Методические указания (1082831), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Изучение мате-33риала этого Приложения необходимо для успешного выполненияконтрольных работ, типового расчета и полезно при подготовке кэкзамену (зачету).Тема № 1. Комплексные числа и действия над ними“.”1.1. Алгебраическая форма комплексного числа.1.2. Геометрическое представление комплексного числа.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А1.3. Действия над комплексными числами (сложения, вычитания,умножения и деления).1.4. Тригонометрическая форма комплексного числа.1.5.
Действия над комплексными числами, заданными втригонометрической форме.1.6. Показательная форма записи комплексного числа.1.7. Изображение множеств на комплексной плоскости.Тема № 2. Функции комплексного переменного“.”2.1. Определение функции комплексного переменного.2.2. Элементарные функции комплексного переменного.2.3. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.2.4. Связь аналитических и гармонических функций.2.5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.Примеры конформных отображений.Тема № 3. Интегрирование функций комплексного переменно”го“.3.1. Интеграл от функции комплексного переменного и его свойства.343.2.
Теорема Коши. Интегральная формула Коши.Тема № 4. Ряды Тейлора и Лорана“.”4.1. Ряд Тейлора. Коэффициенты ряда. Разложение функции,аналитической в круге, в степенной ряд.4.2. Ряд Лорана, его область сходимости.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А4.3. Примеры разложения функций в ряд Лорана.Тема № 5. Вычеты функций“.”5.1. Нули функции.5.2. Изолированные особые точки.5.3.
Классификация изолированных особых точек по виду главной части ряда Лорана.5.4. Вычеты функций.Тема № 6. Основная теорема о вычетах. Приложения выче”тов“.6.1. Основная теорема о вычетах.6.2. Вычет функции в бесконечно удаленной точке.6.3. Вычисление несобственных интегралов.6.4. Теорема Руше.6.5. Приложение вычетов к вычислению преобразования Лапласа.6.6. Вычисление интегралов Эйлера (Гамма-функция и Бета-функция).35Тема 1. Комплексные числа и действия над ними1.1Алгебраическая форма комплексного числа.Определение 1.1. Комплексным числом z называется выражение видаz = x + iy,(1.1)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Агде x и y – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая условием i2 = −1.Числа x и y называются соответственно действительнойи мнимой частями комплексного числа z и обозначаются x =Re z, y = Im z.Представление комплексного числа z по формуле (1.1) называется алгебраической формой комплексного числа.Комплексное число z = x − iy называется сопряженным комплексному числу z = x + iy.Определение 1.2.
Комплексные числа z1 = x1 + iy1 и z2 =x2 +iy2 считаются равными тогда и только тогда, когда x1 = x2,y1 = y2 .Пример 1.1.Решить уравнение (3 + 2i)x + (2 − i)y = −1 + 4i.Решение: Выделим в левой части уравнения действительную имнимую части:(3x + 2y) + (2x − y)i = −1 + 4i.Из определения равенства двух комплексных чисел получаем3x + 2y = −12x − y = 4.Решая эту систему, находим x = 1, y = −2.361.2Геометрическое представление комплексного числа.Комплексное число z = x + iy изображается на плоскости xOyточкой M с координатами (x, y), либо вектором, начало которогонаходится в точке O(0, 0), а конец в точке M (x, y) (см.
рис.1).yКаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АMryϕxOxРис.1Если y = 0, то z = x + i · 0 = x, то есть получаем обычноевещественное, расположенное на оси ОХ, число.Если x = 0, то z = iy. Такие числа называются чисто мнимыми.Они изображаются точками на оси OY.Определение 1.3. Длина вектора z (OM) называется модулем комплексного числа и обозначаетсяp(1.2)|z| = r = x2 + y 2 .37−−→Определение 1.4. Угол ϕ, образованный вектором OM сосью Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается ϕ = Arg z; определяется с точностью до слагаемого2πk (k = 0, ±1, . .
.):Arg z = arg z + 2πk,(k = 0, ±1, ±2, . . .)(1.3)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Агде arg z есть главное значение Arg z, определяемое условиями−π < arg z ≤ π.В зависимости от положения точки на комплексной плоскостиyесли z в I или IV четверти,arctg ,x y π + arctg , если z во II четверти,xy −π + arctg , если z в III четверти,xarg z = 0,(1.4)если x > 0, y = 0, π,если x < 0, y = 0, πесли x = 0, y > 0, , 2π− ,если x = 0, y < 0.2Пример 1.2.√Найти модуль и аргумент комплексного числа z = −1 + 3 i.Решение: модуль комплексного числа вычислим по формуле(1.2)q√√|z| = r = | − 1 + 3 i| = (−1)2 + ( 3)2 = 2Для нахождения аргумента определимположение числа на ком√плексной плоскости: z = −1 + 3 i лежит во II четверти.
Используя формулу (1.4) найдем (см. рис.2) √3 √yarg z = π + arctg = π + arctg= π − arctg 3 =x−1π2π=π− =.3338y√−1 + i 3КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А√3O−1xРис.2Т.е. по формуле (1.3)Arg z =2π+ 2πk (k = 0, ±1, ±2, . . .)3Пример 1.3.Найти модуль и аргумент комплексного числа z = −5i.Решение: число z = −5i находится на мнимой оси:x = 0, y = −5 < 0.pМодуль z по формуле (1.2) |z| = 02 + (−5)2 = 5.πarg z = − из (1.4),2πт.е. Arg z = − + 2πk (k = 0, ±1, ±2, . . .).21.3Действия над комплексными числами (сложение,вычитание, умножение и деление).Пусть даны два комплексных числа z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .39Определение 1.5. Суммой z1 + z2 комплексных чисел z1 и z2называется комплексное числоz1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2 ).Определение 1.6. Разностью z1 − z2 комплексных чисел z1 иz2 называется комплексное числоКаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аz1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ).Определение 1.7.
Произведением z1 z2 комплексных чисел z1и z2 называется комплексное числоz1 z2 = (x1x2 − y1 y2 ) + i(x1y2 + x2 y1 ).Заметим, что выражение справа получается умножением скобок(x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ).z1от деления комплексногоz2числа z1 на комплексное число z2 6= 0 называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению zz2 = z1.Для частного имеет место формулаОпределение 1.8. Частнымz1 z 2x2 y1 − x1 y2x1 x2 + y1 y2z1=+i.=z2|z2 |2x22 + y22x22 + y22Пример 1.4.Вычислить (3 − i)(2 + 5i).Решение: раскрывая скобки и учитывая i2 = −1, получим(3 − i)(2 + 5i) = 6 + 15i − 2i − 5i2 = 6 + 5 + 13i = 11 + 13i.Пример 1.5.Вычислить−2 − 3i.1 + 4i40Решение: умножим числитель и знаменатель дроби на число,сопряженное знаменателю 1 − 4i.−2 − 3i 1 − 4i −2 − 12 − 3i + 8i −14 + 5i145·=== − + i.1 + 4i 1 − 4i1 + 161717 171.4КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АПример 1.6.Вычислить i27 .Решение: так какi1 = i,i5 = ii2 = −1,i6 = −1i3 = −i,i7 = −ii4 = 1,i8 = 1и т.д., то i27 = (i4)6 · i3 = 1 · (−i) = −i.Тригонометрическая форма комплексного числа.Любое комплексное число z = x + iy (z 6= 0) можно записать втригонометрической форме (см.
рис.1)z = r(cos ϕ + i sin ϕ),(1.5)где r = |z|, ϕ = Arg z.Пример 1.7.√Записать в тригонометрической форме z = − 3 − i.Решение: модуль z найдем по формуле (1.2)q √|z| = r = (− 3)2 + (−1)2 = 2.Для нахождения аргумента определим положение z на комплексной плоскости: z лежит в III четверти (см. рис.3), тогда по (1.4)arg z = −π + arctg−11π5π√ = −π + arctg √ = −π + = − .66− 33КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А41Рис.35π+ 2πk (k = 0, ±1, ±2, .
. .). Подставляя6значения модуля и аргумента в формулу (1.5), получимh 5π 5πi√z = − 3 − i = 2 cos −+ 2πk + i sin −+ 2πk =66 5π ih 5π + i sin −.= 2 cos −66Тогда ϕ = Arg z = −1.5Действия над комплексными числами, заданными втригонометрической форме.Пусть комплексные числа z1 и z2 даны в тригонометрической форме z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ).1. Произведение z1 z2 комплексных чисел z1 и z2 находится поформулеz1 z2 = r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) ,(1.6)т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются|z1z2 | = |z1 ||z2 |,Arg(z1z2 ) = Arg z1 + Arg z2 .422. Частное двух комплексных чисел z1 и z2 6= 0 находится поформулеr1 z1=cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ) ,z2r2 z |z |z1 11, Arg = Arg z1 − Arg z2. =z2|z2 |z2(1.7)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А3.
Возведение комплексного числа z = r(cos ϕ + i sin ϕ) в натуральную степень n производится по формуле(1.8)z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ),т.е.|z n | = |z|n ,Arg z n = n Arg z + 2πk (k = 0, ±1, ±2, . . .)Из (1.8) получается формула Муавра(1.9)(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.Часто формулу (1.8) также называют формулой Муавра.4.
Корень n-й степени из комплексного числа z 6= 0 имеет nразличных значений, которые находятся по формуле√√ϕ + 2πkϕ + 2πk nnz = r cos+ i sin,nnгде ϕ = arg z,k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.Пример 1.8.Вычислить (2 − 2i)10 .(1.10)43КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АРешение: представим число z = 2 − 2i в тригонометрической π i π√ hформе: 2 − 2i = 2 2 cos −+ i sin −.44Применяя формулу (1.8), получим 10π 10π i√ 10 h10(2 − 2i) = (2 2) cos −+ i sin −=445π5π 15= 2 cos− i sin= −215 · i.22Пример 1.9.√Вычислить 4 −16.Решение: представим число −16 в тригонометрической форме.Число лежит на действительной оси: x < 0, y = 0.pИз (1.2) | − 16| = (−16)2 + 02 = 16, из (1.4) ϕ = π.По формуле (1.10)√√π + 2πkπ + 2πk 44−16 = 16 cos+ i sin=44π + 2πk π + 2πk+ i sin, k = 0, 1, 2, 3.= 2 cos44Полагая последовательно k = 0, 1, 2, 3, выпишем все корниππk = 0 z0 = 2 cos + i sin,443π3π k = 1 z1 = 2 cos+ i sin,445π 5π+ i sin,k = 2 z2 = 2 cos447π 7π+ i sin.k = 3 z3 = 2 cos44КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А44Рис.4На плоскости корни располагаются на окружности радиуса 2в вершинах правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (см.
рис.4)Пример 1.10.Решить уравнение z 4 − 2z 2 + 4 = 0 . Корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.Решение: обозначим t = z 2. Тогда уравнение примет вид√√t2 − 2t + 4 = 0. Корни этого уравнения t1 = 1 + 3 i, t2 = 1 − 3 i,45√t1 , z3,4 = t2 .p√Пусть z = 1 + 3 i. Представим в тригонометрической фор√√ππме 1 + 3 i = 2 cos + i sin. Число 1 + 3 i находится в I33четверти, из (1.2), (1.4) найдем модуль и аргумент:q√√√π2|1 + 3 i| = 1 + ( 3) = 2, arg(1 + 3 i) = .3ππp√√ 3 + 2πk3 + 2πkz1,2 = 1 + 3 i = 2 cos+ i sin, k = 0, 1,22т.е.√КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аоткуда z1,2 =√ ππz1 = 2 cos + i sin, k = 0,66(1.11)√ 7π7π + i sin, k = 1.z2 = 2 cos66p√Пусть z = 1 − 3 i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
