Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Математическим ожиданием Mξ дискретной случайной величины ξ называется выражение, вычисляемое по формуле:Mξ = ∑ xi pi ,(6.1.1)iгде x1 , x 2 ,... — значения случайной величины, p1 , p 2 ,... — соответствующие им вероятности, которые определяются равенством pi = P(ξ = xi ) .Для существования математического ожидания необходимо, чтобы ряд (6.1.1) сходился абсолютно, т.е.(6.1.2)∑ xi p i < ∞ ,iв противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.Пример 1. Пусть ξ — случайная величина, равная числу выпавших очков прибросании игрального кубика.
Найти математическое ожидание случайной величины ξ . Решение. Случайная величина ξ имеет следующий ряд распределения:xi123456111111Pi666666Применяя формулу (6.1.1), получим121 7Mξ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) == .66 2Таким образом, математическое ожидание числа выпавших очков при бросанииигрального кубика равно 3,5 . zПример 2. Найти математическое ожидание случайной величины ξ — число успехов в схеме Бернулли. Решение.
Как известно, распределение случайной величины ξ задается формулой( i = 1,..., n )P(ξ = i ) = С ni p i q n −i ,где p — вероятность «успеха», q = 1 − p , n — количество испытаний в схеме Бернулли.Используя формулу (6.1.1), получимnnnn(n − 1)! p i −1q n−i =n!Mξ = ∑ ip n (i ) = ∑ iС ni p i q n −i = ∑ ip i q n −i = ∑ np(i − 1)! (n − i )!i =0i =0i = 0 i! (n − i )!i =1n −1n −1i =0i =0= np ∑ С ni −1 p i q n −1−i = np ∑ p n −1 (i ) = np.Таким образом, математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли равноnp . zОпределение. Математическим ожиданием Mξ непрерывной случайной величины ξ называется интеграл:40Mξ =+∞∫ хр( х)dх .(6.1.3)−∞Условием существования математического ожидания непрерывной случайной величины является абсолютная сходимость интеграла+∞∫ х р( х )dх < ∞ .(6.1.4)−∞Пример 3.
Найти математическое ожидание случайной величины ξ , плотность которой имеет вид:⎧ 1, x ∈ [a ,b],⎪p(x ) = ⎨ b − a⎪⎩0,x ∉ [a ,b]. Решение: Используя (6.1.3), получим+∞axa+b.zMξ = ∫ хр( х )dх = ∫dx =b−a2−∞bПример 4. Найти математическое ожидание случайной величины ξ , плотность которой имеет вид:p (x ) =1eσ 2π−( x − m )22σ 2, x ∈ (− ∞; ∞ ) . Решение. Используя (6.1.3), получимMξ =+∞+∞∫ xp( x )dx = ∫ σ−∞Делаем замену t =+∞∫tσ + met2−2x−mσ−∞2πe−( x − m )22σ 2dx .(6.1.5)или x = m + tσ . В этом случае (6.1.5) примет вид:+∞dt =x∫tσet2−2+∞dt +∫met2−2dt =σ2π+∞∫ tet2−22π− ∞ 2π− ∞ 2π−∞Первое слагаемое равно нулю, т.к.
равен нулю интеграл−∞+∞∫ te−t22dt = − e−t22−∞+∞dt + m ∫−∞e−t222πdt . (6.1.6)∞= 0.−∞Интеграл во втором слагаемом равен 1, т.к. этот интеграл равен функции распределения нормального закона с параметрами (0,1) при значении аргумента равным x = +∞ ,т.е.+∞e−t22dt = Φ (+ ∞ ) = 1 .2πТаким образом, математическое ожидание равно Mξ = m . z∫−∞Пример 5. Случайная величина ξ имеет плотность Коши:1p(x ) =, x ∈ (− ∞;+∞ ) .(6.1.7)π 1+ x2Проверить, имеет ли случайная величина ξ математическое ожидание. Решение.
Проверим условие (6.1.4) существования математического ожидания()41+∞∫+∞х р( х )dх =−∞x∫ π (1 + x ) dx = ∞ .2−∞Математическое ожидание случайной величины ξ , имеющей плотность Коши, несуществует, т.к. условие существования математического ожидания не выполнено. z§2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожиданияПусть η = f (ξ ) — функция от случайной величины. Определим математическоеожидание Mη = Mf (ξ ) . Это возможно сделать двумя способами.
Первый способ состоит втом, что сначала строится распределение случайной величины η , затем уже находим Mη .Мы рассмотрим другой способ. Пусть сначала ξ — дискретная случайная величина, принимающая значения x1 ,..., x n . Тогда случайная величина η = f (ξ ) принимает значенияf ( x1 ),..., f ( x n ) с теми же вероятностями pi = P(ξ = xi ) = P( f (ξ ) = f ( xi )) . В этом случаематематическое ожидание определяется по формулеnMξ = Mf (ξ ) = ∑ f ( xi ) pi .(6.2.1)i =1В случае, если случайная величина ξ принимает счетное число значений, то математическое ожидание случайной величины ξ определяется по формуле∞Mη = Mf (ξ ) = ∑ f (xi ) pi .(6.2.2)i =1При этом условие существования математического ожидания (6.1.4) примет вид:∑| f ( x ) | pi< ∞.i(6.2.3)iПример 6.
Случайная величина ξ имеет ряд распределения:ξP4161000,70,10,2Найти математическое ожидание математической величины: η = ξ + ξ . Решение. Для решения задачи применим формулу (6.2.1).()3()16 ) + 0 ,2 (100 +Mη = M ξ + ξ = ∑ X i + X i pi =()(i =1= 0 ,7 4 + 4 + 0 ,1 16 +)100 = 4,2 + 2 + 22 = 28,2 .Таким образом, математическое ожидание математической величины η = ξ + ξравно 28,2. zПусть ξ — непрерывная случайная величина, имеющая плотность распределенияpξ ( x ) . Пусть функция y = f ( x ) непрерывная (за исключением, быть может, счетного чис-ла точек). Тогда математическое ожидание случайной величины η = f (ξ ) определяется поформуле42Mη = Mf (ξ ) =+∞∫ f (x ) pξ (x )dx .(6.2.4)−∞Условие существования математического ожидания случайной величины η = f (ξ )имеет вид:+∞∫f ( x) pξ ( x)dx < ∞ .(6.2.5)−∞Пример 7. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами(0,1) , т.е.
ее плотность имеет вид:1p(x ) =−x22e , x ∈ (− ∞; + ∞ ) .2πНайти математическое ожидание случайной величины η = aξ + b . Решение. Используя формулу (6.2.4), получаем:Mη =+∞∫ (xa + b )−∞12πe−x22+∞dx = a ∫−∞x2πe−x22+∞dx + b ∫−∞12πe−x22= a⋅0 + b = b. zПример 8. Случайная величина ξ распределена равномерно в интервале⎛ π π⎞⎜ − ; ⎟ , т.е.⎝ 2 2⎠⎧1⎛ π π⎞⎪π , x ∈ ⎜ − 2 ; 2 ⎟,⎪⎠⎝p(x ) = ⎨⎛ π π⎞⎪0 ,x ∉⎜− ; ⎟⎪⎩⎝ 2 2⎠Найти математическое ожидание случайной величины η = sin(ξ ) . Решение. Используя формулу (6.2.4.) , получаем:πMη =+∞∫f ( x ) р( х )dх =21∫π π sin х dx = 0 .
z−2−∞Свойства математического ожидания.1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е.MC = C , где C = const .Доказательство. Постоянную С можно рассматривать как случайную величину,принимающую только одно значение С с вероятностью 1. Следовательно,MC = C P(ξ = C ) = C ⋅ 1 = C . 2. M (aξ + b ) = aMξ + b .Доказательство. Пусть ξ — непрерывная случайная величина. Тогда для случайной величины η = aξ + b по формуле (6.2.4.) получаем:Mη = M (aξ + b ) =+∞+∞+∞−∞−∞−∞∫ (ax + b ) pξ (x )dx = ∫ xpξ (x )dx + b ∫ pξ (x )dx = aMξ + b .Аналогично доказывается и для дискретной случайной величины.
3. Для любых случайных величин ξ и ψ математическое ожидание их суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.43M (ξ + ψ ) = Mξ + Mψ .Доказательство. Пусть случайные величины ξ и ψ — дискретные. Случайная величина ξ принимает значения X 1 ,..., X n , а случайная величина ψ принимает значенияY1 ,...,Ym . Рассмотрим случайную величину η = ξ + ψ (g (x , y ) = x + y ) . Случайная величинаη принимает значения g (xi , y j ) с вероятностями pij = P(ξ = X i ,ψ = Y j ). Тогда:Mη = M (ξ + ψ ) = ∑∑ (xi + y j ) pij = ∑∑ xi pij + ∑∑ y j pij = ∑ xi ∑ pij + ∑ xi ∑ pij =nmni =1 j =1nmi =1j =1mni =1 j =1mi =1 j =1nmmni =1j =1j =1i =1= ∑ xi pξ i + ∑ y j pψ j = Mξ + Mψ .При доказательстве воспользовались тем, чтоm∑ pij = pξ i иj =1n∑pi =1ij= pψ j .Действительно, учитывая, что∑ (ξ = Xmj =1i ,ψ = Y j ) = (ξ = X i )∑ (ψ = Y j ) = (ξ = X i )Ω = (ξ = X i ) ,mj =1тоm⎛ m⎞ mpξ i = P(ξ = X i ) = P⎜⎜ ∑ (ξ = X i ,ψ = Y j )⎟⎟ = ∑ P (ξ = X i ,ψ = Y j ) = ∑ pij ,j =1⎝ j =1⎠ j =1аналогично доказывается, чтоn∑pi =1ij= pψ j .Аналогично доказывается и для непрерывной случайной величины.
4. Если ξ и ψ независимые случайные величины, то математическое ожиданиепроизведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.M (ξψ ) = Mξ Mψ .Доказательство. Пусть величины ξ и ψ — дискретные. В силу независимостислучайных величин имеет место равенство:pij = P (ξ = X i ,ψ = Y j ) = P(ξ = X i )P(ψ = Y j ) = pξ i pψ j . ТогдаM (ξψ ) = ∑∑ xi y j pij = ∑∑ xi y j P(ξ = X i )P (ψ = Y j ) =nmi =1 j =1nmi =1j =1nmi =1 j =1= ∑ xi pξ i ∑ y j pψ j =Mξ Mψ .Аналогично доказывается и для дискретной случайной величины.
Заметим, что свойство 3 допускает обобщение на сумму любого числа слагаемых, асвойство 4 допускает обобщение на произведение любого числа независимых (в совокупности) сомножителей.Пример 9. Найти математическое ожидание случайной величины ξ — число успехов в схеме Бернулли. Решение. Представим число успехов ξ в схеме Бернулли из n испытаний в видеξ = ϑ1 + ... + ϑn , где ϑi — число успехов в i-ом испытании. Очевидно, чтоMϑi = 0 (1 − p ) + 1 p = p . По свойству 3 математического ожидания, получаем44nMξ = M (ϑ1 + ... + ϑn ) = Mϑ1 + ...
+ Mϑn = ∑ p = np .i =1Этот результат совпадает с результатом примера 3, но получен более легкими вычислениями. zПример 10. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых можетпоявиться событие A. Вероятность события A в каждом опыте равна p. Опыты производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина ξ — число произведенных опытов. Найти Mξ . Решение. Рассмотрим событие (ξ = 1) , в этом случае событие A произошло припервом опыте, т.о.
P(ξ = 1) = p . Перейдем к событию (ξ = 2 ) , в этом случае событие Aпри первом опыте не произошло, но произошло при втором опыте, т.о. P(ξ = 2 ) = (1 − p ) p .Производя аналогичные рассуждения, получаем ряд распределения:ξ1pP2(1 − p ) p3(1 − p )2i……p(1 − p )i −1 pИспользуя формулу (6.1.1), получим:∞∞i =1i =1Mξ = ∑ iP (ξ = i ) = ∑ i (1 − p )i −1∞∞i =1i =1p = ∑ iq i −1 p = p ∑ iq i −1 =11d ⎛ q ⎞d ⎛ ∞ i⎞⎟⎟ = p= .⎜ ∑ q ⎟ = p ⎜⎜2dq ⎝ 1 − q ⎠dq ⎝ i =1 ⎠(1 − q ) p1Таким образом, математическое ожидание равно . zp=pПример 11. Независимые случайные величины ξ и η заданы своими рядами распределений:ξP-11/401/411/2η210P1/31/21/6Для случайной величины Z = ξ + η найти математическое ожидание двумя способами:1) по определению математического ожидания;2) по свойствам математического ожидания. Решение.
Рассмотрим 1 способ нахождения математического ожидания. Дляэтого составим ряд распределения случайной величины Z . Для этого удобно воспользоваться таблицей сумм ξ + η и соответствующих им вероятностей. Например:1 1 1P((ξ = −1) ∩ (η = 2)) = P(ξ = −1)P(η = 2) = ⋅ = .4 3 12ξη210-101101/122-11/811/1231/2401/821/61/2411/41/12Далее очень легко получить ряд распределения случайной величины Z .45ZP31/621/317/2401/6-11/24Естественно, можно было бы обойтись и без таблицы. Например:P(ξ + η = 1) = P([(ξ = −1) ∩ (η = 2)] ∪ [(ξ = 0) ∩ (η = 1)] ∪ [(ξ = 1) ∩ (η = 0 )]) =1 1 1 1 1 1= P(ξ = −1)P(η = 2) + P(ξ = 0)P(η = 1) + P(ξ = 1)P(η = 0) = ⋅ + ⋅ + ⋅ =4 3 4 2 2 61 1 17.=+ +=12 8 12 24Используя ряд распределения, находим математическое ожидание1 171711MZ = 3 ⋅ + 2 ⋅ + 1 ⋅+ 0 ⋅ + (− 1) ⋅= .24 1262436Перейдем ко второму способу нахождения математического ожидания случайнойвеличины Z = ξ + η .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
