Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рассмотрим следующие события:A — в схеме Бернулли наблюдался хотя бы один успех;A — в схеме Бернулли не наблюдалось ни одного успеха.Для решения задачи используем формулу (4.1.2), согласно которой вероятность того, что успехов не будет (т.е. число успехов равно нулю), равна:P A = p n (0 ) = C n0 p 0 q n −0 = q n .Используя свойство вероятности противоположного события, получаем, что вероятность того, что будет хотя бы один успех, равна:nP( A) = 1 − P A = 1 − q n = 1 − (1 − p ) .Остается найти наименьшее целое n , для которого выполнено неравенство:nn1 − (1 − p ) = 1 − (1 − 0 ,01) = 1 − 0 ,99 n > 0 ,5 .Решим последнее неравенство.0 ,99 n < 0 ,5 ⇔ ln 0 ,99 n < ln(0 ,5) ⇔ n ln(0 ,99 ) < ln(0 ,5) .Разделив последнее неравенство на ln(0 ,99 ) < 0 , получимln(0,5)n>= 69,968 .ln(0,99)Наименьшим целым числом n , удовлетворяющим последнему неравенству, является n = 70 .
z()()()Пример 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исходпартии исключен):а) три партии из четырех или пять из восьми;б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми. Решение. Так как противники равносильны и ничейный исход партии исключен,1то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и p = q = .2а) Вероятность выигрыша трех партий из четырех равна:344! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞1⎛1⎞p 4 (3) = C p q =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 4⎜ ⎟ = ,3!1! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠4⎝2⎠а вероятность выигрыша пяти партий из восьми равна:3434 −3p8 (5) = C85 p 5 q 8−5 =5388! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞6 ⋅7 ⋅8 ⎛ 1 ⎞7.⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =5!3! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2⋅3 ⎝ 2⎠321 7>, то вероятнее выиграть три партии из четырех.4 32б) Вероятность выигрыша не менее трех партий из четырех равна:Так как24p 4 (≥ 3) = p 4 (3) + p 4 (4) = C 43 p 3 q 4−3 + C 44 p 4 q 4− 4 =340444! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 4! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞1 15⎛1⎞ ⎛1⎞= ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 4⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+3!1! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4!0! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠4 16 16⎝2⎠ ⎝2⎠а вероятность выигрыша не менее пяти партий из восьми равна:p8 (≥ 5) = p8 (5) + p8 (6 ) + p8 (7 ) + p8 (8) = C85 p 5 q 8−5 + C86 p 6 q 8−6 + C87 p 7 q 8−7 + C88 p 8 q 8−8 ==536271808! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞8! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞8! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞8! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞93.⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =5!3! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 6!2! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠7!1! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 8!0! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠256935> , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.
zТак как256 16=§2. Формула ПуассонаПри больших значениях числа испытаний n применение формулы Бернулли (4.1.2)затруднительно. Поэтому применяются простые, но достаточно точные приближенныеформулы для вычисления pn (m ) . Пусть число испытаний n достаточно «велико», вероятность «успеха» p достаточно «мала». Пусть произведениеλ = np(4.2.1)и не мало, и не велико.
В таких случаях удобно использовать для вероятности pn (m )предложенное Пуассоном приближение (формула Пуассона), которое мы сейчас выведем.По формуле Бернулли (4.1.2)n(n − 1)...( n − m + 1 ) mn−mn−m=p n (m ) = С nm p m (1 − p )p (1 − p )=m!=(np )mn − 1 n − 2 n − m + 1 ⎛ np ⎞...⎜1 − ⎟m!nnnn ⎠⎝λm n − 1 n − 2n−m=(4.2.2)−mnn − m +1⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞...=⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ .m! nnn⎝ n⎠ ⎝ n⎠При n → ∞ и сделанных выше допущениях очевидны следующие приближения:nn −1n − m +1⎛ λ⎞⎛ λ⎞−λ≈ 1,...,≈ 1 , ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ ≈ e ,nn⎝ n⎠⎝ n⎠Следовательно, (4.2.2) примет вид:−m≈ 1.λme−λ ,(4.2.3)m!а это и есть формула Пуассона.Замечание.
При выводе формулы Пуассона (4.2.3) использовалось то, что m мало.Замечание. Формула Пуассона (4.2.3) зависит от m и λ . Значения функции (4.2.2)можно определить следующими способами: можно воспользоваться Приложением 1; используя функцию ПУАССОН(x;среднее;интегральная) из EXCEL; в которойаргумент x равен числу «успехов» m , аргумент «среднее» равен λ , аргумент«интегральная» должен равняться 0; используя функцию dpois(k, l) из MATHCAD, в которой k = m и l = λ .pn ( m ) ≈Пример 4. Найти вероятность того, что среди 1460 человек ровно трое родились 29февраля.25 Решение.
Вероятность того, что один конкретный человек родился 29 февраля,1равна p =, т.к. 29 февраля бывает ровно 1 раз в 4 года.1461Далее находим коэффициент λ :1λ = np = 1460≈ 1.1461Применяя (4.2.2), получаем:λ3 3 e −3p1460 (3) ≈ e − =.z3!6Пример 5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001.
Найтивероятность того, что при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов. Решение. Рассмотрим два противоположных события:A — при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов;A — при 5000 выстрелах в цель попало менее двух выстрелов.Найдем вероятность события A :P A = p 5000 (< 2 ) = p5000 (0 ) + p5000 (1) .В рассматриваемом примереλ = np = 5000 ⋅ 0 ,001 = 5 .Используя формулу Пуассона, получим5150p5000 (0) ≈ e −5 = e −5 = 0,006738, p5000 (1) ≈ e −5 = 5e −5 = 0,03369 .1!0!Используя свойство вероятности противоположного события, получимP ( A) = 1 − P A = 1 − p5000 (0 ) − p5000 (1) = 1 − 0 ,006738 − 0 ,03369 = 0 ,9596 .
z()()§3. Формулы Муавра – ЛапласаЕсли в схеме Бернулли n → ∞ , np → ∞ , nq → ∞ ,(4.3.1)то следует применять формулы Муавра – Лапласа: локальную или интегральную.Локальная теорема Муавра-Лапласа (без доказательства). Если в схеме Бернулли n → ∞ , то для всех m справедлива локальная формула Муавра-Лапласа:1p n (m ) ≈ϕ ( x ),npq(4.3.2)x2m − np1 −2e , x=.ϕ (x ) =npq2πЗначения функции ϕ (x ) , которую называют плотностью нормального распределения с параметрами (0,1) , можно найти одним из следующих способов: можно воспользоваться Приложением 2; используя функцию НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)из EXCEL; в которой «среднее» необходимо положить равным 0, аргумент«стандартное_откл» необходимо положить равным 1, аргумент «интегральная» должен равняться 0. используя функцию dnorm(x, mu, sigma) из MATHCAD, в которой mu = 0 иsiqma = 1 .Очевидно, что функция ϕ (x ) является четной.
Поэтому при определении ϕ (x ) дляотрицательных x нужно воспользоваться равенством ϕ ( x ) = ϕ (− x ) .26Интегральная теорема Муавра-Лапласа (без доказательства). Если в схеме Бернулли число испытаний n → ∞ , то для вероятности P(m1 ≤ S n ≤ m2 ) того, что число успе-хов S n заключено в пределах от m1 до m2 , справедлива интегральная теорема Муавра-Лапласа:P (m1 ≤ S n ≤ m2 ) ≈ Φ( x 2 ) − Φ ( x1 ),хΦ (х ) = ∫ ϕ ( y )dy =1x∫e−y22dy , x1 =m1 − np, x2 =m2 − np.(4.3.3)npqnpq2π −∞Функция Φ( x ) , определенная формулой (4.3.3), называется функцией распределения нормального распределения с параметрами (0,1) . Значения функции Φ(x ) можно найти одним из следующих способов: можно воспользоваться Приложением 3; используя функцию НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)из EXCEL; в которой «среднее» необходимо положить равным 0, аргумент«стандартное_откл» необходимо положить равным 1, аргумент «интегральная» должен равняться 1. используя функцию pnorm(x, mu, sigma)из MATHCAD, в которой mu = 0 иsiqma = 1 .Функцию Φ( x ) при отрицательных значениях переменной можно определить поформуле Φ (− x ) = 1 − Φ ( x ) .Замечание.
Наряду с функцией Φ( x ) используют функцию−∞хΦ0 ( х ) = ∫ ϕ ( y )dy =1x−y22e dy .(4.3.4)∫π200Для нее справедливо равенство Φ0 (− x ) = Φ0 ( x ) ; она связана с функцией Φ( x ) равенствомΦ ( x ) = 0 ,5 + Φ0 ( x ) .(4.3.5)Пример 6. Симметричную монету бросают 400 раз. Определить вероятность появления герба:а) от 185 до 210 раз;б) ровно 200 раз;в) не менее 200 раз. Решение. Для решения задачи применим локальную и интегральную теоремыМуавра-Лапласа, для которых1n = 400 , т.к. монету подбрасывали 400 раз, p = q = , т.к. монета симметрична.2а) Используя интегральную теорему Муавра-Лапласа, получим⎛ 210 − np ⎞⎛⎞⎟ − Φ⎜ 185 − np ⎟ =P(185 ≤ S n ≤ 210) = Φ ( x 2 ) − Φ ( x1 ) = Φ⎜⎜ npq ⎟⎜ npq ⎟⎝⎠⎝⎠⎛ 210 − 200 ⎞⎛ 185 − 200 ⎞= Φ⎜⎜⎟⎟ − Φ⎜⎜⎟⎟ = Φ (1) − Φ (− 1,5) = Φ (1) − 1 + Φ (1,5) = 0 ,7745;100 ⎠100 ⎠⎝⎝б) Используя локальную теорему Муавра-Лапласа, получим11 ⎛ 200 − np ⎞⎟ 1Ρ400 (200) =ϕ (x ) = ϕ ⎜= ϕ (0) = 0 ,03989 ;10 ⎜⎝npqnpq ⎟⎠ 10в) Используя интегральную теорему Муавра-Лапласа, получим27⎛ 400 − np ⎞⎛⎞⎟ − Φ⎜ 200 − np ⎟ =P400 (≥ 200 ) = P(200 ≤ S n ≤ 400) = Φ⎜⎜ npq ⎟⎜ npq ⎟⎝⎠⎝⎠⎛ 400 − 200 ⎞⎛ 200 − 200 ⎞= Φ⎜⎜⎟⎟ − Φ⎜⎜⎟⎟ = Φ (20) − Φ(0) = 1 − 0 ,5 = 0 ,5 .
z100 ⎠100 ⎠⎝⎝Пример 7. Команда состоит из 10 отличных и 15 хороших стрелков. Каждый стрелок производит по своей мишени 5 независимых выстрелов. Отличный стрелок при каждом выстреле попадает в цель с вероятностью 0,9, хороший — с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что общее число попаданий будет не менее 110. Решение. Найдем вероятность попадания при одном выстреле для произвольного стрелка. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть искомое событие A — мишень поражена одним стрелком.
Рассмотрим следующие гипотезы:H 1 — стреляет отличный стрелок;H 2 — стреляет хороший стрелок.Очевидно, что:102103P (H 1 ) == , P (H 2 ) == , P (A H 1 ) = 0,9 , P (A H 1 ) = 0 ,8 .10 + 15 510 + 15 5Отсюда получаем:p = P( A) = P(H 1 )P ( A H 1 ) + P(H 2 )PP( A H 2 ) = 0 ,84 , q = 1 − p = 1 − 0 ,84 = 0 ,16 .Заметим, что общее число выстреловN = 10 ⋅ 5 + 15 ⋅ 5 = 125 .Теперь найдем вероятность p125 ( ≥ 110 ) того, что при 125 выстрелах число попаданий будет не менее 110.
Для этого применим интегральную теорему Муавра-Лапласа:110 − np125 − npx1 =≈ 1,25 , x 2 =≈ 5,npqnpqp125 (≥ 100) = Ρ(110 ≤ S n ≤ 125) = Φ ( x 2 ) − Φ ( x1 ) = 1 − 0 ,89 = 0 ,11 . zПример 8. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,6 . Найтинаименьшее число выстрелов, которое надо произвести по мишени, чтобы с вероятностью0,95 число попаданий было не менее 70. Решение. По условию задачи 0 ,95 = p n (≥ 70) . Для вычисления p n (≥ 70) применим интегральную теорему Муавра – Лапласа:⎛ n − np ⎞⎛⎞⎟ − Φ⎜ 70 − np ⎟ =0,95 = p n (≥ 70) = P 70 ≤ S n ≤ n = Φ⎜⎜ npq ⎟⎜ npq ⎟⎝⎠⎝⎠⎛ 2n ⎞⎛ 70 − 0,6n ⎞⎛ 70 − 0,6n ⎞⎟ − Φ⎜⎟ = 1 − Φ⎜⎟= Φ⎜⎜⎜⎟⎜ 0 ,24n ⎟.⎟⎝ 0,24n ⎠⎝⎠⎝ 3 ⎠Заметим, что мы использовали то, что при больших значениях x (x ≥ 3) Φ (x ) ≈ 1 .Далее получаем⎛ 70 − 0,6n ⎞⎟ = 0,05 .Φ⎜⎜⎟0,24n⎝⎠Используя Приложение 3 находим, что70 − 0,6n= −1,65 .0,24nРешая последнее уравнение для натуральных значений n , получаем, что n=132 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
