Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Используя свойство 3, получим:1 ⎞ 1 7 1711⎞ ⎛ 111⎛MZ = M (ξ + η ) = Mξ + Mη = ⎜ − 1 ⋅ + 0 ⋅ + 1 ⋅ ⎟ + ⎜ 2 ⋅ + 1 ⋅ + 0 ⋅ ⎟ = + =.z6 ⎠ 4 6 1222⎠ ⎝ 344⎝§3. Дисперсия. Моменты высших порядковОпределение. Моментом k-го порядка называется выражение, вычисляемое поформулам:а) для дискретной случайной величины:Mξ k = ∑ xik pi ,(6.3.1)iб) для непрерывной случайной величины:Mξ =k+∞∫xkp ( x)dx .(6.3.2)−∞Для существования момента к-ого порядка необходимо:а) для дискретной случайной величины — абсолютная сходимость ряда∑ xik pi < ∞ ,(6.3.3)iб) для непрерывной случайной величины — абсолютная сходимость интеграла+∞∫xkp ( x)dx < ∞ .(6.3.4)−∞Поскольку ξ k −1 ≤ ξ k + 1 , то из существования момента к-го порядка вытекает су-ществование момента (к-1)-го порядка и, следовательно, всех моментов меньших порядков.0Определение.

Момент k-го порядка величины ξ = ξ − Mξ называется центральным моментом k-го порядка.Особую роль играет второй центральный момент, который называется дисперсиейи обозначается Dξ .Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется математическоеожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:46Dξ = M (ξ − Mξ ) .Свойства дисперсии.1.

Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е.22DC = M (C − MC ) = M (C − C ) = M 0 = 0 . „2. Дисперсия является неотрицательной величиной, т.е. Dξ ≥ 0 .3. Для любых действительных чисел a и b справедливо равенствоD(aξ + b ) = a 2 Dξ + b .Доказательство. Из свойства 2 математического ожидания получаем:22D(aξ + b ) = M (aξ + b − M (aξ + b )) = M (aξ + b − aMξ − b ) =2(6.3.5)= M (aξ − aMξ ) = a 2 M (ξ − Mξ ) = a 2 Dξ .224. Dξ = Mξ − (Mξ ) .Доказательство. Используя определение дисперсии и свойства 2 и 3 математического ожидания, получаем:222Dξ = M (ξ − Mξ ) = M ξ 2 − 2ξ Mξ + (Mξ ) = Mξ 2 − M (2ξ Mξ ) + M (Mξ ) =„22(= Mξ 2 − 2(Mξ ) + (Mξ ) = Mξ 2 − (Mξ ) .22)()2„5. Если ξ и η независимые случайные величины, дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий случайных величин, т.е.D(ξ + η ) = Dξ + Dη .Доказательство. Если ξ и η независимые случайные величины, то и случайные00величины ξ = ξ − Mξ и η = η − Mη будут независимыми.

Тогда, используя свойства 2-4математического ожидания, получаем:222D(ξ + η ) = M (ξ + η − M (ξ + η )) = M ((ξ − Mξ ) + (η − Mη )) = M (ξ − Mξ ) ++ 2 M ((ξ − Mξ )(η − Mη )) + M (η − Mη ) = Dξ + 2M (ξ − Mξ ) M (η − Mη ) + Dη == Dξ + Dη .2„Очевидно, что дисперсия Dξ имеет размерность квадрата случайной величины ξ .Для практических же целей удобно иметь числовую характеристику, размерность которойсовпадает с размерностью ξ .Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины ξ называется выражение, вычисляемое по формуле:σ = Dξ .(6.3.6)Пример 12. Найти дисперсию случайной величины ξ , плотность которой имеетвид (равномерно распределенной на отрезке [a ,b] ):⎧ 1,⎪p(x ) = ⎨ b − a⎪⎩0,x ∈ [a ,b] ,x ∉ [a ,b]. Решение.

Используя определение дисперсии Dξ = M (ξ − Mξ ) , формулу длявычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 4,получаем:247(b − a ) .zb+a⎞ 1⎛2dx =Dξ = M (ξ − Mξ ) = ∫ ⎜ x −⎟2 ⎠ b−a12a⎝2b2Пример 13. Найти дисперсию случайной величины ξ , распределенной по нормальному закону с параметрами m ,σ 2 (см. Пример 4).() Решение. Используя определение дисперсии Dξ = M (ξ − Mξ ) , формулу длявычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 5,получаем:2Dξ = M (ξ − Mξ ) =2Делаем замену t =x−mσ+∞∫ (x − m )−∞21eσ 2π−( x − m )22σ 2dx .(6.3.5)или x = m + tσ , при этом dx = σ dt . В этом случае выражение(6.3.5) примет вид:=σ+∞∫−∞t22πe−t 22dt = σ+∞2∫−∞t2πd ( −e−t22)=σ2−t2πe−t22+∞+σ−∞+∞2∫−∞12πe−t22dt = 0 + σ 2 = σ 2 .

zПример 14. При условии примера 11 найти дисперсию случайной величины Z . Решение. Рассмотрим 1 способ нахождения дисперсии, используя ряд распределения случайной величины Z , найденный в примере 12,ZP31/621/317/2401/6-11/24и свойство 4 дисперсии, получим:1 1911712MZ 2 = 3 2 ⋅ + 2 2 ⋅ + 12 ⋅+ 0 2 ⋅ + (− 1) ⋅= ,6324624 6219 ⎛ 17 ⎞16722DZ = MZ − ( MZ ) =−⎜ ⎟ =.6 ⎝ 12 ⎠14417Напомним, что математическое ожидание MZ =было найдено в примере 12.12Перейдем ко второму способу нахождения математического ожидания случайнойвеличины Z = ξ + η .

Используя свойство 5 дисперсии случайной величины, получим:1111 3Mξ = , Mξ 2 = 1 ⋅ + 0 ⋅ + 1 ⋅ = ,4442 47111 11Mη = , Mη 2 = 4 ⋅ + 1 ⋅ + 0 ⋅ = ,6326 63 1 1111 17 167Dξ = Mξ 2 − ( Mξ ) 2 = − = , Dz = D(ξ + η ) = Dξ + Dη =.z+=4 6 1616 36 14448Глава 7. Элементы математической статистики§1. Основные понятия и основные задачи математическойстатистикиВ математической статистике исследуются способы получения выводов на основеэмпирических (опытных) данных. Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.Определение. Генеральной совокупностью называются все возможные результаты наблюдений, которые могут быть сделаны при данном комплексе условий.В некоторых задачах генеральную совокупность рассматривают как случайную величину X . Примером генеральной совокупности может быть все население страны.

Вэтой совокупности нас могут интересовать, например, возраст жителей. Другим примеромгенеральной совокупности являются детали, изготовленные на данном станке. Эти деталимогут быть качественными и бракованными.Определение. Выборочной совокупностью (выборкой) называется множество результатов, случайно отобранных из генеральной совокупности.Выборка должна быть репрезентативной, т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Это достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными.Определение. Число объектов в совокупности (генеральной или выборочной) называется ее объемом.Объем генеральной совокупности обозначим символом N , а объем выборочнойсовокупности обозначим символом n . При этом подразумевается, что n << N .Заметим, что сам процесс выбора можно осуществлять разными способами: выбравобъект и определив его значение, изымать объект и не допускать к последующим испытаниям (выборка без возвращения); после определения его значения объект возвращается вгенеральную совокупность (выборка с возвращением).

Очевидно, что при достаточнобольшом объеме генеральной совокупности исчезает различие между выборками с возвращением и без возвращения. Будем рассматривать случай бесконечно большого объемагенеральной совокупности.Основные задачи математической статистики:1. Оценка значения неизвестной вероятности случайного события;2. Определение неизвестной теоретической функции распределения;3. Определение неизвестных параметров распределения теоретической функциираспределения;4.

Проверка статистических гипотез;5. Оценка зависимости.§2. Простейшие статистические преобразованияДля обоснованных статистических выводов необходимо иметь выборку достаточнобольшого объема n . Очевидно, что использование и хранение такой выборки весьма затруднительно. Чтобы избавиться от данных проблем, используют понятие статистики.Определение. Статистикой S = (S1 , S 2 ,..., S n ) называется произвольная k-мернаяфункция от выборки X 1 , X 2 ,..., X n :49S1 = S1 ( X 1 , X 2 ,..., X n ),...S k = S k ( X 1 , X 2 ,..., X n ).Как функция от случайного вектора ( X 1 , X 2 ,..., X n ) статистика S = (S1 , S 2 ,..., S n )также будет случайным вектором.Определение. Вариационным рядомX 1∗ , X 2∗ ,..., X n∗является выборкаX 1 , X 2 ,..., X n , элементы которой расположены в порядке возрастания элементов:X 1∗ ≤ X 2∗ ≤ ...

≤ X n∗ .Очевидно, что данное преобразование не приводит к потере информации относительно теоретической функции распределения.Для величин X 1∗ и X n∗ употребляют название «крайние члены вариационного ряда».Определение. Размахом варьирования называется разность между крайними членами вариационного ряда, т.е.R = X n∗ − X 1∗ .(7.2.1)Если среди элементов выборки X 1 , X 2 ,..., X n имеются одинаковые, что происходитпри наблюдении дискретной случайной величины, то целесообразно произвести группировку данных.Определение. Значение выборки X 1 , X 2 ,..., X n , соответствующее отдельной группесгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется частотой иливесом варианты.Если i — индекс варианты, то ni — число значений i -ой варианты.Определение.

Отношение частоты ni к общей сумме всех частот∑ni= n называ-ni.nОпределение. Статистическим рядом называется расположенная по возрастаниюсовокупность различных вариант Z i , представляющих выборку X 1 , X 2 ,..., X n , с соответствующими им частотами или относительными частотами.При наблюдении непрерывной случайной величины используют интервальный ряд.В этом случае весь возможный интервал, которому принадлежат значения выборки, разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попаданияэлементов выборки в каждый частичный интервал.Определение.

Интервальным рядом называется упорядоченная последовательность интервалов с соответствующими им частотами или относительными частотами попадания элементов выборки в каждый из этих интервалов.Пример 1. В городе A для определения сроков гарантированного обслуживанияпроведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет.

Характеристики

Список файлов книги