Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Для этого сначала вычислим математическое ожидание лгл числа заявок, пах одяшихся в очереди: а" Ч,ч а ал л1 ьа а=1 Д (а+тр) т 1 Гн, = 1а1 = ~а аР„+,— Х"-."+' Х ="' "'- Д +-» Ф 1 (19.10.13) Чтобы получить Р„, нужно Ачл умножить на среднюю «плотность уходов» одной ваявки ч и разделить на среднюю плотность заявок А, т. е. умножить на коэффициент ч 6 ' Х ), а н Получим: а" чсч за' и! л'л Д (л+тя) Є— — ° (19.10.14) л оз А=и ~=~ Д (а+ ля)) а=1 Относительная пропускная способность системы характеризуется вероятностью того, что ваявка.
попавшая в систему, будет обслужена: д =1 — Р„. Очевилно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же )~ и р, будет всегда выше, чем пропускная способность системы с отказами: в случае наличия ожидания необслуженными 556 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ !ГЛ. 1Я Зжж и 1 нли, суммируя прогрессию (что воаможно только при а ( л), (19.10.15) Рз= „А .жг> л,1 Л> ' л!(л — а) «=о ') Для грубой оценки ошибки, происходящей от отбрасывания всех членов сумм, начиная с г-го, можно воспользоваться формулами: ч зжэ (Р) Ц (л+ лнч) Ь) -' «г П(л+шу) ж=1 ж=! уходят не все заявки, заставшне и каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении ! среднего времени ожидания т гож э ' Непосредственное пользование формулами (19.10.11), (19.10.12) и (19.10.14) несколько затруднено тем, что в нях входят бесконечные суммы.
Однако члены этих сумм быстро убывают '). Посмотрим, во что превратятся формулы (19.10.11) и (19.10.12) при р-«со и р — «О. Очевидно, что при р' — «ОО система с ожиданием должна превратиться в систему с отказами (заявка мгновенно уходит иа очереди). Действительно, прн р-«со формулы (19.10.12) дадут нули, а формулы (19.10.11) превратятся в формулы Эрланга для системы с отказами.
Рассмотрим другой крайний случай: чистую систему с ожиданием (р-«0). В такой системе заявки вообще не уходят ив очереди, и поэтому Р, = 0: каждая ааявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим прн г -«со, Можно доказать, что такой режим существует только при а ( и, т, е.
когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей л-канальной системы. Если же а) л, число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать. Предположим, что ач.л, и найдем предельные вероятности р, (О ~ й (и) для чистой системы с ожиданием. Для этого положим в формулах (19.9.10), (19.9.11) и (19.9.12) р-«О. Получим: 557 СИСТЕМА СМЕШАНПОГО ТИПА 19! и Отсюда, пользуясь формулами (19.10.8) и (19.10.9), найдем »" а1 Ра= » (О 4 )а ~( и), (19.10.16) „'!', — + »9 а»+1 Л! ~ п1(п — ) 9-1 и аналопшио для а=а+а (а)~ О) »" +» а! и Р»е»= » »" а" + ' '» А! + а! (п — а) а=о Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется из фор.
мулы (19,10.13) при ~ — »0: (19.10.17) п а!(1 — — ) (19.10.18) » ,'у — + »9»»+! й! а! (а — ») а=о Вероятность наличии очереди: Ро»= ! — (Ро+Рь+Ра+Рв) =0297. Сроднил длина очереди во форч1»о (!010.!8) С)лот ю, ю 0,89 (заявки). 19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди В предыдущем и' мы рассмотрели систему массового обслуживания с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы рзссмотрим систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания — по числу заявок, стоящих в очереди.
Предположим, что При мер 1. На вход трехканальной системы с неограниченным временен ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью Л = 4 (заявки з час). Среднее время обслуживания одной заявки т1 =30 мин. Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности Ро, Рь Ра, Р„ вероятность наличия очереди й среднюю длину очереди т,.
1 Л Решен не. Имеем Р = — =2; »= — =2. Так как а < и, установив- »11 а ш»йся режим существует. По формуле (19.10.16) находим 1 2 2 8 Ро = — - О !11! Р1 = = 0222; Ра= — = 0222' Ра = — ш 0,148. 9 ' ' ' ' ' ' 54 б58 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОбСЛУЖИВАНИЯ 1ГЛ Щ заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится ив нее т заявон; если же число заявок в очереди равно Гл (больше ла оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной.
Остальные допушения — о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания — оставим прежними. Итак, имеется л-напальная система с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом т, Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы. Заметим. что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать и+гл (и обслуживаемых и Гл стоящих в очереди).
Перечислим состояния системы: х„ — все каналы свободны, очереди нет, х, — ванят один канал. »» х — занято л каналов. х„ , — занято и — 1 каналов, » », х„ — заняты все и каналов, » », х„„ — заняты все л каналов. одна заявка стоит в очереди, х„+ — заняты все л каналов, Гл заявок стоит в очереди, Очевидно, первые и уравнений для вероятностей ре(г).... р„ ,(Г) будут совпадать с уравнениями Эрланга (19.8 8). Выведем остальные уравнения. Имеем Р, <Г + Ог) = Р,„, (Г) Л Ы + Р„(Г) (1 — Л Йà — лР Д1) + Р„», (Г) ЛР ДГ, откуда )„"() =Лр„,(Г) — (Л+ лр) р»(Г)+лрр»+,(1). Далее ш.ес см уразнеипе для Р„»,(О (1-45 С'и) Р»~.~ (г + дг) = = р„, (1) Л Д1 + Р„, (1) (1 — Л Ог — Р бг) + Р„,, (Г) ли Дг, откуда Л'»»() =Лр + (Г) — (Л+ли) р„+ (1) +лир +,+г(Г).
Последнее уравнение будет — =Лр- - Ю вЂ” рр.+ Я СИСТЕМА СМЕШАННОГО ТИПА 559 Таким образом, получена система (а +лг + 1) дифференциальных уравнений: "" = — Лре(1)+Рр,(С). =лра г(т) — (л+~йрья+ +(й+1)рр „,(С) (О <й „л — 1), = ЛР„ , (г) — (Л + л(ь) Р„ (Т) + л(АР„ ,(Т), (19.11.1) =Лр.„(Т) — (Л+ ггр) р.„(1)+ +а1ьр„+,,(Г) (1 <г <лг), лРв.ьт (О =лр„,,— н р„,„(с).
— ЛР,+РР,=О, лр,,— д,+йр) р,+~и+1)рр„„=О (О < и < и — 1), Лр„,— (Л+пп) р,+лир„„,=о, (19.11.2) Л вЂ” Л р„,, — ( +лЯр„+,+лир„,,„г=о (1 < л < гл), Лр„,„, — лрр„= О н добавочное условие: Х ра=1 ° А-Е (19.11.3) Уравнения (19,11.2) могут быть решены так же, как ны реншли аналогичные алгебраические уравнения в предыдущих п'и'.
Не оста- Рассмотрим предельный случай прн Ф-з.ао. Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим си-. стему алгебраических уравнений 560 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОВСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. !9 (19.11.4) П р и м е р. На станцию текущего ремонта автомашин поступает простейший поток заявок с плотностью 1= 0,5 (машины в час). Имеется одно помещение для ремонта. Во дворе станции могут одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех машин. Среднее время ремонта одной машины 1 тг о — — — —— 2 (часа).
Определить; а) пропускную способность системы; об ц б) среднее время простоя станции; в) определить, насколько изменятся эти характеристики, если оборудовать второе помещение для ремонта. Р е ш е н н е. Имеем: Х = 0,51 Р = 0,5; а = 1; и = 3. а) По формуле (19.11.5), полагая и = 1, находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему иеобслужеинон: 1 Ря=Р1эа= 1, 3 =0,20. 1+ + Относительная пропускная способность системы д = 1 — Р„= 0,80. Абсолютная пропускная способность: О = Ад = 04 (машины в час). б) Средняя доля времеви, которое система будет простаивать, найдем по формуле (19.11.4): рб = — = 0,20.
1 в) Полагая и = 2, найдем: 1 1о 1 Ра = Рата —,П ш 0,021, 1+1+ — + — + — +— 2 4 8 1б 4=1 — Рн ш 0,979 (т. е. удовлетворяться будет около 98о/а всех заявок). О = 14 = 049 (машины в час). 1б Относительное время простоя: р, =- — — = 0,34, 49 т. е. обоат ояячие бчоет поостччгять Роааас,ю окоте 34оД . г го Рогчеии. иавливаясь иа этом решении, приведем только окончательные формулыт а" хй+5х®' а=о а= г 50' Р„„,= „"' ",„— (1 <г Сш). (19.11.5) Х Ф+ — ".1 ХИ)' а о г=г Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности р„+,„того, что в очереди уже стоят ш заявок. Нетрудно заметить, что формулы (19.11.4) и (19.11.5) получаются из формул (19.10.11), (19.10.12), если полоокить в них р 0 и ограничить суммирование по г верхней границей и.
Значения тв и зазиоимости от и и р Таблица 4 озн обо о,то о,зо о,вз о.вз о,оз о,во о,зо о,м о.зо О,О:1 0,004 0,0 О 0,103 0,1' ! 0,352 0,4 ) 0,711 0,7 ! 1,145 5.41 7,82 9,84 11,67 13,39 15,03 16,62 18,17 19,68 21,2 22,6 24,1 25,5 26,9 6,64 9,21 11,34 13,28 15,09 16.81 18,48 20,! 27,7 29,1 6 10,83 13,82 16,27 18,46 20,5 22,5 24,3 26,1 27,9 . 32,9 34,6 36,1 7 1,074 2,41 3,66 4,88 6,06 7.23 8,38 9,52 10,66 11,78 12,90 14,01 15,12 16,22 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,09 '56 3,05 7 5 6 7 8 9 10 11 1,131 1,5( ! 2,0 2,53 З,бо З,б! 4,16 4,7( 5,3. 1, 635 2,17 2,73 3,32 3,94 4,58 5,23 5,89 6,57 5,23 5,8! 6,41 70 7,63 8,26 8.90 9,54 10,20 10,86 11,52 12,20 12,88 , 13,56 29,6 31,0 32,3 ЪЬ,7 35,0 36,3 37,7 39,0 40,3 41,7 42,9 44,1 46,7 48,0 39,3 40,8 42,3 43,8 45.3 48,3 49,7 51,2 52,6 54,1 55,5 58,3 59,7 32, 33,4 34,8 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9 18,42 19,51 20,6 21,7 22,8 24,9 26,0 27,1 28,2 29,2 30,3 31,4 32,5 33,5 ~ 14,95 и ~~ ) 2, 0,020 3 0,115 12, 3,5 13 ' 411 14 ~ 4,66 15 Т6 !7 18 19 20 2! 22 23 24 25 26 27 28 29 30 5,98 6,6! 7,2! 7,91 8,57 9,24 9,92 10,60 11,29 11,99 12,70 13,41 14,12 14,85 15,57 16,31 726 7,96 8,67 9.39 10,11 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 2,20 3,49 4,17 4,86 5,58 6,30 7,04 7,79 ВД5 9,31 1О 08 10,86 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18.94 19,77 20,6 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
