Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 91
Текст из файла (страница 91)
е. произошло событие Т) а Найдем ерн атом предположении условный закон распределения оставшейся части промежутка Т,=Т вЂ” е! ОбОЗНаЧИМ ЕГО Р('1(Г) Р!'! (!) = Р(Т вЂ” ч < Ф ) Т ) т). (19.3.11) Докажем, что условный закон распределения Р~~(Г) не зависит от ч и равен Р(1).
Для того чтобы вычислить Р(О(!), найдем сначала вероятность произведения двух событий Т)е ы Т вЂ” ч<а' По теореме умножения вероятностей Р ((Т ) ч) (Т вЂ” т < Г) ) = Р (Т ) ч) Р (Т вЂ” 1 < Г ~ Т ) 1) = =РЬ,Т ) ч) Ф'(!). откуда Р( (Т > т) (Т вЂ” '1 < Г) ) Р(Т ) т) Но событие (Т ) ч) (Т вЂ” ч < г) равносильно событию ч < Т < Г+ т, вероятность которого равна Р(т < Т < Г+ 1) = Р (Г+ ч) — Р (ч). С другой стороны, Р (Т ) т) = 1 — Р (ч), следовательно, Р,О (,) Р (г + т) Р (;) 1 — Р (т) Ыб ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ !ГЛ, !В 527 нвстлционляныи пэлссоновскни поток 1».4! откуда, согласно формуле (19.3.!О), получим е-ы е-хпэю гчС ! (1) = „, = 1 — е "ы = Р (Е), что и требовалось доказать. Таким образом.
мы доказали, что если промежуток времени Т распределен по показательному закону, то любые сведения о том, сколько времени уже протекал этот промежуток, не влияют на закон распределения оставшегося времени. Можно доказать, что показательный закон — единственный, обладающий таким свойством. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутстзия последействия», которое является основным свойством простейшего потока. 19.4 Нестационарный пуассоновский поток Если поток событий нестационарен, то его основной характери- стикой является м г н он е ни а я плотность Л(1). Мгновенной плотностью потока нззывается предел отношении среднего числа событий, приходящегося на элементарный участок времени (1, 1+Ы), к длине этого участка, когда последняя стремится к нулю: Л(1)= Нш (+ ) ( =т'(1), дг где гл(~) — математическое ожидание числа событий на участке (О, 1).
Рассмотрим поток однородных событий, ординарный и без после- действия, но не стационарный. с переменной плотностью Л(1). Такой поток называется пестационарпым пуассоновским потоком. Это — первая ступень обобщения по сравнению с простейшим пото- ком. Легко показать методом, аналогичным примененному в и'5.9, что для такого потока число событий, попадающих на участок длины «, начинающийся в точке се, подчиняется закону .Пуассона Р,„(т, 1е)= — !з-л (я=О, 1, 2, ...), (19.4.2) а = ~ Л (С) Н. (19 4.3) б Здесь вели ппш а зависит ие только от длины ; участка, ио и от его положения на оси 01. Найдем для нестапионарного потока закон распределения промежутка времени Т между соседними событиями. Ввиду нестационарности потока этот закон будет зависеть от того, где на оси 01 где а — иет магическое ожгла ~ие и1сла событий иа участке от се до 1р+с, равное расположено первое нз событий.
Кроме того, он будет зависеть от вида функции >.(1). Предположим, что первое нз двух соседних Рнс. 19.4.1. событий появилось в момент 1з, н найдем прн этом условии закон распределения времени Т между этим событием н последуксц>сгзн Рс, (1) = Р (Т ~ С) =1 — Р (Т >~ 1). Найдем Р(те.с) — веРоЯтность тогО. что на Участке от сз до сз-~-Ф не появится нн одного события: с,+с -Х "1'>сп Р(Т)~ с) = е-е.= е откупа се+ с ьсс>ес Рс ф=1 — е Дифференцируя, найдем плотность распределения са+ с )" тц>сц ,ул(с)=>(с.+ ) (С ) О), (19.4 5) 'г>тот закон >жсяргдслс гяс ускс ь.
суд-: с ка ь~,левым. Бнд «со аавяснт от параметра сз н вида функции Х(С). Например, прн линейном изменения ь(с) (19.4.4) >.(С)=о+51 плотность (19.4.5) имеет внд зсг ,с, (с).—. (а+5(гз->-щ е График этого закона прн а=0,4, 5=2 н с =0,3 представлен на рнс. 19.4.1. (1 9.4.6) 528 влкманты теовии массового овслтживлиия 1гл и гал! поток о огелннченным последенствнем <потох пальмы 529 Несмотря на то, что структура нестационарного пуассоновского потока несколько сложнее, чем простейшего, он очень удобен в практических применениях; главное свойство простейшего потока — отсутствие последействия — в нем сохранено. А именно, если мы ззфиксируем на оси 01 произвольную точку !а. то закон распределения у, (Г) времени Т, отделяющего эту точку от ближайшего по времени будущего события, не ззвисит от того, что происходило на участке времени, предшествующем !е, и в самой точке Ге(т.
е, появлялись ли ранее другие события и когда именно). 19.6. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) В предыдущем и' мы познакомились с естественным обобщением простейшего потока — с нестационарным пузссоновским потоком. Обобщением простейшего потока в другом направлении является поток с ограниченным посл едействи ем. Рассмотрим ординарный поток однородных событий (ркс. 19.5.!). Этот поток нааывается потоком с ограниченным последействием Рис.
!9.5.1, (или потоком Пальма), если промежутки времени между последовательными событиями Т,. Т,, ... представляют собой независимые случайные величины. Очевидно, простейший поток является частным случаем потока Пальма: в нем расстояния Т,, Т,, ... представляют собой независимые случайные величины, распределенные по показательному закону. Что касается нестационарного пуассоновского потока, то он не цвластся пнсокнч Пальма.
Псястяитецьно рассмотрим лва соседних ир м„~.у~на Т„ и Т„ , ь ьесгцциоццрном гбассоноцс. ом но~оке. »Ч к мы видели в предыдущем п', закон распределения промежутка между событиями я нестационарном потоке зависит от того, где этот проь<ежуток начинается, а начало громежутка Т„„, совпадает с концом промежутка Т,; значит, длины этих промежутков зависимы. Рассмотрим примеры потоков Пальма. 1. Некоторая деталь технического устройства (например, радиолампа) работает непрерывно до своего отказа (выхода из строя), после чего она мгновенно заменяется новой. Срок безотказной работы детали случаен; отдельные экземпляры выходят нз строя независимо 34 Е.
С. Вецтцець 530 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. !В друг от друга. При этих условиях поток отказов (или поток «восстановлений») представляет собой поток Пальма. Если, к тому же, срок работы детали рзспределен по показательному закону. то поток Пальма превращается в простейший. 2. Группа самолетов идет в боевом порядке «колонна» (рис. 19.5.2) с одинаковой для всех самолетов скоростью Ь'. Каждый самолет, кроме ведущего, обязан выдерживать строй, т. е. держаться на заданном расстоянии Е от впереди идущего. Это расстояние, вследствие погрешностей радиодальномера, выдерживается с ошибками. Моменты 1 1 1, Рис.
19,5.2. пересечения самолетами заданного рубежа образуют поток Пальма, 1., Е,. так как случзйные величины Т, = —; Тя= —,;... независимы. Заметим, что тот же поток не будет потоком Пальма. если каждый из самолетов стремится выдержать заданное расстояние не от соседа, а от ведущего. Потоки Пальма часто получзются в виде выходных потоков систем мзссового обслуживания.
Если на какую-либо систему поступает какой-то потоп заявок, то он втой системой разделяется на два: поток обслуженных и поток необслуженных заявок. Поток необслуженных заявок чзсто поступает на какую-либо другую систему массового обслуживания, поэтому представляет интерес изучить его свойства. Основной в теории выходных потоков является тес»рема Пальма, которую мы сформулируем без доказательства. Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок тапа Пальма, пргтем заявка, застазсиая зсе ьсаналы занятыми, получает отказ 1не обслуживается), Если при етом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток нсобслузкеннык заявок является такзке потоком типа Пальма.
В частности, если входной поток заявок будет простейшим, то поток необслуженных заявок, не будучи простейшим, будет все же иметь ограниченное последействне. Интересным примером потоков с ограниченным последействием явз«ются так называемые потока 9рланга. Онн образуются «просеиваннем» простейшего потока. !эл) поток с огэлничинным послидэиствинм !поток плльмл1 531 Рассмотрим простейший поток (рис, 19.5.3) и выбросим из него каждую вторую точку (на рисунке выброшенные точки отмечены крестами). Оставшиеся точки образуют поток; этот поток называется потоком Эрланга первого порядка (Э!). Очевидно, этот поток Рис.
19.5.9. есть поток Пальма: поскольку независимы промежутки между событиями в простейшем потоке. то неаависимы и величины Т,, Т... „ получающиеся суммированием таких промежутков по два. Поток Эрлакга второго порядка получится, если сохранить в простейшем потоке каждую третью точку, а две промежуточные выбросить (рис. 19.5.4). Рис.
19.5.4. Вообще, потоком Эрланга к-го порядка (Эа) называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить каждую ()г+ !)-ю точку. а остальные выбросить. Очевидно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка (Эе). г М / Рис. 19.5.5, л+1 Т= ХТ„ ! 1 (19 5.1) Найдем закон распределения промежутка времени Т между соседними событиями в потоке Эрланга )г-го порядка (Э„). Рассмотрим на оси ОГ (рис.
!9 5.5) простейший поток с интервалами Т,, Т,,... Величина Т представляет собой сумму к-(-1 независимых случайных величин где Тн То...., То„— независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же показательному азкону г. (Е) = Л вЂ” (Е > О).
(19 5.2) Можно было бы найти закон распределения величины Т как композицию (А+1) законов (19.5.2). Однако проще вывести его элементарными рассуждениями. Обозначим г'о(г) плотность распределения величины Т для нотона Э„; Уо(1)111 есть веРоЯтность того, что величина Т пРимет значение между г и г+о(г (рис. 19.5.5). Это значит, что последняя точка промежутка Т должна попасть на элементарный участок (А г+о1г), а предыдущие й точек простейшего потока — на участок (О, 1). ВеРоятность первого события равна Ло(о!вероятность второго, на основании формулы (19.3.2), будет (лг)' м Р Я= — е-". Л! Перемножая эти вероятности, получим откуда У„(и)= ( ) е- (г>О), Л Лго (1 9.5.3) Закон распределения с плотностью (19.5.3) называется законом Зрланга й-го порядка.
Очевидно, при й = 0 он обращается в пока» зательный Уо (О = Ле-1 (Е > 0). (19.5.4) Найдем характеристики закона Эрланга ул(г)1 математическое ожидание то и дисперсию Оо. По теореме слоноення математических ожиданий о+1 гло = Х гло = (й+ 1) гло где гл'= — — математическое ожидание промежутка между событи- 1 о — Л ями в простейшем потоке.
Отсюда А+1 гл Л (19.5.5) Аналогично по теореме сложения дисперсий 19 =— В+1 )га+1 Ло (19.5.6) 532 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 1ГЛ. 1О Плотность Л» потока 3 будет обратна величине т» Л Л» = —. »+1' (1 9.5.7) Таким образом, при увеличении порядка потока Эрланга увеличиваются как математическое ожидание, так и дисперсия промежутка времени между событиями, а плотность потока падает. Выясним, как будет изменяться поток Эрланга при гг -ь со, если его плотность будет сохраняться постояннойр Пронормируем величину Т так. чтобы ее математическое ожидание (и, следовательно, плотность потока) оставалось неизменным. Для этого изменим масштаб по оси времени н вместо Т рассмотрим величину 7=в »+1 ' (19.5.8) Назовем такой поток нормированным потоком Эрланга й-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
