Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Имеется техническое устройство Х, состоящее из элементов (деталей) типов а и Ь, обладающих равной долговечностью. Эти элементы в случайные моменты времени и неззвисимо друг от друга могут выходить из строя. Исправная работа каждого элемента безусловно необходима для работы устройства в целом.
Время безотказной работы элемента †случайн величина, распределенная по показательному закону; для элементов типа а н Ь параметры этого закона различны н равны соответственно а и хы В случае отказа устройства немедленно принимаются меры для выявления причин и обнаруженный неисправный элемент немедленно ааменяется новым. Время, потребное для восстанопления (ремонта) устройства, распределено по покззательному закону с параметром р (если вышел нз строя элемент типа а) н ра (если вышел из строя элемент типа Ь). В данном примере случайный процесс.
протекающий в системе, есть марковский процесс с непрерывным временем и конечным множеством состояний: хе — все элементы исправны, система работает, х, — неисправен элемент типа а, система ремонтируется'), х,— неисправен элемент типа Ь. система релюнтируется. Схема возможных переходов дана на рис. 19.7.2. ') Предполагается, что детали могут выходить из строя только ео время работы системы; выход из строя одновременно двух или более деталей практически невозможен.
бЗ9 МАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС Дейетвительно, процесс обладает марковским свойством. Пусть например, в момент 1з система находится в состоянии ла (исправна). Так как время безотказной работы каждого элемента — показательное'), то момент отказа каждого элемента в будущем не зависит от того, сколько времени он уже работал (когда поставлен). Поэтому вероятность того, что в будущем система останется в состоянии хз или уйдет из него, не зависит от «предыстории» процесса. Предположим теперь, что в момент Ра система находится в состоянии л! (неисправен элемент типа а). Так как время ремонта тоже покааательное, вероятность окончания ремонта в любое время после ~а не зависит от того, когда начался ремонт и когда были поставлены остальные (исправные) элементы.
Таким обравом, процесс является марковским. т! л! Заметим, что показательное распределение времени работы элемента и показательное распределение времени ремонта — существенные условия, без которых процесс не был бы марковским. Действительно, предположим, что время исправной работы элемента распределено не по показатель- Рис. 19.7,2. ному закону, а по какому-нибудь другому— например, по закону равномерной плотности на участке (1!, ~з). Это значит, что каждый элемент с гарантией работает время 1!, а нз участке от Ф! до Сз может выйти из строя в любой момент с одинаковой плотностью вероятности.
Предположим, что в какой-то момент времени 1а элемент работает исправно. Очевидно, вероятность того, что элемент выйдет иа строя на каком-то участке времени в будущем, зависит от того, насколько давно поставлен элемент, т. е. вавнсит от предыстории, и процесс не будет марковским. Аналогично обстоит дело и с временем ремонта Т„; если оно не показательное и элемент в момент 1е ремонтируется, то оставшееся время ремонта зависит от того, когда он начался; процесс снова не будет марковским. Вообще покааательное распределение играет особую роль в теории марковских случайных процессов с непрерывным временем.
Легко убе- Л!'ТЬ" '!ТО Г СТИИИ'"РИ'!Он Т!1РКОИСК'~Т! ПР 'ГССР 3 !' И ТЕЧЕИИС которого система остается в каком-.тибо состоянии, распределено всегда по показательному закону (с параметром, зависящим, вообще говоря, от этого состояния). Действительно, предположим, что в момент 1И система находится в состоянии ха и до этого уже находилась в нем какое-то время. Согласно определению марковского процесса. вероятность любого события в будущем не зависит от предыстории; в частности, вероятность того, что система уйдет нз состояния хл ') Таа говорят кратко вместо имеет показательный закон распреде- лениям 840 элементы теОРии мАссОВОГО ОвслужнВАния 1Гл, 1э в течение времени Г, не должна зависеть от того, сколько времени система уже провела в этом состоянии. Следовательно, время пребывания системы в состоянии х должно быть распределено по показательному закону.
В случае, когда процесс, протекаюший в физической системе со счетным множеством состояний и непрерывным временем, является марковским, можно описать этот процесс с помошью обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями яв~яются вероятности состояний р,(г), рт(г), ...
Составление и решение таких уравнений мы продемонстрируем в следуюшем и' на примере простейшей системы массового обслуживания. 19.8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга Системы массового обслуживания делятся на два основных типа: а) системы с отказами, б) системы с ожиданием. В с и с т е м а х с о т к а з а м и заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. В с и с т е м а х с о ж и д а н и е м заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь кзнал.
В настояшем и' мы рассмотрим систему с отказами как наиболее простую. Рис. 19.8.1. Пусть ииеется и-канальная система массового обслуживания с озказами. Рассмотрим ее как физическую систему Х с конечным множеством состояний: х„— свободны все каналы, х, — занято ровно л каналов, х, †заня все п каналов. Схема возможных переходов дана на рис. 19.8.!.
Поставим задачу: определить вероятности состояний системы р„(1) (Ф = О, 1, ..., и) для любого момента времени 1. Задачу будем решать при следуюших допушеииях: 1) поток заявок — простейший, с плотностью )1 19.9! СИСТБМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ 541 2) вРемЯ обслУживаниа Трб — показательное, с паРаметРом 9 =в 1 1об р(г)=ре-91 (1»б). (1 9.8.1) Заметим, что параметр р в формуле (19.8.1) полностью аналогичен параметру ); показательного закона распределения промежутка Т между соседними событиями простейшего потока: у(!>=л — (г>о).
(1 9.8.2) Параметр ), имеет смысл «плотности потока заявок». Аналогично, величину р можно истолковать как «плотность потока освобождении» занятого канала. Действительно, представим себе канал. непрерывно занятый (бесперебойно снабжаемый заявками); тогда, очевидно, в этом канале будет идти простейший поток освобождений с плотностью р. Так как оба потока — заявок и освобождений — простейшие, процесс, протекаюший в системе, будет марковским. Рассмотрим возможные состояния системы и их вероятности Рр (г) Р1 (г> ° ° ° Рл (Г). (19.8.3) Очевидно, для любого момента времени а Х )9 а (г) = ! (19.8.4) Составим дифференциальные уравнения для всех вероятностей (19,8.3), начиная с рр(Г).
Зафиксируем момент времени ! и найдем вероятность рр(!+йг) того, что в момент Е+ОГ система будет находиться в состоянии хр (все каналы свободны). Это может произойти двумя способами (рис. 19.8.2): А — в момент ! система находилась в состоя- л~ нии х, а за время йт не перешла из нее в х, (не пришло ни одной заявки), Рис. !9,8.2,  — в момент Г система находилась в состоянии хн а за время цг канал освободился, н система перешла в состояние хр ). Возмо1кностью «перескока» системы через состояние (например, из л, ь хр чсрсз х,) зр малый прон«жуток вррмспн можно прснгбр ч, как величиной высшего порядка малости по сравнению с Р (А) и Р (В) 9). По теореме сложения вероятностей имеем рр(Г+й!) —.Р(А>+ Р(В) (!9.8.5) ') На рис.
19.8.2 возможные способы появления состояния х, в момент Г+ а! показаны стрелками, направленными в хр; стрелка, направленная нз х, в ль перечеркнута в знак того, что система не должна выйти из состояния хр. ') В дальнейшем мы все время будем пренебрегать слагаемыми высших порвдков малости по сравнению с ЬА В пределе прн аг-»О приближенные равенства перейдут в точные. Найдем вероятность события А по теореме умножения. Вероятность того, что в момент Г система была в состоянии хр, равна рр(Г). Вероятность того, что за время д(не придет нн одной заявки. равна е "А'. С точностью до величин высшего порядка малости е-лю 1 ),(лГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
