Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 6
Текст из файла (страница 6)
z()28Глава 5. Случайные величины и их распределения§1. Понятие случайной величиныОпределение. Случайной величиной ξ называется функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу ω число ξ = ξ (ω ) .Пример 1. Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p . Сопоставим каждому элементарному исходу ω = 10100...0 функцию ξ (ω ) , равную числу успехов данного исхода, т.е. числу символов 1, содержащихся в последовательности 10100...0 .Пример 2.
Случайными величинами является число очков при бросании игральнойкости, сумма очков при бросании нескольких игральных костей.Пример 3. Случайной величиной является координата точки, упавшей на отрезок[0;1] . В этом случае ξ (ω ) = ω .В общем случае случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.Определение. Дискретной называется случайная величина, которая каждому элементарному исходу ω ставит в соответствие одно из конечного (или в общем случаесчетного) набора чисел x1 , x 2 ,..., x n (x1 , x 2 ,..., x n ,...) .Определение.
Непрерывной называется случайная величина, возможные значениякоторой непрерывно заполняют некоторую область.Однако существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих типов. Простейшим примером такой случайной величины является время работы электроприбора. Купленный электроприбор может с ненулевой вероятностью оказаться бракованным, т.е. время его работы будет равно 0, и в этом смысле необходимо считать рассматриваемую случайную величину дискретной. Если же прибор окажется исправным, товремя его работы необходимо считать непрерывной случайной величиной.§2.
Функция распределения случайной величиныОпределение. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины ξназывается функция F (x ) , значения которой в точке x равно вероятности события(ξ < x ) :F (x ) = P(ξ < x ) .(5.2.1)Свойства функции распределения.1. Функция распределения является ограниченной, т.е.0 ≤ F (x ) ≤ 1 .Доказательство. Ограниченность функции распределения следует из того, чтофункция распределения является вероятностью. 2.
Функция распределения является неубывающей, т.е. если x 2 > x1 , тоF (x 2 ) ≥ F ( x1 ) .Доказательство. Если x 2 > x1 , то событие (ξ < x1 ) содержится в событии (ξ < x 2 ) ,т.е. (ξ < x1 ) ⊂ (ξ < x 2 ) . Отсюда, по свойству 3 вероятности, имеемP(ξ < x1 ) ≤ P(ξ < x 2 ) ,откуда, следуетF (x1 ) ≤ F ( x 2 ) . 293.
F ( x ) обращается в ноль на минус бесконечности, т.е.F (− ∞ ) = 0 .Доказательство. Событие (ξ < −∞ ) является невозможным событием, следовательно, P(ξ < −∞ ) = 0 . 4. F ( x ) равна единице в плюс бесконечности, т.е.F (+ ∞ ) = 1 .Доказательство. Событие (ξ < +∞ ) является достоверным событием, следовательно, P(ξ < +∞ ) = 1 .5. Вероятность попадания случайной величины ξ в интервал [x1 , x 2 ) равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т.е.P ( x1 ≤ ξ < x 2 ) = F ( x 2 ) − F ( x1 ) .Доказательство.
При x1 < x 2 событие (ξ < x 2 ) можно представить как объединение двух непересекающихся событий (ξ < x1 ) и (x1 ≤ ξ < x 2 ) . Отсюда, используя аксиомусложения, получаемP(ξ < x 2 ) = P(ξ < x1 ) + P( x1 ≤ ξ < x 2 ),P( x1 ≤ ξ < x 2 ) = P(ξ < x 2 ) − P(ξ < x1 )или, используя определение функции распределения, получаемP ( x1 ≤ ξ < x 2 ) = F ( x 2 ) − F ( x1 ) .
6. F ( x ) непрерывна слева, т.е.lim F ( x ) = F ( x0 ) .x → x0 − 0С помощью функции распределения можно вычислить вероятность события(ξ ≥ x ) :P(ξ ≥ x ) = 1 − F ( x ) .(5.2.2)Иногда, чтобы подчеркнуть, кокой именно случайной величине принадлежитфункция распределения F (x ) , к функции распределения приписывают нижний индекс,обозначающий эту случайную величину, т.е.Fξ ( x ) = P(ξ < x ) .Иногда функцией распределения называется вероятность события (ξ ≤ x ) . Такоеопределение ничего не меняет во всех рассуждениях.
Единственное изменение касаетсясвойства 6: функция F ( x ) будет непрерывной справа.§3. Дискретные случайные величиныКак уже говорилось, дискретной называется случайная величина, которая каждомуэлементарному исходу ω ставит в соответствие одно из конечного (или в общем случаесчетного) набора чисел x1 , x 2 ,..., x n (x1 , x 2 ,..., x n ,...) .Дискретную случайную величину удобно характеризовать рядом распределения.Определение. Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины называется таблица (таблица 5.1), состоящая из двух строк: в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй — вероятностиpi = P(ξ = xi ) того, что случайная величина ξ примет значение xi .30Таблица 5.1ξx1x2…xi…xn…Pp1p2…pi…pn…При этом должно выполняться равенство∑ pi = 1 .(5.3.1)iФункцию распределения дискретной случайной величины можно определить поформуле(5.3.2)F (x ) = ∑ pi .xi < xПример 4. Производится один опыт, в результате которого может произойти событие A с вероятностью p .
Рассмотрим случайную величину⎧1, если событие A произошло,ξ =⎨⎩0, если событие A не произошло.Для случайной величины ξ ряд распределения и найти ее функцию распределения. Решение. Очевидно, что ряд распределения имеет вид:ξ0q1pPгде q = 1 − p .Функцию распределения случайной величины ξ найдем по формуле (5.3.2).Пусть x ≤ 0 . В этом случае событие (ξ < x ) является невозможным, так как случайная величина ξ не принимает значений меньших 0.
Отсюда получаем:F (x ) = ∑ pi = 0 .xi < xПусть 0 < x ≤ 1. В этом случае событие (ξ < x ) совпадает с событием (ξ = 0 ) , следовательно:F ( x ) = ∑ pi = P(ξ = 0 ) = q .xi < xПусть x > 1 . В этом случае событие (ξ < x ) является достоверным, следовательноF ( x ) = ∑ pi = P(ξ = 0 ) + P(ξ = 1) = q + p = 1 .xi < xТаким образом, функция распределения примет вид:если x ≤ 0 ;⎧0 ,⎪F ( x ) = ⎨1 − p , если 0 < x ≤ 1;⎪1,если x > 1.⎩zПример 5. Рассмотрим схему последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p может произойти событие A .
Рассмотрим случайнуювеличину ξ — число испытаний, которое необходимо произвести, прежде чем событие Aпроизойдет. Построить ряд распределения случайной величины ξ . Решение. Случайная величина ξ может принимать значения 0 , 1 ,...,n,... .
Случайная величина ξ принимает значение 0, если в первом же испытании произойдет событие A , следовательно:P(ξ = 0 ) = p .31Случайная величина ξ принимает значение 1, если в первом испытании событие Aне произошло, а во втором испытании событие A произойдет, следовательно,P(ξ = 1) = qp .Случайная величина ξ принимает значение 2, если в первых двух испытаниях событие A не произошло, а в третьем испытании событие A произойдет, следовательно,P(ξ = 2) = qqp = q 2 p .Продолжая аналогично данные рассуждения, получим ряд распределения:ξ0pP1qp2……2q pnnq p……zПример 6. На зачете студент получил n = 4 задачи.
Вероятность решить правильно каждую задачу p = 0,8 . Построить ряд распределения случайной величины ξ — числаправильно решенных задач. Решение. Случайная величина ξ может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Длянахождения вероятности событий (ξ = k ) (k = 0,1, 2 ,3, 4 ) применим формулу Бернулли:P(ξ = 0 ) = p 4 (0 ) = C 40 p 0 (1 − p ) = (1 − 0 ,8) = 0 ,0016 ,4!3(0,8)1 (1 − 0,8)3 = 0,0256 ,P(ξ = 1) = p 4 (1) = C 41 p 1 (1 − p ) =3!1!4!2(0,8)2 (1 − 0,8)2 = 0,1536 ,P(ξ = 2 ) = p 4 (2) = C 42 p 2 (1 − p ) =2!2!4!1(0,8)3 (1 − 0,8)1 = 0,4096 ,P(ξ = 3) = p 4 (3) = C 43 p 3 (1 − p ) =1!3!04 4P(ξ = 4 ) = p 4 (4 ) = C 4 p (1 − p ) = 0 ,8 4 = 0 ,4096 .Таким образом, ряд распределения числа правильно решенных задач примет вид:4ξ00,0016P10,0256420,153630,409640,4096z§4. Непрерывные случайные величиныКак уже говорилось, непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какую-то область.
Дадим более строгое определение непрерывной случайной величины.Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функциюраспределения F (x ) можно представить в виде:F (x ) =x∫ p( y )dy .(5.4.1)−∞Определение. Функция p( x ) , присутствующая в (5.4.1), называется плотностьюраспределения (вероятностей) случайной величины ξ .Отметим, что все реально встречающиеся плотности распределения являются непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями, и, следо32вательно, для них плотность распределения p(x ) представляет собой производную функции распределения F (x ) , т. е.p( x ) = F ′( x ) .(5.4.2)Свойства плотности распределения:1. Плотность является неотрицательной функцией, т.е.p ( x) ≥ 0 .Доказательство. Функция распределения — неубывающая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
