Методические указания (1082831), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Принцип аргумента. Теорема Руше.31. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность по параметру.32. Интегралы, зависящие от параметра. Интегрирование идифференцирование по параметру.33. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Определение равномерной сходимости. Признаки равномерной сходимости.34. Равномерная непрерывность несобственного интеграла по параметру. Примеры.1035. Интегрирование несобственного интеграла по параметру. Примеры.36. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру. Примеры.37. Гамма-функция и ее свойства: формула понижения, связь сфакториалом, формула дополнения.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А38.

Аналитическое продолжение гамма-функции в комплекснойплоскости. Ее значения на отрицательной полуоси. СвойстваΓ(z)39. Бета-Функция. Ее связь с гамма-функцией. Применение к вычислению интегралов.40. Определение преобразования Лапласа. Его аналитичность.41. Определение преобразования Лапласа. Его обращение с помощью вычетов.42. Степенные ряды. Теорема Абеля.43. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости.44. Свойства степенных рядов. Сформулировать условия непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости степенного ряда в заданной области.45. Преобразование Фурье функции, заданных на прямой, и егосвойства.46. Тригонометрические ряды Фурье: вещественная и комплексная формы записи, ряды Фурье для четных и нечетных функций, разложение функций на полупериоде в ряды по синусами косинусам.47.

Тригонометрические ряды Фурье: признаки сходимости иравномерной сходимости, теоремы единственности.1148. Свойства коэффициентов ряда Фурье.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973.2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А3. Сборник задач по математике для втузов.

Специальные разделы математического анализа./ Под редакцией А.В. Ефимова и Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1981.4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В.,Заляпин В.И. Высшая математика. Т. 4. – М. 2004.5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. –М., Айрис Пресс, 2004.3Основные типы задач по курсу математического анализа(теория функций комплексной переменной)Задача №1.Изобразить на комплексной плоскости область, заданную неравенством или системой неравенств.№13№1 < |z − 2| < 3 |z + i| < 1 Re z < 0242 < |z + 4 − 3i| < 3 0 < Re z < 3 −3 < Im z < 012 1 < z · z̄ < 45711131517192123(z − 1)(z̄ − 1) < 1810z · z̄ < 9 0 < arg z < π3z + i>1z+1z 4Re<z̄5КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А9Imz̄ < 0z − 2<1z+26 π < arg(z − 1) < 3π44 z̄ 4Im>z512|z| > 1 + Im z1 1Im<z214|z| < 2Re z1Re>1z̄16|z| < Re(1 + z)Re(z 2 ) < 118Re(z 2 − z̄) < 020Im z̄ 2 > 2Im(z 2 + 2i) > 0z 2 + z̄ 2 > 222Im(z 2 − 2z̄) > 2|z − 2| < |1 − z̄|24|z + 2| > |z̄ − i|11 111 111< Re+ Im<< Re− Im<25264z̄z26z̄z̄42729|z − 1| + |z + 1| < 8i − z π<0 < argi+z2Задача №2.28304 < |z − i| + |z + i| < 8z − 1π< arg<π2z+113Представить данное комплексное число в алгебраической,тригонометрической и показательной форме.№№1(2 − 2i)73(−1 + i)(−3 +√(− 3 − 3i)32√ 43 i)(1 + i3 )(2 − 25 i)10√√ 13i (− 2 − 6 i) 1 − i 8КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А√ 11− i (2 − 2 3 i)45791113157√793 − i 1 + i17 1 − i5 21√3+i −1 + i15 15√3−√ 3√− i 7 10( 5 + 15 i )√3 4√( 3 +√3i ) 3 6( 17 − 51 i )(20i8 + 3i18 )4−68101214111+i −1 + √4 i 161 +√i3(1 + 3 i)6(1 + i)2(7i4 + 5i10 )10(−7i2 − 7i3 )2Задача №3.Решить уравнения.

Корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.№12z 3 − 27 = 0z 3 − 8i = 03z 4 + 16 = 04z 6 + 16z 3 + 64 = 01456788z + 1 + i 2=01−i2+i=0z6 + i1 − 2iz4 − z2 + 1 = 0z 4 + 8iz 2 − 16 = 0z 4 + 2z 2 + 4 = 0√√10 z 4 − 2(1 + 3 i)z 2 − 2(1 − 3 i) = 0√11z 6 + 8 2 (1 − i)z 3 − 64i = 0КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А912z 6 + 12iz 4 − 48z 2 − 64i = 013z 3 + 3z 2 + 3z + 9 = 014z 3 − 6iz 2 − 12z + 8i + 1 = 0Задача №4.Решить уравнение. Корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.№1№ez + 3i = 0√2 ez + 5 2 − 7 = 03 e2z + 3ez − 4 = 04sin z = 25cos z = −36sh z = −57ch z = 68sin z = −3i9cos z = 2i10sh z = −4i11tg z = −2i12th z = 31513 sin z + cos z = 2 14 sin z − cos z = 315 2 ch z + sh z − 4КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АЗадача №5.

Вычислить все значения заданного выражения иизобразить эти значения на комплексной плоскости.№№№1i12(−1)4ii5(−2)√2√3310i63−i 1 + i 3i√−√78 (−2) 2 9 (−4)i2 √3 − i i√1011 (−3) 2 12 (−5)−i2 −1 − i 2i√−√1314 (−3) 5 15 (−2)π i2Задача №6.а) Проверить, является ли функция f (z) аналитичной, используя условия Коши-Римана.№№21f (z) = ie3z−i2f (z) = z 2 + 5z − 7i3f (z) = cos(iz − 1)45f (z) = sh 2z + i67f (z) = (iz)2 + 5z + 3i8f (z) = cos(iz − 1)if (z) = + z 2zf (z) = |z|z + i169f (z) = ie(iz−1)10f (z) = sin(zi + 2)11f (z) = ch 3z − i12f (z) = zz + z 2 + 413f (z) = 3z 2 − 4z + 2i14f (z) = sh iz + Re z15f (z) = ie5z + z1617f (z) = iz · Re 5z18f (z) = i|z| − z 2(z + 2) · Im 3z20f (z) = ze−3z − i242627f (z) = cos iz − ch z2829f (z) = −iz 3 + 2i3031f (z) = ln |z| + i arg z32f (z) = zez + iz 2КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аf (z) = i ch izf (z) = cos i(z + i)Re 2zf (z) =zf (z) = cos(z + i)4f (z) = − Im zzf (z) = (2z + 5i)Re zzf (z) =i|z|f (z) = iez + (z + i)219212325f (z) = i(z + i)2 − 4z2233 f (z) = 3(z + i)2 + z − 2 34 f (z) = (z − 2i)2 + 2z + 3б) Показать, что заданные функции являются гармоническими.Восстановить аналитическую функцию f (z) по ее действительнойчасти u(x, y) или мнимой ν(x, y) и значению f (z0 ).№1u = sin 3x ch 3yf (0) = 02ν = sin(2 − x) sh yy xu = cos ch2 2ν = x2 − y 2 + 2xf (2) = 1345u = e2x cos(2y + 1)f (0) = 1f (i) = 2i − 1 if −=12176ν = cos 4x ch 4yf (0) = 17ν = sin(y − 2) sh xf (2i) = 189КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А10ν = − cos 2x sh 2yf (0) = 0x1, z 6= 0u= 2f(π)=x + y2πν = e−y sin x + yf (0) = 1e2x + 1u=f (0) = 2cos yexu = sin x ch(y − 2)f (2i) = 01e4y − 1ν = − sin 2xf (0) = 12e2yν = sin y ch(x − 3)f (3) = 0y u = arctgf (1) = 0, z =6 0xi2xν = e sin(2y + 1)f=12ν = x2 − y 2 + xf (i) = −1111213141516171819ν = cos x sh(y + 3)ν = 10xy − 6y20 ν = sin 2y ch(2x − 1)f (−3i) = 01f= −151f=02f (0) = i23ν = e2y cos 2x + yxyu = cos ch33ν = sin(2y + 3) sh 2xf (0) = cos 324u = sin y ch xf (0) = 0212225 ν = − e2y sin 2x + x26u = cos x ch(y − 3)f (0) = 1f (0) = 0f (3i) = 11827ν = sin y ch(x + 1)f (−1) = 028u = e−y cos x + xe2x − 1ν=sin yexu = sin x sh yf (0) = 129f (0) = iКаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А30f (0) = 2Задача №7.Определить область D2 плоскости W , на которую отобразитсяобласть D1 плоскости Z заданной функцией ω = f (z).

НачертитеD1 и D2 . ω = az n + b; D1 : |z| ≤ R; α1 ≤ arg z ≤ α2 .№ nabR1 2−1 + ii22 21+i−i303 21−i1 + 3i105i50√5 2 −1 + i 31π46 2√3+i2−i1 + 5i107 2√− 3+i−1 − i202i304 28 2√1+i 3√− 3−i9 2√3−i−3i510 22 + 2i1 + 4i2α1π−4π6π6α20π4π2π6π3π42π3π6π3π21911 32 − 2i2−i3π412 3−1 + i5i1013 3−1 − i3−i3014 3−2 + 2i5+i2−15 21+i−i216 2−1 − ii317 2−1 + iКаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аπ63π4π2π4π3π4√18 2 −1 − i 319 220 221 2√1−i 3√− 3−i√3−i−1 − 3i 1−5i5−2 + 2i1−1 − 2i 11+i2−2i33i522 2√3+i23 2√− 3+i24 3−2 − 2i−1 − 2i 225 3−2 + 2i−2 + iЗадача №8.30π4π−6π−3π−3π−12π−3π−6π−3π−23π−4−000−π4000π6π−6π−4−20Получить все разложения f (z) в ряд Лорана по степеням z −z0.Если z0 – особая точка, указать тип этой особой точки и найтиres f (z).z=z0№z01 −1КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А2 −2f (z)z−1z(z + 1)2z + 2z − 4z 2 (z − 2)2z 2 − 5z + 4z(z − 2)2sin zz−1z+2z2 − 1z(z + 2)(z + 3)3z − 1z 2 − 2z − 3zz2 + 42z 2 − z + 1z3 − z2z − 3z 2 − 3z + 22z 2 + z + 2z 2 (z + 2)z 3 + 3z 2 + 2z + 1z 2 (z + 1)2ez(z − 1)23z 2 − 1z(z 2 − 1)324151627 −1809110011 −212 −113114121152163170КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А18 −1z 2 − 3z + 5(z + 1)(z − 2)21z 2 − 7z + 12z2 + z + 1z3 + z2z 2 − 4z + 32z 2 + z + 5z 2 (z + 3)z2 + z − 1z 2 (z − 1)2z 2 + 5z + 4z 2 (z + 4)1z 2 − 5z + 63z 2 − 1z 2 (z − 1)2z 2 + 4z + 1z(z + 1)29 − 2zz(3 − z 2)19 −320 −121022023024 −1253260ze z0z2z2 + 9271Задача №9.Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 .

Найти вычет функции f (z) в точке z0 .22№123КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А41z0 = 2z−2zf (z) = sinz0 = 1z−1zf (z) = z sinz0 = 5z−52z − 7f (z) = sinz0 = −2z+23zf (z) = cosz0 = iz−i5zf (z) = sinz0 = 2iz − 2i3z − iif (z) = sinz0 = −3z + i33zf (z) = z cosz0 = 1z−1zf (z) = z sinz0 = 1z−1z−3f (z) = (z − 3) cos πz0 = 0zz+1f (z) = z 2 sin πz0 = 0zzf (z) = z cosz0 = −2iz + 2iz 2 − 4zf (z) = cosz0 = 2(z − 2)2z+if (z) = sinz0 = iz−izf (z) = sinz0 = 3z−3f (z) = z cos56789101112131415161f (z) = ze z−2z0 = 2231718192zz−4z 2 − 4zf (z) = sin(z − 2)2n 4z − 2z 2 of (z) = exp(z − 1)2n πof (z) = z exp(z − a)2n πz of (z) = z expz−πz+2f (z) = z sin πzz+3f (z) = z cos πz−1z+3f (z) = z 2 sinz2z − 2zf (z) = z sin(z − 1)2zf (z) = z cosz−3z−1f (z) = z sin πz−2zf (z) = z cosz−5f (z) = sinz0 = 3z0 = 4z0 = 2z0 = 1КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А20zf (z) = e z−32122232425262728293031Задача №10.zf (z) = ze z−4f (z) = z sinπzz−az0 = az0 = πz0 = 0z0 = 1z0 = 0z0 = 1z0 = 3z0 = 2z0 = 5z0 = 4z0 = a24Найти все особые точки функции f (z) и установить их тип.№13z3f (z) =1 + z4sin zf (z) = 2z1 − cos zf (z) =z3z+1f (z) = 4z + 1611e z+2f (z) =z+2sin zf (z) =z(z 3 + 1)sin zf (z) = 3z (z − 1)3cos zf (z) = 3(z + 1)z 2z2f (z) =1 − cos z11f (z) = 3 coszzzef (z) = 2(z + 4)(z − 1)sin(z − 3)f (z) =(z − 3)(z − 4)2sin(z − 1)f (z) =(z − 1)3 (z + 4)32461f (z) = e z−212 1f (z) = z− sinzz1f (z) =z + z21f (z) =(1 − z)3(z + 2)2ezf (z) =1 + z21f (z) = 5z − 4z 3ez − 1f (z) = 2z (z + 1)z3 + 1f (z) =(z + 3)2 (z + 1)1 − cos 2zf (z) = 2z (z + 1)1f (z) =z(1 − e2z )1f (z) = 4z − z2cos(z − 5) − 1f (z) =(z − 5)3 (z + 3)1e z−2f (z) =(z − 2)2 (z + 3)31 − ez−2f (z) =(z − 2)(z + 3)3z2 + 3f (z) = 2z −z−2КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А5№79111315171921232527291f (z) = (z − 1)e (z−1)312 1f (z) = z− coszz8101214161820222426283025Задача №11.RВычислить интеграл по замкнутому контуру f (z)dz с помоCщью вычетов.№1C|z| = 1|z| =12КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А2f (z)cos πz(2z − 1)2zsh2 πzsh πz(z + 4)(z 2 + 4)1z 4 + 16zz3 + 82z − 1cos2 πzezz(z 2 + 2z + 5)sin 2zz 2(z 2 + 4)sin zz 2(z − 2)2z3z4 − 1z(z − 1)(z − 2)2cos zz 3 − z 2 − 2zsh zz(z 2 + 2z + 5)ezz(z − 1)2 (z − 4)34567891011121314|z| = 5|z − 2| = 2√|z − 2| = 2 21 1z − =22|z + 1 − 2i| = 1|z| = 1|z| = 1|z + 1| = 1|z − 2| =12|z + 1| = 2|z + 1 + 2i| = 1|z| = 226151617КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А18cos z1|z|=z 2(z + 1)2ez|z| = 2z 4 + 8z 2 − 9ez|z − 3i| = 1z(z − πi)z+1|z| = 2z(z − 1)2 (z − 3)ez|z − 2| = 1z 3(z − 2)23ez|z−2|=(z − 1)2 z22zy2(x−1)+=1z4 + 181|z + 2| = 1(z + 2)2 (z − 3)2πzπ|z − | =cos z222ch z3|z+1|=z 2 (z + 2)(z − 1)22πiz +1|z − | = 1sh 2z24|z| = 2ch z1(y − 1)2+ x2 = 123(z + 4)4πctg 3z|z − | = 1219202122232425262728z29e (1−z)30z 3e z1|z| = 2|z| = 127Задача №12.С помощью теоремы Руше найти число корней уравнения вуказанной области.№121 < |z| < 21 < |z| < 21z 4 − 5z 3 − z 2 − 1 = 0< |z| < 1212z 5 − 3z 3 + 2z 2 − 5 = 0< |z| < 2213z 4 + 2z 3 − z 2 − z + 3 = 0< |z| < 222z 3 − 7z 2 + 3z + 1 = 01 < |z| < 42z 5 − 8z 4 + z 3 + 2z 2 + z − 1 = 0 1 < |z| < 2z 5 − 4z 3 − 10z 2 + 3 = 01 < |z| < 33z 6 − 4z 4 + 5z 2 − 15z − 1 = 01 < |z| < 22z 4 + 4z 3 − 17z 2 + 3z − 7 = 01 < |z| < 55z 5 + 4z 4 − 3z 3 − 2z 2 − 17 = 01 < |z| < 2z 8 − 3z 5 + 2z 2 − 12z − 3 = 01 < |z| < 25z 4 + 2z 3 − 13z 2 + 4z + 1 = 01 < |z| < 212z 4 + 3z 3 − z 2 + 11z − 1 = 0< |z| < 322z 5 − 5z 4 + 5z − 1 = 02 < |z| < 3z 6 − 10z 3 + 2z 2 + 3z − 1 = 02 < |z| < 3z 7 − 5z 5 + 2z 4 + 1 = 01 < |z| < 33z 7 + z 6 − 9z 4 + 2z 2 − 2 = 01 < |z| < 2110z 4 − z 3 + 4z 2 − z − 3 = 0< |z| < 122z 3 − 3z 2 − 7z − 1 = 01 < |z| < 3z 5 + 2z 4 − z 3 − 3z 2 + 13z − 5 = 0 1 < |z| < 4z 5 − 2z 2 + 5z + 1 = 01 < |z| < 2z 4 − 6z 3 + z 2 − 10z + 1 = 01 < |z| < 2КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А3z 5 − 5z 2 + 2z + 1 = 0z 6 − 7z 5 + 3z 3 − z − 1 = 0456789101112131415161718192021222328242526z 3 − 17z 2 + 25z − 5 = 04z 3 + 10z 2 − 3z + 1 = 03z 3 + 9z 2 − 5z − 1 = 02z 4 − z 3 + 6z 2 − z − 1 = 028z 6 − 5z 3 + z 2 + 1 = 0КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А271 < |z| < 22 < |z| < 32 < |z| < 41< |z| < 141< |z| < 12Задача №13.С помощью вычетов найти оригинал изображения g(p).№1357911131517№1(p + 1)2 (p + 2)1(p − 4)(p2 + 9)p−1(p + 1)(p2 + 1)p+1(p − 1)(p + 2)(p − 3)p−1(p2 + 4)p2p2 + 1p2 (p − 1)2p(p2 + 1)21(p − 1)2 (p + 2)1(p + 3)(p + 2)224681012141618p+1p2 (p − 2)p+1(p − 1)(p + 22 )1(p − 1)(p2 − 2p + 2)1p3 + 2p2 + ppp4 − 11(p2 + 4)(p + 4)1(p2 − 4p)21p2 (p2 + 1)p(p2 + 4)(p − 1)29192123p+1p3 + 4p2 + 4p(p2 − 9)21(p2 + 1)(p + 1)21(p + 3)(p + 4)21(p2 + 1)(p2 + 9)1(p2 − 1)(p2 + 4)20222426КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А251(p2 + 9)p2p(p − 2)(p + 4)(p + 1)p(p2 − 4)2p(p − 1)(p + 2)21p2 (p − 4)pp4 − 8127292830Задача №14.Вычислить интеграл с помощью Γ-, B- функций.№1357911№R11ln dxx0R1 √x − x2 dx0+∞R22x4 e−x dx0R1x2 dx√1 − x60R1 √x 3 1 − x3 dx0+∞R0dx1 + x24R1246π8R2010R2012x dx√1 − x40+∞Rdx30 1+xR1 3 1ln dxx0sin2 x cos4 x dx√x2 4 − x2 dxR10ln41dxx30R1 √x 1 − x4 dx13+∞R140π215017πR2+∞Rdx31 + x2R1 2 √x 1 − x6 dx180√x2 16 − x2 dxR4020tg1/2 x dxR1ln51dxxКаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А19√x3 5 1 − x5 dxR100sin4 x cos2 x dx 16R2x6 e−x dx021023√x4 3 1 − x3 dxR102527R1 √x x − x2 dx0R3029√x2 9 − x2 dx+∞R2x8 e−x dx0π222sin2 x cos6 x dxR024+∞Rdx21 + x2R1 7√x 3 1 − x3 dx0260π228Rsin6 x cos2 x dx030R100ln61dxxЗадача №15.Вычислить несобственный интегралRbf (x) dx с помощью вы-aчетов.№12f (x)x2(x2 + 1)(x2 + 9)(x2 + 2)(x2 + 1)(x2 + 9)(a, b)(0, +∞)(−∞, +∞)31345(−∞, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А6x−3x4 + 5x2 + 4(x + 1) cos 3xx2 + 4x + 104(x + 1) sin 2xx2 + 2x + 2x2 − x + 2x4 + 10x2 + 9(x − 1) cos xx2 − 4x + 5)x2(x2 + 4)2x2 + 1x4 + 1x3 sin xx4 + 5x2 + 41(x2 + 9)(x2 + 1)2x sin xx2 + 2x + 101(x2 + 1)3(x2 + 1)(x2 + 9)(x2 + 16)x cos xx2 − 2x + 10(x3 + 5x) sin xx4 + 10x2 + 9x2(x2 + 4)37891011121314151617(−∞, +∞)(−∞, +∞)(0, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(0, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(0, +∞)(0, +∞)32181920(−∞, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(0, +∞)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А21x2 + 5x4 + 5x2 + 6x2 + 2x4 + 7x2 + 121(x2 + 1)2 (x2 + 16)x sin xx2 + 9cos xx2 + 4x4 + 1x6 + 1x sin x(x2 + 1)2cos xx2 + 9x sin xx4 + 5x2 + 42x2 + 13xx4 + 13x2 + 36x2 + 2x4 + 7x2 + 121(x2 + 1)4x cos xx4 + 5x2 + 6222324252627282930(0, +∞)(−∞, +∞)(0, +∞)(0, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)(−∞, +∞)ПРИЛОЖЕНИЕВ данном приложении излагается краткая теория и методы решения типовых задач по темам, указанным ниже.

Характеристики

Список файлов книги