Теория вероятности. Вентцель Е.С (4-е издание) (1082431), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Таким образом, процесс функционирования системы массового обслуживания представляет собой с л у ч а й н ы й п р о ц е с с. Чтобы дать рекомендации по рациональной органиэации системы, выяснить ее пропускную способность и предъявить к ией требования, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, и описать его математически. Этим и занимается теоРия массового обслуживания, Заметим, что за последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с «обслуживающими организациями» з буквальном смысле слова.
Многие задачи автоматизации производства оказываются близкими к теории массоврго обслул<нвания: потоки деталей, поступающих для выполнения над ними различных операций, могут рассматриваться как «потоки заявокл, ритмичность поступления которых нарушается за счет случайных причин. Своеобразные эачачн теория массового обслуживания возникают в связи с проблемой организации транспорта и системы сообщений. Близкими к теории массового обслуживания оказываются и задачи.
относящиеся к надежности технических устройств: такие их характеристики, как среднее время безотказной работы, потребное количество запасных деталей, среднее время простоя в связи с ремонтом и т. д., определяются методами, непосредственно ааимстзованными нз теория массового обслуживания, Проблемы, родственные задачам массового обслуживания, постоянно возникают в военном деле. Каналы наведения, линии связи, аэродромы, устройства для сбора и обработки информации представляют собой »221 случдянь»я пгоцесс со счетным мнОжестВОм сОстОяния 517 своеобразные системы массового обслуживания со своим режимом работы и пропускной способностью.
Трудно даже перечислить все области практики, в которых находят применение методы теории массового обслуживания. За последние годы она стала одной из самых быстро развивающихся ветвей теории вероятностей. В настоящей главе будут изложены некоторые элементарные сведения по теории массового обслуживания, знание которых необходимо любому инженеру, занимающемуся вопросами организации в области промышленности, народно~о хозяйства, связи, а также в военном деле.
19.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний Случайный процесс, протекающий в системе массового обслуживания, состоит в том, чго система в случайнь»е моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок, стоящих в очереди, и т, п. Такой процесс существе»що отличается от случайных процессов, которые мы рассматривали в главах 15 — !7. Лело в том, что система массового обслуживания представляет собой физическую систему д н с к р ет н о г о т и п а с конечным (или счетным) множеством состояний' ), а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком, в момент, когда осуществляется какое-то событие (поиход новой заявки, освобождение канала, уход заявки из очереди и т.
п.). Рассмотрим физическую систему Х со счетным множеством состояний В любой момент времени 1 система Х может быть а одном из этих состояний. Обозначим ра(1) (а = 1, 2, ..., л, ...) вероятность того, что в момент 1 система будет находиться в состоянии х„. Очевидно, (1 9.2.!) Совокупность вероятностей р (г) для каждого момента време и г характеризует данное сечение случайного процесса, протекающего в снчс.
Э; г" »'»'щ»«" не Рч»я гсч н«чгрпывающей хапакг-чнс»щ; 1 процесса (она, например, совсем не отражает зависимости между сечениями), но все же достаточно хорошо описывает процесс и для ряда практических применений оказывается достаточной. Случайные процессы со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным или непрерывным временем. Первые отличаются тек», что переходы из состояния в состояние могут поонсходить ') В иа»еиатнке «счетным» называется конечное нлн бесконечное множество, члены которого мозщо вереиумеровать, т.
е. записать в виде последовательности аь а,, ..., а„, ... 518 ВЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ 1Э только в строго определенные. разделенные конечными интервалами моменты времени Ги Гм ... Случайные процессы с непрерывным временем отличаются тем, что переход системы из состояния в состояние возможен в любой момент времени Г. В качестве примерз дискретной системы Х, в которой протекает случайный процесс с непрерывным временем,-рассмотрим группу из и самолетов, совершающих налет на территорию противника, обороняемую истребительной авиацией, Ни момент обнаружения группы, нн моменты подъема по ней истребителей заранее не известны. Различные состояния системы соответствуют различному числу пораженных самолетов в составе группы: ха — не поражено ни одного самолета, х, — поражен ровно один самолет, ла — поражено ровно В самолетов, х„ — поражены все а самолетов.
Схема возможных состояний системы и воаможных переходов из состояния в состояние показана на рис. 19.2.1. Стрелками показаны возможные переходы системы из состояния в состояние. Закругленная стрелка, направленная иэ состояния х» в него же. означает, что система может не только перейти в соседнее Рис. 19.2.!. состояние х„+,, но н остаться в прежнем. Для данной системы характерны н е о б р а т и м ы е п е р е х о д ы (пораженные самолеты не восстанавливаются); в связи с этим из состояния х„"никакие переходы в другие состояния уже невозможны.
Отметим, что на схеме возможных переходов (рис. 19.2.1) показаны только переходы нз состояния в соседнее состояние и не пока- а иы югерескоки» через состояние: этн перескоки отброшены как практически невозможные. Действительно, для того чтобы система «нерескочнла» через состояние. нужно. чтобы строго одновременно были поражены два или более самолета, а вероятность такого события равна нулю. Случайные гроцессы, протекающие В системах массового Обслуживзния, как правило, представляют собой процессы с непрерывным временем.
Это связано со случайностью потока заявок. В противоположность системе с необратнмымя переходами, рассмотренной з предыдущем примере, для системы массового обслуживания характерны ыж слзчлнныи паоиясс со счятным множяством состояний 519 обратимые переходы: занятый канал может освободиться, очередь может «рассосаться». В качестве примера рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания (например, одну телефонную линию), в которой заявка, заставшая канал занятым, не становится в очередь, а покидает систему (получает «откааэ).
Это — дискретная система с непрерывным временем и двумя возможнымн состояниями: ха — канал свободен, х, — канал занят. Переходы из состояния в состояние обратимы. Схема возможных переходов показана на рис. 1 9.2.2. Х Р Х Ф .гч Хх ' ' ' Х„ е хп Рнс, !9.2.2, Рнс. !9.2.3. Для а-канальной системы такого же типа схема возможных переходов показана на рис. 19.2.3. Состояние хе — все каналы свободны; х, — занят ровно один канал, ха — занято ровно два канала и т. д. Рассмотрим еще один пример дискретной системы с непрерывным временем: одноканальную систему массового обслуживания, которая может находиться в четырех состояниях: хс †кан исправен и свободен. х, — канал исправен и занят, л †кан неисправен и ждет ремонта, хз — канал неисправен н ремонтируется.
Схема возможных переходов для этого случая показана на рис. 19.2.4 '). Переход системы из хз непосредственно в хн минуя хе, можно считать практически невозможным, так как для этого нужно, чтобы окончание ремонта и приход очередной заявки произошли строго в один и тот же момент времени. Д. я того чтобы оппсать спг юйний процесс, протекающий в дискретной системе с непрерывным хг хх временем, прежде всего нужно проанализировать причины, вызывающие переход системы из состояния в состояние.
Для системы массового обслужи- Рнс. !9.2.4. ванна ос~о~ими ф~~~ором, обусловлнзающим протекающие з ней процессы, является поток заявок, Поэтому математическое описание любой системы массового обслуживания начинается с описания потвеа заявок.
) Схема составлена в предаото,«снам, что нграбстающпй хюыл выйтн нз строя не может. 320 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ [ГЛ. 1Э 19.3. Поток событий. Простейший поток и его свойства Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различаю- шихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек ги га, ..., Га, ...
на числовой оси (рис. 19,3.1), соответствующих моментам появления событий. с, Рис. !9.3.1. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени, Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.
В настоящем и' мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений. 1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной -. (рис. 19.3.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси Ос расположен этот участок. 2. Поток событий называется потоком без последейстаия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числз событий, попадающих на другие. 3.
Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания иа элементарный участок аг двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стапионаоным пуяссоновским) пп»оком. Назяясс е «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-+-3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона (см. и' 3.9). тиз1 поток совытии. пгоствпшип поток и его свопства 521 Рассмотрим подробнее условия 1 —: 3, посмотрим, чему они соответствуют для потока заявок и за счет чего они могут нарушаться.
1. Условию стационарности удзвлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
