Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 4
Текст из файла (страница 4)
z§4. Формула полной вероятностиОпределение. События H 1 ,… , H n образуют полную группу несовместных событий (являются гипотезами), если они удовлетворяют двум требованиям: они попарно несовместны, т.е. H i H j = ∅ при i ≠ j ;в результате опыта одно из событий обязательно должно произойти, т.е.H1 ∪ H 2 ∪ … ∪ H n = Ω .Пусть имеется некоторое событие A и известны вероятности P( H 1 ),… , P( H n ) иусловные вероятности P (A H 1 ),… , P ( A H n ) .
Найдем вероятность P( A) .18Событие A можно представить в виде (рис. 3.3):A = AΩ = A(H 1 ∪ H 2 ∪ … ∪ H n ) = AH 1 ∪ AH 2 ∪ … ∪ AH n ,причем события ( AH i )(AH j ) = ∅ при i ≠ j , т.е. события AH i и AH j несовместны.Тогда по аксиоме сложения:P ( A) = P( AH 1 ) + P( AH 2 ) + … + P( AH n ) .Далее, применяя теорему умножения вероятностей P ( AH i ) = P (H i )P (A H i ) , получаем:P ( A) = P(H 1 )P (A H 1 ) + P(H 2 )P (A H 2 ) + … + P (H n )P ( A H n ) .(3.4.1)Это и есть формула полной вероятности.Пример 11.
Имеются две урны: в первой a белых и b черных шаров; во второй cбелых и d черных шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар.После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будетбелым. Решение. Пусть искомое событие A — вынут белый шар. Рассмотрим следующие гипотезы:H 1 — переложен белый шар;H 2 — переложен черный шар.Очевидно, чтоba;,P (H 2 ) =P (H 1 ) =a+ba+bcc +1,P(A H 2 ) =P (A H 1 ) =.c + d +1c + d +1Теперь по формуле полной вероятности (3.4.1) получаем:ac +1bc+P ( A) = P(H 1 )P (A H 1 ) + P(H 2 )P ( A H 2 ) =.za + b c + d +1 a + b c + d +1Пример 12. В условиях предыдущей задачи из первой урны перекладывают сразутри шара (предполагается, что a ≥ 3 и b ≥ 3 ).
Найти вероятность того, что шар, взятый извторой урны, будет белым.19 Решение. Пусть искомое событие A — вынут белый шар. Рассмотрим гипоте-зы:H 1 — вынутый шар принадлежит 1-ой урне;H 2 — вынутый шар принадлежит 2-ой урне.Так как во второй урне 3 шара принадлежат 1-ой урне, а c + d принадлежат 2-ой,то вероятности гипотез равны:3c+dP (H 1 ) =, P (H 2 ) =.c+d +3c+d +3Вероятность появления белого шара из первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первой урны или после перекладывания во вторую.Следовательно, условная вероятность появления белого шара при условии того, что онизначально находился в первой урне, равна:a.P (A H 1 ) =a+bАналогично условная вероятность появления белого шара при условии того, что онизначально находился во второй урне, равна:c.P(A H 2 ) =c+dПо формуле полной вероятности (3.4.1) получаем:ac+dc3P ( A) = P(H 1 )P (A H 1 ) + P(H 2 )P ( A H 2 ) =.z+c+d +3 a+b c+d +3 c+dПример 13.
Среди 30 экзаменационных билетов: 25 «хороших» и 5 «плохих». Какова вероятность, отвечая вторым, взять «хороший» билет? Решение. Пусть искомое событие A — второй отвечающий взял «хороший»билет. Рассмотрим следующие гипотезы:H 1 — первый отвечающий взял «хороший» билет;H 2 — первый отвечающий взял «плохой» билет.Очевидно, что25 55 1P (H 1 ) == , P (H 2 ) == ;30 630 62425P (A H 1 ) =, P (A H 2 ) =.2929По формуле полной вероятности (3.4.1), получим:5 24 1 25 5P ( A) = P (H 1 )P ( A H 1 ) + P (H 2 )P( A H 2 ) = ⋅+ ⋅= .z6 29 6 29 6§5. Формула БайесаПусть имеется полная группа несовместных событий H 1 ,… , H n .
Требуется найтивероятность события H i , если известно, что событие A произошло.По определению условной вероятности (3.4.1), имеем:P( AH i ).P(A H i ) =P ( A)Далее, применяя теорему умножения вероятностей P( AH i ) = P (H i )P ( A H i ) , получаем20P (H i A) =P (H i )P( A H i ).(3.5.1)P ( A)Последняя формула называется формулой Байеса или формулой гипотез (событияH 1 ,… , H n называют еще гипотезами).Если после опыта, который заканчивается появлением события A , производитсяеще один опыт, в котором появляется или не появляется событие B , то условная вероятность этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которуюподставлены не прежние вероятности гипотез P(H i ) , а новые P (H i A):nP (B A) = ∑ P(H i A)P(B H i A) .(3.5.2)i =1Пример 14.
Имеются три урны: в первой — a белых и b черных шаров; во второй — c белых и d черных шаров, в третьей — k белых шаров. Выбирается наугад урнаи из нее вынимается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шарвынут из первой, второй или третьей урны. Решение. Пусть искомое событие A — вынутый шар белый. Рассмотрим следующие гипотезы:H 1 — выбрана первая урна;H 2 — выбрана вторая урна;H 3 — выбрана третья урна.Очевидно, что:1P ( H 1 ) = P ( H 2 ) = P (H 3 ) = .3Условные вероятности равны:ca, P(A H 3 ) = 1 ., P(A H 2 ) =P(A H 1 ) =c+da+bПо формуле полной вероятности (3.4.1), находим, что31 a1 c1++ 1.P ( A) = ∑ P (H i )P (A H i ) =3 a+b 3 c+d 3i =1По формуле Байеса (3.5.1), находим:1 aaР(Н 1 )Р( А Н 1 )3 a+ba+b.==P(H 1 A) =ac1⎛ acР ( А)⎞++1++ 1⎟⎜3⎝ a +b c + d⎠ a+b c+dАналогично получаем, чтос1с+d, P (H 3 A) =.zP (H 2 A) =acac++1++1a+b c+da+b c+dПример 15.
Имеются две урны: в первой — a белых и b черных шаров; во второй — c белых и d черных шаров. Выбирается наугад одна из урн и из нее вынимаетсяодин шар. Этот шар оказался белым (событие А). найти вероятность того, что следующийшар, который мы вынимаем из той же урны, будет тоже белым(событие В). Решение. Рассмотрим следующие гипотезы:H 1 — выбрана первая урна;H 2 — выбрана вторая урна.21Очевидно, что вероятности выбора урн равны:1P ( H 1 ) = P (H 2 ) = .2Находим условные вероятности:ca., P(A H 2 ) =P (A H 1 ) =c+da+bПо формуле полной вероятности (3.4.1), получаем:c ⎞1⎛ a+P ( A) = P(H 1 )P (A H 1 ) + P(H 1 )P ( A H 2 ) = ⎜⎟.2⎝a+b c+d ⎠По формуле Байеса (3.5.1), получаем:сaР(Н 1 )P( A H 1 )с+da+b.P (H 1 A) ==, P (H 2 A) =acacР ( А)++a+b c+da+b c+dДалее применяем (3.5.2):P (B A) = P(H 1 A)P(B H 1 A) + P(H 2 A)P(B H 2 A) .Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна, и из нее вынут белый шар:a −1.P (B H 1 A) =a + b −1Аналогично:c −1P (B H 2 A) =.c + d −1В итоге:⎞⎛1a(a − 1)c(c − 1)⎟.z⎜⎜+P (B A) =ac ⎝ (a + b )(a + b − 1) (c + d )(c + d − 1) ⎟⎠+a+b c+d22Глава 4.
Схема независимых испытаний. Схема Бернулли§1. Формула БернуллиОпределение. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два исхода, и вероятности исходов остаютсянеизменными для всех испытаний.Обычно эти две вероятности обозначаются через p и q , исход с вероятностью pназывают «успехом» и обозначают символом 1, а второй – «неудачей» и обозначают символом 0. Очевидно, что p и q должны быть неотрицательными и должно выполнятьсяравенствоp + q = 1.(4.1.1)Пространство элементарных исходов каждого отдельного испытания состоит издвух исходов 1 и 0.
Очевидно, пространство элементарных исходов n испытаний Бернулли содержит 2 n последовательностей из n символов 1 и 0. Так как испытания независимы, то вероятности перемножаются, т. е. вероятность любой конкретной последовательности есть произведение, полученное при замене символов 1 и 0 вероятности на p и qсоответственно.
Таким образом, вероятность исхода (11001...0111) равна:P(11001...0111) = ppqqp ...qppp .Но на практике нас, как правило, интересует не порядок появления успехов в последовательности n испытаний Бернулли, а их общее число.Теорема. Вероятность p n (m ) того, что в n испытаниях Бернулли число успеховравно m , вычисляется по формуле(4.1.2)p n (m ) = C nm p m q n − m ,где p — вероятность «успеха», а q — вероятность «неудачи».Доказательство. Событие «в n испытаниях Бернулли число успехов равно m ичисло неудач — n − m » содержит столько элементарных исходов, сколько существуетспособов размещения m символов на n местах, т.е. C nm . А так как вероятность конкрет-ной последовательности, содержащей m символов 1, равна p m q n −m , то в итоге получаем:p n (m ) = C nm p m q n − m . Число успехов в n испытаниях обозначают через S n , тогда p n (m ) = P(S n = m ) .Очевидно, что S n есть случайная величина, а функция (4.1.2) является «распределением»этой случайной величины. Будем называть это распределение биномиальным.
Слово биномиальное отражает тот факт, что (4.1.2) представляет собой m-й член биноминальногоnразложения ( p + q ) . Отсюда следует, чтоn∑Cm =0nmp m q n−m = ( p + q ) = 1 .mПример 1. Стрелок попадает в мишень с вероятностью p = 0,8 . Найти вероятностьтого, что в результате пяти независимых выстрелов стрелок попадает:a) ровно четыре раза;б) не менее трех раз. Решение. Для решения данной задачи применим формулу (4.1.2), в которой:n = 5; p = 0,8; q = 1 − p = 1 − 0,8 = 0 ,2 .а) Число успехов равно m = 4 .
Таким образом, искомая вероятность:235!(0,8)4 (0,2)1 = 0,4096 .4!1!б) Обозначим p5 (≥ 3) — вероятность попадания не менее трех раз из пяти.p5 (4 ) = C 54 (0 ,8) (0 ,2 )5− 44=p5 (≥ 3) = p 5 (3) + p5 (4 ) + p5 (5) = C 53 (0 ,8) (0 ,2 ) + C 54 (0 ,8) (0 ,2 )5!(0,8)3 (0,2)2 + 5! (0,8)4 (0,2) + 5! (0,8)5 = 0,9415 . z=5!0!4!1!3!2!5−3345− 4+ C 55 (0 ,8) (0 ,2 )55 −5=Пример 2. Сколько испытаний с вероятностью успеха p = 0,01 нужно произвести,чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше 0,5? Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
