Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(19.8.6) Следовательно. Р(А) ж рр(1)(1 — ЛЫ). Найдем Р(В). Вероятность того, что в момент Ф система была в состоянии хн равна р, (Т). Вероятность того, что за время йг канал освободится, равна 1 — е-РА'1 с точностью до малых величин высшего порядка 1 — е-Р А' ж р йт. Р(В) =р,(Г)рбмк. Следовательно, Отсюда Рр(1+йс) - Р (1)(1 — 1 йс)+ ЬР (Г)й1. Перенося лр(Г) в левую часть, деля на лл1 и переходя к пределу пРн Ы-ь О.
полУчим диффеРенциальное УРавнение длЯ Рр(Т): — '"'() = — Лр,(1)+рр (г) (19.8.7) 542 ВЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 1ГЛ. !В Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть составлены и длн других вероятностей состояний. Возьмем любое й (О ( й ( л) и найдем вероятность ра (Г+ цг) того, что в момент Ф+ йг система будет в состоянии ха (рис. 19.8.8). Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы уже не двух, а трех событий (по .т Ю-Г х л числу стрелок, направлекных в состояние х ): л ! А — в момент Ф система была в состоянии х„ (аанято Й каналов), а за время дг не перешла Рнс.
19.8.3. ИЗ НЕГО НИ В Хдтм Нн В Ха, (нн ОДна Заявка не поступила, ни один канал не освободился);  — в момент Г система была в состояшнл ха , (занято и†1 каналов), а за время йг перешла в ха (пришла одна заявка); С вЂ” в момент Г система была в состоянии ха ., (занято Ф+ 1 каналов), а аа время лЛГ один нз каналов освободился. Найдем Р(А). Вычислим сначала вероятность того, что за время йг не придет нн одна заявка и не освободится нн один из каналов.' е-'ы(е-Ры) = е-<лт"юл'. Пренебрегая малымн зеллчннамн зысшвх порядков, имеем е-<л - Ю =1 — (Л+йр) ДГ, Р (С) ж ро+1 (Е) (Ф+ 1) р АЕ и Р, (Е+ И) = Ро (Е) 11 — (А+ ЕоР) 'ОЕ) + Р,, (Е) Л ЕАЕ+ + Ро-о1 (Е) (и + 1) Р ЕАЕ Отсюда получаем дифференциальное уравнение для ро (Е) (О ( А ( и): =ЛРА-1(Е) — (Л+Еор)Р (Е)+(Ее+1)рР + (Е) Составим уравнение для последней вероятности р„(Е) (рис.
19.8.4), Имеем р„(Е+ОЕ) ж р„(Е)(1 — ир ОЕ)+ р„1(Е) ЛЕАЕ, логде 1 — ЧАŠ— вероятность того, что за время АЕ Рнс. 19.8Д. не освободится нн один канал; Л АŠ— вероятность того, что ва время ОЕ придет одна заявка. Получаем дифференциальное уравнение для Р„(Е): — = Лр„г(Е) — Ирро (Е). иР (Е) Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей р,(Е), рз(Е), ..., Р„(Е): оЕРо (Е) ЕЕ = ЛРо (Е)+ РР1 (Е)' — — = ) Ро о (Е) — (Л + АР) Р„(Е) + (lг + 1) Р Роз, (Е) ~ лго И! (О < й ( п), (1 9.8.8) уравнения (!9.8.8) называются урлвнелляжи Эрлинза. Интегри. рованне системы уравнений (19.8.8) при начальных условиях Р,(О)=1; Р,(О)= ... =Р„(О)=О 1в.щ системА ИАссОВОГО ОБслУжиВАниЯ с ОткАЗАми 643 откуда Р(л) = Р. (Е)11 (л+,ьр) АЕ).
Аналогично Р(В) = р,,(Е)ЛАЕ, 844 элвменты твояии МАССОВОГО ОБСЛуЖИВАнИЯ [Гл 3я (в начальный момент все каналы свободны) дает зависимость р»(г) для любого й. Вероятности р»(г) характеризуют среднюю загрузку системы и ее изменение с течением времени. В частности, р„(1) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент Г, застанет все каналы занятыми (получит отказ): )» = р, (г).
Величина л(г) = 1 — р„(г) называется ошлосительпоб пропускной способностью системы. для данного моментз Г это есть отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных. Система линейных дифференциальных уравнений (19.8.8) сравнительно легко может быть проинтегрирована при любом конкретном числе каналов и. Заметим, что при выводе уравнений (19.8.8) мы нигде не пользовались допущением о том, что ве,тичины ), и р (плотности потока заявок и «потока освобождений») постоянны. Поэтому уравнения (19.8.8) остаются справедливыми и для зависящих от времени ).(Г).
р(г), лишь бы потоки событий, переводящих систему из состояния в состояние, оставались пуассоновскими (без этого процесс не будет марковским). 19.9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга Рассмотрим и-канальную систему массового обслуживания с отказами, на вход которой поступает простейший поток заявок с плотностью ).; время обслуживания — показательное, с параметром р. Возникает вопрос: будет ли стационарным случайный процесс, протекающий в системе? Очевидно, что в начале, сразу после включения системы в работу, протекающий в ней процесс еще не будет стационарным: в системе массового обслуживания (как и в любой динамической системе) возникнет так называемый «переходный», нестационарный процесс.
Однако, спустя некоторое время, этот переходный процесс затухнет, и система перейдет на стационарный, так называемый «установившийся» режим, вероятностные харсктсргстпкп ко|Срого уже не будут зависеть от времени. Во многих задачах практики нас интересуют именно характеристики предельного установившегося режима обслуживания. Можно доказать, что для любой системы с отказами такой предельный режим существует, т.
е. что при г — »со все вероятности рз(Г), р,(г), ..., р„(г) стремятся к постоянныч пределам рз, рн ... ..., р,. а все их производные — к нулю. Чтобы найти пРедельные веРоЯтности Рз, Рн ..., Р„(веРоЯтности сос~о»ьий сисшмы з )становившемся режиме), ззмспнм з урззнсшшх (19.8.8) все вероятности р»(г) (О (й (п) их пределами р„, а все т9.91 УстАнОВиВшийсЯ Ражим ОБслУжиВАниЯ. ФОРмУлы эРлАИГА 545 производные положим равными нулю.
Получим систему уже не диф- ференциальных, а алгебраических уравнений — лр +рр,=о, Лр, — (Л+р) р,+ 2рр = О, (19.9.1) (19.9.2) о о ° Разрешим систему (19.9.1) относительно неизвестных ро, р, ..., р„. Из первого уравнения имеем Л Р1= Н Ро. (19.9,3) Из второго, с учетом (19.9,3). ро= йи ( — Лр.+(Л+р) Ро) = 1 = 2Р~ )Ро+ Р Ро+Лро~=ь— оро1 (19.9.4) Введем обозначение и назовем величину а приведенной алолгкосаою потока заявок.
Это есть не что иное, как среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки. Действительно, Л в =- — =Ла, и ьО' Зь З. С. Вьлольль Лр„, — (Л+йр) ро+(й+1) рр„„= О (О Сй(а), [Л+(а — 1) р) р„, + арр„= О, Л,о, — арр, = О. К этим уравнениям необходимо добавить условие аналогично из третьего. Е учетом (19.9.3) и (19.9.4), 1 Г Л' Л' Ло о Ло и вообще, для любого а (а Ло Рл = — Ро. „,1 РА (1 9.9.5) (1д.о,б) где ла, = Лт (Тое1 — среднее время обслуживания одной заявки В новых обозначениях формула (19.9.8) примет вид аа Ра — а! Ро (19.9.7) Формула (19.9.7) выражает все вероятности Ра через Ро. Чтобы выразить их непосредственно через а и н, воспольвуемся условием (19.9.2).
Подставив в него (19.9.7), получим П и ~Л Р вЂ” Ро,~~ «=о а=о откуда 1 Ро= „° а=о Подставляя (19 9.8) в (19.9.7), получим окончательно аа а! (О ( Д < л). (19.9.8) (19,9.9) а о Формулы (19.9.9) называются формулами Эрланга. Они дают Предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания. Полагая в формуле (19.9.9) й=н, получим эерояланоста плакала (вероятность того, что поступив!паз заявка найдет все каналы занятыми): аа и! Р „=Ра= ~~ аа (19.9.10) В частности, для одноканальной системы (и = 1) а Рата= Ра= ! 1 а ~ а относительная пропускная способность д=! — Р.,а=, ' [1 9.9. ! 2) Формулы Эрланга (19.9.9) и их соедстзия (!9.о.!О) — (!9,9,!2) выведены нами для случая покавательного распределения времени 846 ВЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ !ГЛ ав т99! устАнОВиВшиися Режим ОБслужиВАния.
ФОРмулы ВРллнгл 547 обслуживания. Однако исследования последних лет ') показали, что эти формулы остаются справедливыми и при любом ваконе распределения времени обслуживания. лишь бы входной поток был простейшим. Пример 1. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линни связи. Иа станцию поступает простейший поток заявок с плотностью Х 3(вызова в минуту).
Вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты, получает отказ»). Средняя длительность разговора 2 минуты. Найти: а) вероятность отказа; 6) среднюю долю времени, в течение которой телефонная станция вообще не загружена. Решение. Имеем ш, 2 (мнн); А Р 0,5 (разг7нин), а — = б. а) По формуле (199.10) получаем о« 4! )»« 0,47. а' а» о» 1+ — + — + — + 1! 2! 3! 4! б) Пе фврмуле (19.9,8) 1 Ро 1+-~-+ — '+ — '+ —" 1 2! 3! 4! Несмотря на то. что формулы Эрланга в точностк справедливы только прн простейшем потоке заявок, нми можно с известным приближением польаоваться и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием).
Расчеты показывают, что замена произвольного стационарного потока с не очень большим последействием простейшим потоком той же плотности А, как правило, мало влияет на характеристики пропускной способности системы. Наконец, можно ваметить, что формулами Эрланга можно приближенно пользоваться и в случае, когда система массового обслуживания допускает ожидание заявки в очереди, но когда срок ожидания мал по сравнению со средним временем обслуживания одной заявка Пример 2. Станция наведения истребителей имеет 3 канала. Каждый нанал может одновременно наводить один истребитель на одну цель. Среднее время наведения цстрсбитела нз цель ш, = 2 жин.
Поток целей — иростеяоб ший, с плотностью Х 1,5 (самолетов в минуту). Станцию можно считать «системой с отвазанн», так зак цель, по которой наведение не началось в момент, когда она вош:ив зону действия истребителей, вообще осшогсз ю ') Сн. Б. Л. Севастьянов, Зргоднческая гсорсма для мзркозс«их процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами. Теория зеро »иост й б е пзе е «2 з ш 1 !057 ') Предполагается, что вторичные вывозы абонентов, получивших отказ« не нарушают пуассоновского характера потока заявок. 543 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ [З атакованной. Найти среднюю долю целей, проходящих через зону действиа не обстреляннымн. 1 Л Решение.
Имеем Р.= — =05; а=15; « — =3, 2 По форнчле (19.9.10) Зз 31 от« = Рз = 3 Зь 3» 1+ — + — +— 1[ 2[ 3[ Вероятность отказа ю 0,346; она же выражает среднюю долю необстрелянных целей. Заметим, что в данном примере плотность потока целей выбрана такой, что при их регулярном следовании одна за другой через определенные шпервалы н при точно фиксированном времени наведения У,а = 2 мии номинальная пропускная способность системы достаточна для того, чтобы обстрелять все без исключения цели. Снижение пропускной способности происходит нз-за наличия случайных сгущений и разрем[ений в потоке целей, которые нельзя предвидеть заранее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
