Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим, что так обстоит дело и со всеми физическими процессами, которые мы называем «стационарными»: в действительности все они стационарны лишь на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности — лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения анализа. Во многих задачах теории массового обслуживания представляет интерес проанализировать работу системы при постоянных условиях; тогда задача решается для стационарного потока заявок.
2. Условие отсутствия последействня — наиболее существенное для простейшего потока — означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия после- действия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например. поток пассажиров, п о к и д а ю щ и х станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.
Вообще нужно заметить, что выходной поток (или поток обслу:ке..пых заявок). покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. г(г о г убедиться в этом, рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания, для которой время обслуживания одной заявки вполне определено и равно ~,а. Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками, покидающими систему, будет равен 1,а. Нетрудно убедиться, что наличие такого минимального интервал» неизбежно приводит к послелействию. Лействительно, пусть стало известно, что в какой-то момент 1г систему покинула обслуженная заявка. Тогда могкно утверждать с достоверностью, что на любом Участке вРемени т, лежащем в пРеделах (~г, ~,+1,а), обслУженной 522 элементы теОРии мАссОВОго ОБслужиВАния [гл.
1а заявки не появится; значит, будет иметь место зависимость между числами событий на неперекрываюшихся участках. Послелействие, присущее выходному потоку, необходимо учитывать, если этот поток является входным для какой-либо другой системы массового обслуживания (так называемое <многофазозое обслужнваниез, когда одна и та же заявка последовательно переходит из системы в систему).
Отметим, между прочим, что самый простой на первый взгляд регулярный поток, в котором события отделены друг от друга равными интервалами, отнюдь не является «простейшим» в нашем смысле слова, так как в нем имеется ярко выраженное последействне: моменты появления следующих лруг за другом событий связаны жесткой, функциональной зависимостью. Именно из-за наличия последействия анализ процессов, протекающих в системе массового обслуживания при регулярном потоке заявок, гораздо сложнее, чем при простейшем.
3. Условие ординарности означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток атак, которому подвергается воздушная цель в зоне действия истребительной авиации. будет ординарным, если истребители атакуют цель поодиночке, и не будет ординарным, если истребители идут в атаку парами. Поток клиентов, входящих в парикмахерскую, может считаться практически ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака. Если в неординарном потоке ааявки поступают только парами, только тройками и т.
д., то неординарный поток легко свести к ординарному; для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рассмотреть поток пар, троек и т. д. Сложнее будет, если каждая заявка случайным образом может оказаться двойной, тройной и т. д. Тогда уже приходится иметь дело с потоком не однородных, а разнородных событий. В дальнейшем мы для простоты ограничимся рассмотрением орлинарных потоков. Простейший поток играет среди потоков событий Вообще особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона срслн лругьх зааонон раннпнлеааннн, бн1 знаем. нго пгн су» и ровании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина. приближенно распределенная по нормальному закону. Аналогично можно доказать, что при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему.
должпь' аля этого соблюдаться. аналогичны усаоьннч центральной предельной теоремы, а именно — складываемые потоки должны оьазыьагь на с) мму приблизительно равномерно малое влияние. гдм поток сОБытии. ппостеишип потОк н иго своиствл 323 Не доказывая этого положения и даже не формулируя математически условия, которым должны удовлетворять потоки '), проиллюстрируем его элементарными рассуждениями. Пусть имеется ряд независимых потоков Пи П,, ..., П„(рис. 19.3.2). «Суммирование» потоков состоит в том, что все моменты появления событий сносятся на одну н ту же ось 01, как показано на рис.
19.3.2. Ю 1О, !') Ю г е ! к 8 ! ()з ! 1 1 ! 1 !аз 1 1 ! 11 !! 1 пм, 1 1! ! ! !1 !1 а ! 1 1! 1111 1! !! !! 1! 111 11 !»1!! 1 1 1!!! !Яп1 !11 1 111111111!1 11 111 1 11 !1 Рнс, 19.3.2 Предположим, что потоки П! Пе.... сравнимы по своему влиянию на суммарный поток (т. е. имеют плотности одного порядка), а число их достаточно велико. Предположим, кроме того, что эти потоки стационарны и ординарны, но каждый из них может иметь после- действие, и рассмотрим суммарный поток (! 9.3.1) на осн 01 (рис. 1 9.3.2). Очевидно, ч!о поток П дол!кен былъ сщпнонарным и ординарным, так как каждое слагаемое обладает этим свойством и онн независимы, Кроме того, достаточно ясно, что при увеличении числа слагаемых последействие в суммарном потоке.
даже если оно значительно в отдельных потоках, должно постепенно слабеть. Действительно, Рассмотрим на оси 01 дза неперекрывгющихсч отрезка е! и ез (рнс. 19.3.2). Каждая из точек, попадающих в эти ') Ся. Л. Я. Х пи чин, кМзтемзти!еские методы теории массового обслуживания», 1955. 524 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1Э отрезки, случайным образом может оказаться принадлежашей тому или иному потоку, и по мере увеличения л удельный вес точек, принадлежащих одному и тому же потоку (и, значит, зависимых), лолжен уменьшаться, а остальные точки принадлежат разным потокам и появляются на отрезках ти тз независимо друг от друга. Достаточно естественно ожидать, что при увеличении н суммарный поток будет терять последействие и приближаться к простейшему.
Ряс. !9.3.3. На практике оказывается обычно достаточно сложить 4 —:5 потоков, чтобы получить поток, с которым можно оперировать как с простейшим. Просгейший поток играет в теории массового обслуживания особенно важную роль. Во-первых, простейшие и близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике (причины этого изложены выше). Во-вторых, даже при потоке заявок, отличающемся от простейшего, часто можно получить удовлетворитечьные по точности результаты, заменив поток любой структуры простейшим с той же плотностью.
Поэтому займемся подробнее простейшим потоком и его свойствами. Рассмотрим на оси 01 простейший поток событий П (рис. 19.3.3) как неограниченную последовательность случайных точек, Выделим произвольный участок времени длиной т. В главе 5 (п'5.9) мы доказали, что при условиях 1, 2 и 3 (стацнонарность, отсутствие последействия н ординарность) число точек, попадавших на участок ч. распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием а =)1т, (19,3.2) где )г — плотность потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени).
равна () ( ) аы т1 В частности, вероятность того, что участок окажется пустым(не произойдет ни одного события), будет )оз(т) = е-1'. (19.3. 4) Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями. Рассмотрим случай- 1оя поток сОБытий. поостейший поток и его свонстзл 525 Перейдем к вероятности противоположного события 1 — Р(1) =Р(Т) Г). Это есть вероятность того, что на участке времени длиной г, начи. нающемса в момент Го поЯвлениЯ одного нз событий потока. не поЯвитсЯ ни одного из последующих событий.
Так как простейший поток не обладает последействием, то наличие в начале участка (в точке 1о) какого-то события никак не влияет на вероятность появления тех или других событий в дальнейшем. Поэтому вероятность Р(Т) 1) можно гФ вычислить по формуле (19,3.4) Ро(Т) = е-"'. откуда Р(1) 1 — е-и (1 > О). (19.3.5) Дифференцируя, найдем плотность распределения ~(1) =Ле-ы (Т) О). (19.3.6) Закон распределения с плот- Рвс, 19.3.4, пастью (19.3.6) называется показательным законом, а величина т — его параметром. График плотности у'(1) представлен на рис. 19.3.4. Показательный закон, как мы увидим в дальнейшем, играет большую роль в теории дискретных случайных процессов с непрерывным временем.
Поэтому рассмотрим его подробнее. Найдем математическое ожидание величины Т. распределенной по показательному закону: ОЭ лб = Я 1Т) = ~ Т 7 (11 ао = Л ~ Те - м г(г о о или, интегрируя по частям, 1 Ш с — Л Дисперсия величины Т равна (19.3.7) гг =й(Т)=~1о~фй — . = ЛТте-ИФ вЂ” —, ную величину Т вЂ” промежуток времени между произвольными двумя соседнимн событиями в простейшем потоке (рис, 19.3.3) н найдем ее функцию распределения Р (1) = Р (Т ( Т). откуда 1 0 =— 1 12 ° (19.3.
8) 1 е —— 1 — Е (19.3.9) Докажем одно замечательное свойство показательного закона Оно состоит в следующем: если п ро межу то к времени, распределенныйый по показательному закону. уже длился некоторое время ч, то это никак не влияет на закон распределения оставаейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т. Для доказательства рассмотрим случайный промежуток времени Т с функпией распределения Р (Г) = 1 — еч м (19.3.! 0) и предположим, что этот промежуток уже продолжается некоторое время ч, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
