Методические указания (1082831), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциямиsin z = −i sh iz, cos z = ch iz, tg z = −i th iz,ctg z = i cth iz, sh z = −i sin iz, ch z = cos iz,th z = −i tg iz, cth z = i ctg iz.(2.4)576. Логарифмическая функция Ln z, где z 6= 0, определяетсякак функция, обратная показательной, причемLn z = ln |z| + i Arg z = ln |z| + i(arg z + 2πk),k = 0, ±1, ±2, .
. .(2.5)Функция w = Ln z является многозначной.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АОпределение 2.8. Главным значением Ln z называется значение, получаемое при k = 0ln z = ln |z| + i arg z.(2.6)Тогда (2.5) перепишется в виде: Ln z = ln z + 2πkiСвойства: w = Ln z:a) Ln(z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2,z 1b) Ln= Ln z1 − Ln z2.z27. Общая показательная функция определяется равенствомaz = ez Ln a ,(2.7)a – любое комплексное число, a 6= 0.8. Общая степенная функция w = z α, где α – любое комплексное число, z 6= 0z α = eα Ln z .(2.8)Пример 2.3.Вычислить Ln(−1).Из формулы (2.5)Ln(−1) = ln | − 1| + i arg(−1) + 2πk = i(π + 2πk) == (2k + 1)πi, k = 0, ±1, ±2, .
. .58КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АПример 2.4.Вычислить sin(3 − i).Используя формулы (2.2) перепишем sin(3 − i), т.к.eiz − e−izsin z =, то2ii 1+3i1 i(3−i)−i(3−i)−1−3i=− e=e−e−esin(3 − i) =2i2i= − e(cos 3 + i sin 3) − e−1 (cos 3 − i sin 3) =2h e − e−1 e + e−1 i= −i cos 3+ i sin 3=22= sin 3 ch 1 − i cos 3 sh 1.Пример 2.5.Вычислить i2i .Положим a = i, z = 2i и воспользуемся формулой (2.7)i2i = e2i Ln i .Вычислим отдельно Ln i. Используя формулу (2.5), получим:πLn i = ln |i| + i arg i + 2πk = i+ 2πk ,2√π|i| = 0 + 12 = 1, ln |i| = ln 1 = 0, arg i = ,22i2i·i( π2 +2πk)−π−4πki =e=e, k = 0, ±1, ±2, .
. .Пример 2.6. Решить уравнение sin z = 3, корни уравненияизобразить на комплексной плоскости .Используя формулу (2.2), уравнение можно переписать в видеeiz − e−iz=32iили e2iz − 6ieiz − 1 = 0 – это квадратное уравнение относительноeiz . Его корни√√eiz = 3i ± 2 2 i = i(3 ± 2 2)59Прологарифмируем полученное равенство√ √ iz = Ln i(3 ± 2 2) = ln i(3 ± 2 2)+√ +i arg i(3 ± 2 2) + 2πk , k = 0, ±1, ±2, . . .(2.9)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А√ π√ √Вычислим i(3±2 2) = 3±2 2, arg i(3±2 2) = и подставим2в (2.9), получим√πiz = ln(3 ± 2 2) + i + 2πk ,2отсюда вычислимz=√√1ππln(3 ± 2 2) + + 2πk = + 2πk − i ln(3 ± 2 2).i22Получили две серии корней√πz1 = + 2πk − i ln(3 + 2 2),2z2 =√π+ 2πk − i ln(3 − 2 2).2Преобразуем z2 .√− ln(3 − 2 2).
= lnпоэтому√1√ = ln(3 + 2 2),3−2 2√π+ 2πk + i ln(3 + 2 2).2Корни находятся на двух прямых,√параллельных оси Ox и отстоящих от нее на расстояние ln(3 + 2).На рис.11 корни отмечены ” × ”.z2 =Рис.11602.3Предел и непрерывность функции комплексногопеременного.Определение 2.9. Число A называется пределом функции f (z)в точке z0, если для любого числа ε > 0 можно указать такоечисло δ = δ(ε) > 0, что для всех точек z, удовлетворяющихусловию 0 < |z − z0| < δ выполняется неравенство |f (z) − A| < ε.В этом случае пишут lim f (z) = A ⇔ ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀ z :z→z0КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А0 < |z − z0| < δ ⇒ |f (z) − A| < ε. z0 и A – конечные точкикомплексной плоскости.Определение 2.10.
Функция f (z), заданная в области D, называется непрерывной в точке z0 ∈ D, если lim f (z) = f (z0).z→z0Теорема 2.1. Для того, чтобы функция комплексной переменной f (z) = u(x, y) + iv(x, y) была непрерывна в точке z0 =x0 + iy0 , необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) иv(x, y) были непрерывны в точке M0 (x0 , y0 ) по совокупности переменныхx и y.Пример 2.7.z 2 + iz + 2Вычислить предел функции lim.z→−2iz + 2iРешение: Непосредственная подстановка в числитель и знаменатель предельного значения аргумента z= −2i обращает их в0.
Разложим числинуль и приводит к неопределенности вида0тель и знаменатель на множители, выделяя множитель (z + 2i):z 2 + iz + 2(z + 2i)(z − i)lim= lim= lim (z − i) = −3i.z→−2iz→−2iz→−2iz + 2iz + 2i612.4Дифференцирование функций комплексногопеременного. Условия Коши-Римана.Пусть w = f (z) определена в некоторой области D комплексногопеременного z. Пусть точки z и z + ∆z принадлежат области D.Обозначим∆w = f (z + ∆z) − f (z),∆z = ∆x + i∆y.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АОпределение 2.11. Функция w = f (z) называется дифферен∆wцируемой в точке z ∈ D, если отношениеимеет конечный∆zпредел при ∆z, стремящемся к нулю. Этот предел называетсяпроизводной функции f (z) в данной точке z и обозначается f ′ (z)или w ′ , т.е.∆w(2.10)w ′ = f ′ (z) = lim.∆z→0 ∆zОпределение 2.12. Функция f (z) называется аналитической в точке z0, если она дифференцируема в самой точке z0 и внекоторой окрестности этой точки.Теорема 2.2.
Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была дифференцируемой в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y), v(x, y) были дифференцируемы в точке (x, y) и чтобы в этой точке имели месторавенства∂u ∂v∂u∂v=,=− ,(2.11)∂x ∂y∂y∂xназываемые условиями Коши-Римана. При этом формулы дляпроизводной функции f ′ (z) имеют вид:f ′ (z) =∂v∂v∂v∂u∂u ∂v∂u∂u+i=+i=−i=−i .∂x∂x ∂y∂x ∂x∂y∂y∂y(2.12)62В следующих примерах установить аналитичность функции.Пример 2.8.f (z) = z 2.Решение: выделим действительную и мнимую части функции,подставив вместо z = x + iy:т.е.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аf (z) = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi,Re f (z) = u(x, y) = x2 − y 2 ,Im f (z) = v(x, y) = 2xy.Функции u(x, y), v(x, y) – дифференцируемы во всех точках (x, y).Проверим выполнение условий Коши-Римана (2.11):∂u= 2x,∂x∂v= 2x,∂y∂u= −2y,∂y∂v= 2y.∂xУсловия (2.11) выполнены, т.е.
выполнены условия теоремы (2.11),следовательно f (z) = z 2 – аналитична во всей комплексной плоскости.Пример 2.9.f (z) = 3z + 2.Решение: выделим действительную и мнимую части функции,подставим вместо z = x − iyf (z) = 3(x − iy) + 2 = (3x + 2) − 3yi,т.е.Re f (z) = u(x, y) = 3x + 2,Im f (z) = v(x, y) = −3y.Функции u(x, y), v(x, y) – дифференцируемы во всех точках (x, y),проверим выполнение условий Коши-Римана (2.11)∂u= 3,∂x∂v= −3,∂y∂u= 0,∂y∂v= 0,∂x63∂u∂v6=, т.е. первое условие Коши-Римана не выпол∂x∂yнено ни в одной точке комплексной плоскости. Значит функцияw(z) = 3z + 2 нигде не дифференцируема, а следовательно и неаналитическая.Обычные правила дифференцирования функций действительного переменного остаются справедливыми для функций комплексного переменного.
Если f1 (z), f2 (z) – аналитическая в области D, то1) f1 (z) ± f2 (z), f1 (z) · f2 (z) – также аналитические в области D,f1 (z)2)– аналитична во всех точках области D, где f2 (z) 6= 0.f2 (z)При этом имеют место формулы′f1 (z) ± f2 (z) = f1′ (z) ± f2′ (z),h f (z) i′ f ′ (z)f (z) − f ′ (z)f (z)′1212′c f1 (z) = c f1 (z),= 1,2f2 (z)f2 (z)′f1 (z) · f2 (z) = f1′ (z)f2 (z) + f1 (z)f2′ (z).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Атак чтоСправедлива также таблица производных:′′(z n) = nz n−1(cos z) = − sin z′′(ez ) = ez(sin z) = cos z′′(Lnz) = z1(tg z) = cos12 z′′(ch z) = sh z(ctg z) = − sin12 z′(sh z) = ch z2.5Связь аналитических и гармонических функций.Определение 2.13.
Функция ψ(x, y) называется гармоническойв области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа∂ 2ψ ∂ 2ψ+ 2 = 0.∂x2∂y(2.13)64Теорема 2.3. Если функция f (z) = u + iv аналитична в некоторой области D, то ее действительная часть u(x, y) и мнимаячасть v(x, y) являются гармоническими в этой области функциями, т.е. u(x, y), v(x, y) удовлетворяют уравнению Лапласа:∂ 2u ∂ 2u+= 0,∂x2 ∂y 2∂ 2v ∂ 2v+= 0.∂x2 ∂y 2(2.14)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АОпределение 2.14.
Две гармонические функции, связанныеусловиями Коши-Римана называются сопряженными.Пример 2.10.Показать, что функция u(x, y) = x2 − y 2 + x является гармонической. Восстановить аналитическую функцию f (z) по действительной части u(x, y) и условию f (0) = 2.Решение: найдем частные производные функции u(x, y):∂u= 2x + 1,∂x∂ 2u= 2,∂x2∂u= −2y,∂y∂ 2u= −2.∂y 2∂ 2u ∂ 2uСложим+= 2 − 2 = 0, т.е.
u(x, y) удовлетворяет уравне∂x2 ∂y 2нию Лапласа и является гармонической.Функция u(x, y) = x2 − y 2 + x и искомая функция v(x, y) должны удовлетворять условиям Коши-Римана∂u= 2x + 1,∂xно из (2.11)∂u ∂v== 2x + 1.∂x ∂yИнтегрируем последнее уравнение по y ( считая x постоянной),получаемRv(x, y) = (2x + 1)dy + c(x) = (2x + 1)y + c(x).(2.15)65Из второго условия Коши-Римана∂v∂u=−= 2y.∂x∂y(2.16)∂v∂vиспользуя (2.15).= 2y + c′ (x) и приравняем оба∂x∂x′выражения 2y + c (x) = 2y, т.е. c′ (x) = 0.
Отсюда находим c(x) =c1 , где c1 постоянная, т.е. v(x, y) = (2x + 1)y + c1 . Следовательно,22f (x + iy) = x − y + x + i (2x + 1)y + c1 .КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АВычислимДля того, чтобы записать функцию f (z) можно взять y = 0, x =z, тогда f (z) = z 2 + z + ic1 . Для нахождения c1 воспользуемсяусловием f (0) = 2, 2 = ic1 , т.е. c1 = −2i, окончательно f (z) =z 2 + z + 2.2.6Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Примеры конформных отображений.Рассмотрим функцию w = f (z) – аналитическую в точке z0 иf ′ (z0) 6= 0. Тогда |f ′ (z0)| равен коэффициенту растяжения в точкеz0 при отображении w = f (z) плоскости z на плоскость w:при |f ′ (z0 )| > 1 имеет место растяжение,при |f ′ (z0 )| < 1 имеет место сжатие.Аргумент производной f ′ (z0) геометрически равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к любой гладкойкривой на плоскости z, проходящей через точку z0, чтобы получить направление касательной в точке w0 = f (z0) к образу этойкривой на плоскости w при отображении w = f (z).Если ϕ = arg f (z) > 0, то поворот происходит против часовойстрелки, если ϕ = arg f (z) < 0 – по часовой.Определение 2.15.
Отображение окрестности точки z0 наокрестность точки w0 , осуществляемое функцией w = f (z),f ′ (z0) 6= 0, называется конформным в точке z0, если в точкеz0 оно обладает свойством сохранения углов между линиями ипостоянством растяжений.66Свойство сохранения углов означает: если при отображенииw = f (z) кривые γ1 и γ2 переходят соответственно в кривые Γ1 иΓ2 , то угол ϕ между касательными k1 и k2 к кривым γ1 и γ2 в точкеz0 будет равен углу Φ между соответствующими касательными K1и K2 к кривым Γ1 и Γ2 в точке w0 , т.е. Φ = ϕ (см. рис. 12).yk2КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аγ2k1ϕγ1z0xOvw0K2Φ=ϕuOK1Γ1Γ2Рис.12Свойство постоянства растяжений: при отображении, осущест-67КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Авляемым аналитической функцией, f ′ (z0) 6= 0 "малые элементы"вточке z0 преобразуются подобным образом с коэффициентом k =|f ′ (z0)|.Рассмотрим примеры конформных отображений, осуществляемые линейной функцией w = az + b и степенной w = z n .1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
