Методические указания (1082831), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Представим в тригонометрической фор√√ме 1 − 3 i. Число 1 − 3 i находится в IV четверти, из (1.2), (1.4)найдем модуль и аргумент:q√√√π2|1 − 3 i| = 1 + ( 3) = 2, arg(1 − 3 i) = −3 π π √+ i sin −.т.е. 1 − 3 i = 2 cos −33√ − π3 + 2πk− π3 + 2πk z3,4 = 2 cos+ i sin, k = 0, 1.22 π π √ z3 = 2 cos −+ i sin −, k = 0,66(1.12)√ 5π5π z4 = 2 cos+ i sin, k = 1.66√Все корни находятся на окружности радиуса R = 2 из (1.11),(1.12) (см. рис.5).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А46Рис.51.6Показательная форма записи комплексного числа.Используя формулу Эйлераeiϕ = cos ϕ + i sin ϕ(1.13)перепишем тригонометрическую форму записи комплексного числа из формулы (1.5) в видеz = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ, где r = |z|, ϕ = Arg z, т.е.
любое комплексное число z 6= 0 можнозаписать в показательной формеz = reiϕ ,r = |z|,ϕ = Arg z.(1.14)47КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АПример 1.11. Записать комплексное число z = −3 − 3i втригонометрической и показательной форме.Решение: число находится в III четверти. Используя формулы(1.2) и (1.4) найдем модуль и аргументp√|z| = (−3)2 + (−3)2 = 3 2, −3 yπ3πarg z = −π + arctg = −π + arctg= −π + = − .x−344Тригонометрическая форма записи z 3π 3π√ z = 3 2 cos −+ 2πk + i sin −+ 2πk ,44k = 0, ±1, ±2, .
. .Показательная форма записи√ i − 3π4 +2πk,z = 3 2ek = 0, ±1, ±2, . . . .(1.15)но из (1.13)ei2πk = cos 2πk + i sin 2πk = 1,√3πпоэтому (6.22) можно переписать в виде z = 3 2e− 4 i .1.7Изображение множеств на комплексной плоскости.Изобразить на комплексной плоскости линии и области, заданныеуравнениями и неравенствами.Пример 1.12.Re z ≤ 3.Решение: т.к. Re z = x, то неравенство можно переписать так:x ≤ 3.
На плоскости xOy это определяет полуплоскость левеепрямой x = 3 (см. рис.6).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А48Рис.6Пример 1.13.|z| = 4Решение: по определению, |z| – это расстояние от начала ко-ординат до точки z, т.е. |z| = 4 – это геометрическое множествоточек равноудаленных от начала координат. Таким геометриче-ским местом является окружность с центром в начале координатрадиуса R = 4.Также можно вывести уравнение кривой алгебраическим споpсобом.
Из (1.2) |z| = x2 + y 2 , т.е. уравнение переписывается вpвиде x2 + y 2 = 4, или x2 + y 2 = 42 – это и есть уравнение окружности с центром в точке O и R = 4 (см. рис. 7).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А49Рис.7Пример 1.14.1 < |z − 1 + i| ≤ 2.Решение:|z − 1 + i| = |z − (1 − i)| ≤ 2Это множество точек z, расстояние которых от точки 1 − i небольше 2, то есть круг с центром в 1 − i радиуса 2. Множествоточек z таких, что 1 ≤ |z − (1 − i)| представляет собой внешностькруга радиуса 1 с центром в точке 1 − i. Таким образом, исходноемножество - кольцо с центром в точке 1 − i (см. рис.8).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А50Рис.8Алгебраический способ: перепишем неравенство в виде1 < |(x − 1) + i(y + 1)| ≤ 2. Данное множество точек должноодновременно удовлетворять двум условиям |(x − 1) + i(y + 1)| ≤ 2 |(x − 1) + i(y + 1)| > 1.51Используя определение модуля (1.2), получим p (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ 2 p(x − 1)2 + (y + 1)2 > 1,КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Авозводя в квадрат, получим (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ 22 (x − 1)2 + (y + 1)2 > 12 .Первое неравенство системы представляет собой множество точеквнутри круга с центром в точке 1 − i и радиусом R2 = 2.
Границаобласти входит в рассматриваемое множество. Второе неравенствосистемы – это внешность единичного круга с центром в точке 1−i,граница круга в область не входит. Одновременное выполнениедвух неравенств определяет кольцо с центром в точке z0 = 1 − i ирадиусами R1 = 1, r2 = 2. Т.к. окружность радиуса R1 не входитв область, ее обозначают пунктиром (см.
рис.8).Пример 1.15.ππ− < arg z ≤ .63Решение: множество точек, удовлетворяющих двойному нера-венству, совпадает с точками угла с вершиной в начале координат,πππзаключенного между лучами ϕ1 = − и ϕ2 = . Луч ϕ2 = вхо633πдит в данное множество, а луч ϕ1 = − – не входит (см. рис.9).6КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А52Рис.9Пример 1.16.z − 1 ≥ 1.z+1Решение: умножим обе части неравенства на положительноечисло |z + 1|, получим |z − 1| ≥ |z + 1|. Положим z = x + iy.pp(x − 1)2 + y 2 ≥ (x + 1)2 + y 2Возведем в квадрат:(x − 1)2 + y 2 ≥ (x + 1)2 + y 2 .Перенося в левую часть все слагаемые, получим(x − 1)2 − (x + 1)2 ≥ 0 или −4x ≥ 0, или x ≤ 0 – это леваяполуплоскость вместе с границей x = 0 (см.
рис. 10 ).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А53Рис.10Тема 2. Функции комплексного переменного2.1Определение функции комплексного переменного.Определение 2.1. δ-окрестностью точки z0 называется множество точек z, лежащих внутри круга радиуса δ с центромв точке z0 , т.е. множество точек, удовлетворяющих неравенству|z − z0| < δ.Определение 2.2. Областью комплексной плоскости называется множество точек D, обладающее следующими свойствами:541. вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и некоторая окрестность этой точки, то есть некоторый круг без границы с центром в этой точке (свойствооткрытости);2. две любые точки D можно соединить ломаной, состоящейиз точек D (свойство связности).КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АОпределение 2.3.
Область называется односвязной, еслилюбую замкнутую кривую, лежащую в этой области, можностянуть в точку, не выходя за пределы этой области.Определение 2.4. Граничной точкой области D называюттакую точку, которая сама не принадлежит D, но в любойокрестности которой лежат точки этой области.Определение 2.5. Совокупность граничных точек областиD называют границей этой области.Определение 2.6.
Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью и обозначается D.Определение 2.7. Говорят, что в области D определенафункция w = f (z), если каждой точке z ∈ D поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или целое множество(многозначная функция) значений w.Пример 2.1.w = |z|– однозначная функция,√w = n z – n-значная функция, т.к. имеет n корней,w = Arg z – бесконечнозначная функция, т.к.
слагаемое 2πk,входящее в Arg z (см. (1.3)), принимает бесконечное число значений при k = 0, ±1, ±2, . . .Геометричеcки задание функции w = f (z) означает заданиеотображения точек комплексной плоскости z на соответствующиеточки комплексной плоскости w.55Пусть z = x + iy и w = f (z), тогдаw = f (z) = u(x, y) + iv(x, y),(2.1)где u(x, y) = Re f (z) – действительная часть функции, v(x, y) =Im f (z) – мнимая часть функции.2.2КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АПример 2.2.Найти действительную и мнимую части функции w = z 2 + iz.Положим z = x + iy, тогда w = (x + iy)2 + i(x − iy) = x2 +2xyi − y 2 + ix + y = (x2 − y 2 + y) + i(2xy + x). u(x, y) = x2 − y 2 + y –действительная часть функции, v(x, y) = 2xy + x – мнимая частьфункции.Элементарные функции комплексного переменного.Основные элементарные функции комплексного переменного определяются следующими формулами (z = x + iy)1.
Дробно-рациональная функцияa0 z n + a1 z n−1 + . . . + anw=.b0 z m + b1 z m−1 + . . . + bmВ частности, рациональной функцией является многочлен w =a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an .2. Показательная функция ez определяется как сумма абсолютно сходящегося во всей комплексной плоскости степенного рядаznz2+...e = 1+ z + + ...+2!n!zСвойства показательной функции:а) ez1 +z2 = ez1 ez2 , где z1, z2 – комплексные числа,в) ez+2πki = ez (k = 0, ±1, ±2, .
. .) – было показано в примере(6.22), т.е. ez – периодическая функция с периодом 2πi.3. Тригонометрические функции.56Функции sin z и cos z определяются степенными рядами2n+1z3n z+ ...,sin z = z − + . . . + (−1)3!(2n + 1)!2nz2 z4n zcos z = 1 − + + . . . + (−1)+ ...,2! 4!(2n)!КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2Аабсолютно сходящимися при любом комплексном z.sin z и cos z – периодические функции с периодом T = 2π.sin z = 0 имеет решение z = kπ, cos z = 0 имеет решениеπz = + kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .2sin zФункции tg z и ctg z определяются равенствами tg z =,coszcos zctg z =.
Для тригонометрических функций остаются в силеsin zвсе формулы тригонометрии.Для функций ez , sin z и cos z имеют место формулы Эйлераeiz = cos z + i sin z,e−iz = cos z − i sin z,откудаeiz + e−izeiz − e−iz(2.2)cos z =, sin z =22i4. Гиперболические функции.Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z определяютсяравенствамиez − e−zez + e−zsh z =, ch z =,22(2.3)ch zsh z, cth z =.th z =ch zsh z5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
