Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Закон распределения промежутка Т между событиями этого потока будет Аг» г» (г) = » е»' (! > О), (19.5,9) где Л» =-Л(й+1), или г»(С) =, (Л(Уг+1)1) е-"'»+и' (г >О). (19.5.10) Математическое ожидание величины Т, распределенной по закону (19.5.10), не зависит от я и равно 1 т» = та= Л' где Л вЂ” плотность потока, совпадающая при любом й с плотностью исходного простейшего потока. Дисперсия величины Т равна гл» ~» — (»1 Па — Лг(» 1 П и неограниченно убывает с возрастанием й. Таким образом. ны пряхолни к зывоэт: ппи иеогоии: чениозг увеличении и нормированныа поток Зрланга приолилсается к регулярному потоку с постоянными интервалами, рав- 1 ными — . Л' Это сВОйстВО потоков Эрланга удооно в практических применениях: оно дает возможность, задаваясь различными (г, получить любую степень последействия: от полного отсутствия (1»=0) до я<сеткой функциональной связи между моментами появления событий (й =со), Таким образом, порядок потока Эрланга может служить как бы «мерой 'последействия».
имеющегося в потоке. В целях упрощения часто гэ.г! поток с огвлиичвнныы послздвиствизм !поток пальм»1 533 534 злнмянты тзоиии массового озслгживлния 1гл. ~а бывает удобно заменить реальный поток заявок, имеющий последействие, нормированным потоком Эрланга с примерно теми же характеристиками промежутка между заявками: математическим ожиданием и дисперсией. П р н и ер.
В результате статистической обработки промежутков между заявнами в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины Т: шэ — — 2(мил), О~ =0,8 (минэ). Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками. Решение. Имеем А = — =0,5, 1 шг Из формулы (19.5.11) получим 1 1 л+! др-= — =5, в=4, Поток можно приближенно заменить нормированным потоком Эрлэнга четвертого порядка.
19.6. Время обслужяваяия Кроме характеристик входного потока заявок, режим работы системы зависит еще от характеристик проиаводительности самой системы: числа каналов и и быстродействия каждого канала. Одной из важнейших величин, связанных с системой, является в р е и я о б с л уживаиия одной заявки Тын Эта величина может быть как неслучайной, так и случайной. Очевидно. более общим является случайное время обслуживания. Рассмотрим случайную величину Т,з и обозначим 0(1) ее функцию распределения: а(1) =Р(т.а С 1). а я(Е) — плотность распределения: й'(1) = О'(О (1 9.6.2) Длч практики особый интерес представляет случай, когда зешчина у,э имеет показательное распределение д (1) = ре-ш (м > О), (!9.6 3) где параметр р — величина, обратная среднему времени обслуживания одной ааязки: — лг, 1 (19.6.
4) гоз Особая роль, которую играет в теории массового обслуживания показательный закон распределения величины Т,а, связана с тем 53$ ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ 1б б! свойством этого закона, которое было доказано в и' 19.4. В применении к данному случаю оно формулируется так: ее л и в какой-то момент 1б происходит обслуживание заявки, то закон распределения ослгаешегося времени обслуживания не зависит от того, сколько времени обслуживание уже продолжалось. На первый взгляд допущение о том, что время обслуживзния распределено по показательному закону, представляется довольно кскусствекным.
В ряде практических задач кажется естественнее предположить его либо совсем не случайным, либо распределенным по нормальному закону. Однако существуют условия, в которых время обслуживания действительно распределяется по закону, близкому к показательному. Зто, прежде всего, все задачи. в которых обслуживание сводится к ряду «попыток». каждая из которых приводит к необходимому результату с какой-то вероятностью р. Пусть, например, «обслуживание» состоит в обстреле какой-то цели и заканчивается в момент ее поражения.
Обстрел ведется независимыми выстрелами с некоторой средней скорострельностью Л выстрелов в единицу времени. Каждый выстрел поражает цель с вероятностью р. Чтобы не связывать себя необходимостью точного учета момеьта каждого выстрела, предположим, что они происходят в случайные моменты времени и образуют простейший поток П с плотностью Л (рис. 19.6.1). Рнс, 19.6.1. Выделим мысленно из этого потокз другой — поток «успешных», или «поражающих», выстрелов (они отмечены кружками нз рис. ! 9.6.1).
Выстрел будем нззывать «успешным», если он приводит к поражению целы геслн толю!о цель не оыла пора кена ранее). Нетрудно убедиться, что успешные выстрелы тоже образуют простейший поток П' с плотностью Л=Лр (исходный поток П вЂ” простейший, а каждый выстрел может стать поражающим, независимо от других, с вероятностью р). Вероятность того, что цель будет поражена до момента С, будет равна 0(1)=Р!"б"„< 1) =1 — е-ь', откуда плотность распределения времени «обслуживания» К (г) = Ле- "'.
в это есть показательный закон с параметром Р =Л. 536 элементы теОРии ЯАссОВОГО ОбслУжиВАния 1Гл, 1я Показательным законом распределения времени обстрела до поражения цели можно приближенно пользоваться и в случае, когда выстрелы не образуют простейшего потока, а отделены, например, строго определеннымн промежутками времени Гп если только вероятность поражения одним выстрелом р не очень велика. Для иллюстрации приведем на одном и том же графике (рис. 19.6.2) функцию распределения момента поражающего выстрела (ступенчатая линия) для случая р =0,4, 1, = 1 и функцию распределения показа- тельного закона с параметь'(г) ром р = р = 0,4 (плавная кривая).
Как видно на 10 рнс. 19.6.2, непрерывное показзтельное распределение хорошо соответствует характеру нарастания функд5 ции распределения для дискретного случая. Естественно, если моменты выстрелов не будут строго Г определенными, соответствие с показательным ззконом будет еще лучше. Случай стрельбы — не единственный, когда обслуживание осуществляется рядом «попыток». К такому типу часто можно отнести обслуживание по устранению неиспрзвностей технических устройств, когда поиски неисправной детали или узла осуществляются рядом тестов или проверок.
К такому же типу можно отнести задачи. где «обслуживание» заключается в обнаружении кзкого-либо объекта радиолокатором, если объект с какой-то вероятностью может быть обнаружен при каждом цикле обзора. Показательным законом хорошо описываются и те случаи, когда плотность распределения времени обслуживания по тем или иным причинам убывает при возрастании аргумента 1. Это бывает, когда основ;ая масса заявок обслржнаяетсч очень быстро, а значительны ° аадержки в обслуживании наблюдаются редко.
Рассмотрим, например, окно почтового отделения, где продаются марки и конверты, а также принимаются почтовые отправления и переводы. Основная масса посетителей покупает марки или конверты и обслуживается очень быстро. Реже встречаются заявки на отправление ааказных писем, они обслуживзются несколько дольше. Переводы посылаются еще реже и обслуживаются еще дольше. Наконец, в самых редких случаях представители организаций отправляют сразу большое количество писем, Гистограмма распределения времени обслуживания имееТ' вид, представленный на рис, 19 6.6.
Так как плотность рас- 537 МАРКОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС пределения убывает с возрастанием 1, можно без особой погрешности выровнять распределение с помощью показательного закона, подобрав соответствующим образом его пзраметр р. Разумеется, показательный закон не является универсальным законом распределения времени обслуживания. Часто время обслуживания лучше описывается, например, законом Эрланга.
Однако, к счастью, пропускная спо-' собность и другие хвракте- у(7) ристики системы мзссового обслуживании сравнительно мало зависят от вида закона распределения, времени обслуживания, а зависят, главным образом, от его среднего значения т, . Поэтому в ыь теории массового обслуживания чзще всего пользуются допущением, что время обслуживания распределено по б показательному закону. Эта гипотеза позволяет сильно Рис, !9.6.3. упростить математический аппарат, применяемый для решения задач массового обслуживания.
и, в ряде случаев, получить простые аналитические формулы для характеристик пропускной способности системы. 19.7. Марковский случайный процесс Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о показательном распределении времени обслуживания ценны тем, что позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых мзрковских случайных процессов. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским (или процессом беэ последействия), если для каждого момента времени верояпгноспгь любого гогпгоякггя госте.чы в будуи(вм зависит только от состояния системы в настоягииа момент (ьв) и нв зависит от того, каким обРазам система пришла в ато состояние.
Рассмотрим элементарный пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс Ок случайным образом перемешается точкз Х. В момент времени ~ = 0 точка Х находится в начале координат (м=О) в остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб — точкз Х перемещается на одну едииииу длины вправо, если цифра — влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение, ВЗВ элвмвнты творим массового овслэживания 1гл ю и т.
д. Процесс ивмеиения положения точки (или, как говорят, «блужданняз) представляет собой случайный процесс с дискретным временем (/=О. 1, 2, ...,) и счетным множеством состояний хо —— О; хг —— 1; х,= — 1; ха=2; х г — — — 2; ... Схема воаможных переходов для этогЬ процесса показана на рис. 19 7.1. Покажем, что этот процесс — марковский. Действительно, представим 'себе, что в кзкой-то момент времени /е система находится, например, в состоянии х,— на одну единицу правее начала координат.
Возможные положения точки через единицу времени будут хе и хг с вероятностями 1/2 и 1/2; через две единицы — х,, хц хз с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 и так далее. Очевидно, все эти вероятности зависят только от того, где находится точка в данный момент /е. и совершенно не зависят от того. как она пришла туда. Рис. 19.7.1, Рассмотрим другой пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
