Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В урне находятся a белых и b черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый (событие A ). Решение. Число всевозможных исходов равноn = a +b.Число благоприятных исходов равноm=a.Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаемmaP ( A) = =.zn a+bПример 2. Имеются две урны: в первой – a белых и b черных шаров; во второй –c белых и d черных шаров. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми (событие А). Решение. Каждый шар из первой урны может комбинировать с каждым шаромиз второй урны. Следовательно, число всевозможных исходов:n = (a + b )(c + d ) .Аналогично, число благоприятных исходов:m = ac .Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:7P ( A) =ac.z(a + b )(c + d )Пример 3.
Из колоды карт (36 листов) наудачу выбирается одна карта. Определитьвероятность того, что она окажется тузом (событие А). Решение. Число всевозможных исходов равно:n = 36 .Число благоприятных исходов равно числу тузов, т.е.m = 4.Таким образом, используя классическое определение вероятности, получаем:m 1P ( A) = = . zn 9§2.
Применение комбинаторного анализаТеорема. Из m элементов a1 ,… , a mmn пар (ai ,b j ) .и n элементов b1 ,… ,bn можно образоватьДоказательство. Составим из этих пар прямоугольную таблицу, состоящую из mстрок и n столбцов, так, чтобы пара (ai , b j ) стояла на пересечении i-ой строки и j-гостолбца. В этом случае каждая пара появляется один и только один раз. Число элементовтакой таблицы равно mn .
Пример 4. Найти число всевозможных исходов при бросании двух игральных костей. Решение. Очевидно, что каждый элемент пары принимает шесть значений. Следовательно, существует 6 ⋅ 6 = 36 возможных комбинаций. zОпределение. Перестановкой из n различных элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.Теорема.
Число различных перестановок из n различных элементов вычисляетсяпо формуле:Pn = n! .(2.2.1)Доказательство. Первый элемент можно выбрать n способами, второй элементможно выбрать n − 1 способами (т.к. один элемент уже выбран), третий — n − 2 способами и т.д. В итоге получим:Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1 = n! . Определение. Размещением из n различных элементов по m называется любойупорядоченный набор из m элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов.Теорема. Число различных размещений из n элементов по m вычисляется поформуле:n!.(2.2.2)Anm = n ⋅ (n − 1) ⋅ … ⋅ (n − m + 1) =(n − m )!Доказательство.
Данная теорема доказывается аналогично предыдущей теореме.Определение. Сочетанием из n различных элементов по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов, выбранных из общей совокупности в n элементов.Теорема. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:8n!.(2.2.3)(n − m )!m!Доказательство. Число сочетаний отличается от числа размещений только тем,что входящие в него элементы неупорядочены; m различных элементов можно упорядочить m! способами. Следовательно, каждому размещению соответствует m! сочетаний.Отсюда:Amn!.Anm = С nm m! или С nm = n =m! (n − m )! m!С nm =Способ выбора, приводящий к перестановкам, размещениям и сочетаниям, называется выборкой без возвращения.Рассмотрим выборку с возвращением.
В этом случае каждый взятый элемент изобщей совокупности возвращается обратно. Таким образом, один и тот же элемент можетбыть выбран несколько раз.Теорема. Число выборок k элементов с возвращением из n различных элементовравно n k .Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй такжеn способами и т.д.
В итогеn ⋅ n ⋅…⋅ n = n k . kПример 5. (Гипергеометрическое распределение). Предположим, что имеются nшаров: n1 красных и n 2 = n − n1 черных. Случайным образом выбираются r шаров. Найтивероятность того, что выбранная группа будет содержать ровно k1 красных и k 2 = r − k1черных шаров (событие А). Решение.
Число способов, которыми можно выбрать, k1 красных шаров из n1шаров ровно Сnk11 . Аналогично, число способов, которыми можно выбрать k 2 черных ша-ров из n2 равно Сnk22 = Сnr −−nk11 . Так как любой выбор красных шаров может комбинировать(составлять пару) с любым выбором черных шаров, имеем число благоприятных исходов,равное Сnk11 Сnr −−nk11 .Число всевозможных исходов равно Сnr .Используя классическое определение вероятности, получаем:С nk11 С nr−−nk11.zP ( A) =С nrТеорема. Пусть r1 ,… , rk — целые числа, такие, что r1 + r2 + … + rk = n .
Число способов, которыми множество из n элементов можно разделить на k упорядоченных подмножеств, из которых первое подмножество содержит r1 элементов, второе – r2 элементови т.д., равноn!.(2.2.4)r1 ! r2 ! … rk !Доказательство. Прежде чем доказывать теорему, заметим, что порядок подмножеств существенен в том смысле, что (r1 = 2 , r2 = 3) и (r1 = 3, r2 = 2 ) представляет собойразные разбиения; однако, порядок элементов внутри групп игнорируется.Перейдем к доказательству теоремы. Сначала необходимо выбрать r1 элементов изn ; из оставшихся n − r1 необходимо выбрать r2 элементов и т.д. Получаем:9C nr1 C nr2− r1 ⋅ … ⋅ C nrk− r1 −...− rk −1 =(n − r1 )! … (n − r1 − … − rk −1 )!n!n!.=r1!(n − r1 )! r2!(n − r1 − r2 )! rk !(n − r1 − … − rk )! r1!r2! ⋅ … ⋅ rk !Пример 6.
Колода карт (52 листа) делится поровну между четырьмя игроками.Найти вероятность того, что каждый игрок имеет туза (событие А). Решение. Используя (2.2.4), найдем число всевозможных исходов:52!52!n==.13!13!13!13! (13!)4Найдем число благоприятных исходов. Четыре туза можно упорядочить 4! способами, и каждый порядок представляет одну возможность получения одного туза каждым48!48!игроком. Оставшиеся 48 карт, согласно (2.2.4), можно распределить=12!12!12!12! (12!)448!способами. Таким образом, число благоприятных исходов равно m = 4!.(12!)4Следовательно, искомая вероятность равна48!52!P( A) = 4!:≈ 0 ,105 .
z4(12!) (13!)4Пример 7. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу несколько карт.Какое минимальное число кар нужно вынуть, чтобы с вероятностью, большей чем 0 ,5 ,можно было утверждать, что среди них будут карты одной масти. Решение. Рассмотрим события Ak — среди вынутых карт есть хотя бы две кар-ты одной масти.
Пусть k = 2 . В этом случае число всевозможных исходов равно n = С 522 .Число благоприятных исходов получаем следующим образом: выбираем масть (4 способа), затем две карты этой масти C132 , т.е. m = 4C132 .Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:4C 2 12P( A2 ) = 213 =< 0,5 .51С 52( )Пусть k = 3 . В этом случае число всевозможных исходов равно n = С 523 . Число благоприятных исходов получаем следующим образом: у нас либо две карты одной масти,либо три карты одной масти, т.е.1m = 4С132 С 39+ 4C132 .Следовательно, используя классическое определение вероятности, получаем:14С132 С 39+ 4C132P( A3 ) == 0,602 > 0,5 .С 523Таким образом, необходимо вынуть три карты.
z§3. Геометрическое определение вероятностиПусть теперь рассматривается непрерывная вероятностная схема, т.е. пространствоэлементарных исходов представляет собой некоторую ограниченную область (отрезок,круг, шар и т.д.) k-мерного пространства (прямой, плоскости, трёхмерного пространства ит.д.). В непрерывном случае число элементарных исходов бесконечно, следовательно, прииспользовании принципа равновероятности каждому элементарному исходу можно приписать только нулевую вероятность. Поэтому подойдём к определению геометрической10вероятности по-другому. Рассмотрим сначала отрезок [0,1] и предположим, что идеальнаячастица равномерно бросается на данный отрезок. Каждому интервалу (a ,b ) (0 ≤ a < b ≤ 1)поставим в соответствие вероятность попадания частицы на этот интервал, равную егодлине: P (a, b ) = b − a .В общем случае геометрическая вероятность определяется аналогично.
Пусть Ω некоторая область, имеющая меру mes(Ω ) (длину, площадь, объём и т.д.) такую, что0 < mes(Ω ) < ∞ . Пусть внутри области Ω находится область A .Определение. Геометрической вероятностью называют отношение меры областиA к мере области Ω :mes( A).P ( A) =mes(Ω )Пример 8. (Задача о встрече.) Два лица A и B договорились встретиться в определённом месте между 12 часами и часом. Пришедший первый ждёт другого в течение 20минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц A и B , если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти на удачу и моменты прихода независимы. Решение. Обозначим момент прихода лица A через x , а момент прихода лицаB через y . На плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможныеисходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60.
Для того, чтобы встреча произошла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство x − y ≤ 20 .Исходы, благоприятствующие встрече, изображены в заштрихованной области(рис. 2.1).Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области к пло60 2 − 40 2 5щади всего квадрата p == .z960 2Пример 9. В круг радиуса R = 1 случайным образом бросается точка. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг радиуса r = 1 с тем же центром (рис. 2.2).211 Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
