= 1 − z + z 2 − . . . сходится при |z| < 1, аряд для функции1+z1z z2 z3=1− +− + ...(4.17)1 + 2z248z сходится при < 1 или |z| < 2, т.е. внутри круга |z| < 1 оба2ряда сходятся.1оста2) Рассмотрим кольцо 1 < |z| < 2.
Ряд для функции1 + 2zется сходящимся в этом кольце, т.е. |z| < 2, а ряд для функции1расходится при |z| > 1. Поэтому преобразуем f (z) следую1+zщим образом1111+·.f (z) = ·(4.18)2 1 + 2z z 1 + z1Применяя формулу (4.9), получаем11+1z=1−111+ 2 − 3 + ...z zz(4.19)1 Этот ряд сходится для < 1, т.е. при |z| > 1. Подставляя (4.17),z(4.19) в (4.18), получаем 1z z2 z311111− + 2 − 3 + ...
+ 1− + 2 − 3 + ... =f (z) =22 22zz zz23z11111 z z+ ...+ − 2 + 3 − 4 + ...= − + −2 4816z zzz863) Рассмотрим |z| > 2. Ряд (4.17) для функции11+z2при |z| >1сходится, если |z| >1 + z12, то условие |z| > 1 выполняется. Представим f (z) в виде2 расходится, а ряд (4.19) для функции11·z 1+1z+11·.z 1 + 2zКаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аf (z) =Используя формулу (4.9), получим 11111248f (z) =1 − + 2 − 3 + ... + 1 − + 2 − 3 + ... =zz zzzz zz1359 2359=2− + 2 − 3 = − 2 + 3 − 3 +...zz zzz zzzТ.е. для разных областей ряд Лорана функции f (z) имеет разныйвид.Пример 4.4. Разложить в ряд Лорана функцию2z − 1в окрестности z0 = 1.f (z) = 2z +z−2Решение: найдем особые точки функции f (z) для этого приравняем знаменатель к нулю z 2 + z − 2 = 0, z1 = 1, z2 = −2, т.е.разложение необходимо осуществить в окрестности особой точкиz1 = 1, т.е.
в кольце 0 < |z − 1| < 3. Число 3 найдено, как расстояние между центром разложения z = 1 и ближайшей особойточкой z = −2 (см. рис. 18).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А87Рис.18Представим f (z) в виде суммы элементарных дробей2z − 1AB11=+=+.z2 + z − 2 z − 1 z + 2 z − 1 z + 2Введем новую переменную z − 1 = t, т.е. z = t + 1 и перепишем111111===··функцию. Используяz+2t+33 1 + 3t3 1 + z−13разложение (4.9), получимi11z − 1 (z − 1)2 (z − 1)31h1= ·+−+...= 1−z + 2 3 1 + z−1339273z − 1Область сходимости этого ряда < 1 или |z − 1| < 3. Таким3образом, разложение в ряд Лорана в кольце 0 < |z − 1| < 3 имеет88вид11 z − 1 (z − 1)2 (z − 1)32z − 1=+ −+−+. .
.f (z) = 2z +z−2 z−1 3927811Слагаемоеявляется степенью (z −1)−1 и поэтому не требуетz−1дальнейшего разложения.5.1КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АТема 5. Вычеты функцийНули аналитической функции.Определение 5.1. Точка z0 называется нулем n-го порядка аналитической функции f (z), еслиf (z0 ) = 0, f ′ (z0) = 0, . . . , f (n−1) (z0), f (n) (z0) 6= 0,(5.1)т.е. n – порядок первой не равной нулю производной.Если n = 1, то точка z0 называется простым нулем.Теорема 5.1. Точка z0 является нулем n-го порядка функции f (z) аналитической в точке z0 , тогда и только тогда, когдаимеет место равенствоf (z) = (z − z0 )n ϕ(z)(5.2)где ϕ(z) аналитична в точке z0 и ϕ(z0) 6= 0.Пример 5.1.Найти нули функции и определить их порядки f (z) = cos z −1.Решение: приравняем f (z) нулю, получим cos z = 1, откудаzn = 2πn (n = 0, ±1, .
. .) – нули данной функции.Найдемf ′ (z)z=zn = − sin z z=2πn = 0,f ′′ (z)= − cos z = −1 6= 0.z=znz=2πn89Согласно определению (5.1) zn = 2πn являются нулями второгопорядка.5.2КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АПример 5.2.Найти нули функции и определить их порядки f (z) = z 8 − 9z 7.Решение: приравняем f (z) нулю, получим z 7 (z − 9) = 0, z1 = 0,z2 = 9. Можно воспользоваться определением (5.1), однако проще использовать теорему 5.1. Функция f (z) представима в видеf (z) = z 7(z − 9), но тогда z = 0 является нулем порядка 7, функцией ϕ(z) является сомножитель ϕ(z) = z − 9, ϕ(0) = −2 6= 0,z = 9, является нулем порядка 1, функцией ϕ(z) в данном случаеявляется ϕ(z) = z 7, ϕ(9) = 97 6= 0.Изолированные особые точки.Определение 5.2. Точка z9 называется изолированной особойточкой функции f (z), если f (z) аналитична в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой точки z0.Определение 5.3.
Точка z0 называется устранимой особойточкой функции f (z), если существует конечный предел функции f (z) в точке z0lim f (z) = C.z→z0Пример 5.3.Найти особые точки функции f (z) и установить их тип1 − e3zf (z) =.zРешение: особая точка функции f (z) есть z0 = 0. Вычислим−3z1 − e3z 0 = 0 = lim= −3.limz→0 zz→0zт.е. z0 = 0 – устранимая особая точка.90Определение 5.4. Точка z0 называется полюсом функцииf (z), если lim f (z) = ∞.z→z0Теорема 5.2. Для того, чтобы точка z0 была полюсом функции f (z) необходимо и достаточно, чтобы эта точка была ну1.лем для функции ϕ(z) =f (z)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АОпределение 5.5.
Точка z0 называется полюсом порядка n(n ≥ 1) функции f (z), если эта точка является нулем порядка n1для функции ϕ(z) =. При n = 1 полюс называют простым.f (z)Теорема 5.3. Для того, чтобы точка z0 являлась полюсомпорядка n функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы функϕ(z), гдецию f (z) можно было представить в виде f (z) =(z − z0 )nϕ(z) – аналитична в точке z0 и ϕ(z0) 6= 0.Пример 5.4.Найти особые точки функции f (z) и установить их тип f (z) =2z + 1.z 4 − 2z 3z 4 − 2z 31=, так как z 4 −Решение: найдем нули функцииf (z)2z + 11имеет два нуля.
z1 = 0 – это2z 3 = z 3(z − 2), то функцияf (z)нуль третьего порядка согласно формуле (5.2), а z2 = 2 – нульϕ(z),первого порядка, поэтому f (z) можно представить в видеz32z + 11где ϕ(z) =, ϕ(0) = − 6= 0. Или f (z) можно представитьz−22Ψ(z)2z + 15в виде, где Ψ(z) =,Ψ(2)=6= 0. По теореме (5.3)z−2z38f (z) в точке z = 0 имеет полюс третьего порядка, в точке z = 2 –полюс первого порядка.91КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АТеорема 5.4.
Если функция f (z) представима в виде дробиP (z)и точка z0 является нулем порядка m для функцииf (z) =Q(z)P (z) и нулем порядка l для функции Q(z), то1. если m > l, то n = m − l есть порядок нуля функции f (z) вточке z0 ,2. если m < l, то n = l − m есть порядок полюса функции f (z) вточке z0 ,3. если m = l, то z0 устранимая особая точка.Пример 5.5.Найти особые точки функции f (z) и установить их тип f (z) =z−3e −1.(z − 3)2 z 4Решение: особыми точками функции f (z) являются z1 = 3 иz2 = 0.В точке z1 = 3 числитель и знаменатель f (z) обращаются внуль. Для числителя P (z) = ez−3 − 1 число z = 3 является нулем1 порядка, так как P ′ (z)z=3 = ez−3 z=3 = 1, то по определению5.1 z = 3 – нуль 1-го порядка, т.е. в теореме 5.4 m = 1.Знаменатель Q(z) = (z − 3)2 z 4 по теореме 5.1 в точке z = 3имеет нуль 2-го порядка, т.е.
l = 2. Следовательно по теореме 5.4l − m = 1 – порядок полюса функции f (z).ϕ(z)В точке z = 0 перепишем функцию в виде f (z) =, гдеz4ez−3 − 1e−3 − 1ϕ(z) =, ϕ(0) =, т.е. по теореме 5.3 z = 0 – полюс(z − 3)294-го порядка. Окончательно z = 3 – полюс первого порядка, z = 0– полюс 4-го порядка.Определение 5.6. Точка z0 называется существенно особойточкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела f (z): ∄ lim f (z).z→z0925.3Классификация изолированных особых точек по виду главной части ряда Лорана.Теорема 5.5. Точка z0 является устранимой особой точкой, если в лорановом разложении f (z) в окрестности точки z0отсутствует главная часть, т.е.f (z) =∞P(5.3)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аn=0cn (z − z0 )n .Теорема 5.6.
Точка z0 является полюсом функции f (z), еслиглавная часть лорановского разложения f (z) в окрестности z0содержит конечное число слагаемых, т.е.∞Pc−nc−1f (z) =ck (z − z0 )k+ ...++n(z − z0)z − z0 k=0(c−n 6= 0)наибольший из показателей степеней у разностей (z − z0 ),содержащихся в знаменателях членов главной части ряда Лорана, равен порядку полюса.Теорема 5.7. Точка z0 является существенно особой точкойдля функции f (z), если главная часть лоранового разложенияf (z) в окрестности z0 содержит бесконечно много членов.В следующих примерах найти все особые точки данных функций и установить их тип.Пример 5.6.sin 3zf (z) =.zРешение: найдем особую точку f (z): z0 = 0, в этой точке функция не определена. Используя разложение в ряд Тейлора дляфункции sin z (4.5) в окрестности точки z0 = 0, получим лора-93новское разложение функции f (z) в окрестности нуляi2n+11h(3z)3n (3z)f (z) = (3z) −+ (−1)+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
