Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найдём критическую область для нулевой гипотезыH 0 : mX = mY при альтернативной гипотезе H1 : mX ≠ mY , где mX — математическое ожидание объема продаж для района A, а mY — для района В.В качестве критерия необходимо использовать функциюm ∗X − mY∗T=,∗∗⎛ 11 ⎞ S X2 (n X − 1) + S Y2 (nY − 1)⎜⎜ n + n ⎟⎟ ⋅n X + nY − 2Y ⎠⎝ Xгде n X и nY объемы выборок, а m ∗X и mY∗ оценки параметров mX и mY .Tимеетt - распределение (распределение Стьюдента)сФункцияv = n X + nY − 2 = 17 + 10 − 2 = 25 степенями свободы.По таблице t – распределения для l = 25 и 5%-го уровня значимости (для двусторонней критической области) находим:0,050,05P T < tкрL =⇒ tкрL = −2 ,06 , P T > tкRр =⇒ tкрR = 2 ,06 .22Это означает, что критической областью является Wk = (− ∞;−2,06) ∪ (2,06; ∞ ) .Вычислим t расч :(t расч =()15 − 1322⎛ 1 1 ⎞ 2 ,5 16 + 3 9+⎜⎟25⎝ 17 10 ⎠)= 1,86 .67Полученное значение критерия t расч не принадлежит критической области, следовательно, гипотеза H 0 : mX = mY принимается.
z§4. Проверка гипотезы о значении дисперсии генеральной совокупностиПусть X — генеральная совокупность, распределенная по нормальному закону снеизвестной дисперсией σ 2 . Из генеральной совокупности взята случайная выборка∗X 1 ,..., X n и вычислена выборочная дисперсия σ 2 .Требуется проверить нулевую гипотезу H 0 : σ 2 = σ 02 , где σ 02 — заданное значениедисперсии генеральной совокупности. Для проверки нулевой гипотезы используют статистикуT=nσ 2∗σ 02,(9.4.1)которая при выполнении нулевой гипотезы H 0 имеет χ 2 -распределение с v = n − 1 степенями свободы.Границы tкрL и t крR критической области определяем по таблицам χ 2 -распределенияс v = n − 1 степенями свободы или используя функцию ХИ2ОБР (вероятность; степени_свободы) из EXCEL, или используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD.Пример 3. Точность работы автоматической линии проверяют по дисперсии контролируемого размера, которая не должна превышать 0,1 мм2.
По результатам выборочного контроля получены следующие данные:Контролируемый размер, Z i , мм243,043,543,844,444,6Частота ni371082Требуется проверить при уровне значимости 0,01, обеспечивает ли линия требуемую точность. Решение. Задача состоит в проверке гипотезы о значении дисперсии2H 0 : σ = 0,1 при альтернативной гипотезе H 1 : σ 2 > 0,1 . Таким образом, необходимо построить правостороннюю критическую область. Расчетное значение критерия вычисляемпо формуле t расч =nσ 2∗σ 02, следовательно, по данным статистического ряда необходимовычислить выборочную дисперсию.
Дальнейшие вычисления удобно оформить в видетаблицы:№12345ИтогоСреднееZini43,043,543,844,444,6ni Z iZ i − m∗-0,863-0,363-0,0630,5370,737(Z)2i− m∗0,7450,1320,0040,2880,543ni (Z i − m ∗ )2,2360,9240,0402,3041,0852371082129,0304,5438,0355,289,2301315,96,59043,8630,22068m∗∑n Z=∑niit расч =Изnσσ2∗20i∗1315,9== 43,863 ; σ 2 =30=∑ n (Z − m )∑n∗ 2iii=6 ,59= 0 ,22 ;3030 ⋅ 0,22= 66 .0,1()P T > t крR = 0,01 ,условияпричислестепенейсвободыравнымv = n − 1 = 30 − 1 = 29 находим границу правосторонней критической области.
По таблицеχ 2 - распределения получаем t крR = 49,5878 .Заметим, что аналогичный результат можно получить с помощью EXCEL илиMATHCAD: t крR = ХИ2ОБР(0,01;29) = 49 ,5878 или t крR = qchisq (0.99 , 29 ) = 49 ,5878 .Это означает, что критической областью является Wk = (49 ,5878; ∞ ) . Очевидно, чторасчетное значение t расч = 66 находится внутри критической области, следовательно, нулевая гипотеза отвергается, т.е. автоматическая линия не обеспечивает заданную точностьи требуется ее регулировка. z§5. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностейПусть X и Y — две генеральные совокупности, распределенные по нормальномузакону с неизвестными дисперсиями σ X2 и σ Y2 .
Из генеральных совокупностей взяты двенезависимые выборки X 1 ,..., X n и Y1 ,...,Yk и вычислены исправленные выборочные дис∗∗персии S X2 и S Y2 .Требуется проверить нулевую гипотезу H 0 : σ X2 = σ Y2 . В данном случае используется статистикаT=S X2∗,(9.5.1)∗SY2которая имеет F-распределение (распределение Фишера) с v1 = n − 1 и v 2 = k − 1 степеня∗∗ми свободы, если S X2 > S Y2 , иT=S X2∗S Y2∗,(9.5.2)∗∗с числом степеней свободы v1 = k − 1 и v 2 = n − 1 , если S X2 < S Y2 .Если задаться уровнем значимости α , то можно построить критические областидля проверки нулевой гипотезы при двух альтернативных гипотезах:∗∗∗∗a) H 1 : σ X2 > σ Y2 , если S X2 > S Y2 , или H 1 : σ X2 < σ Y2 , если S X2 < S Y2 . В этом случаекритическая область правостороння (t крR ; + ∞ ).
Граница t крR критической области определя-ется из условия P (T (v1 , v 2 ) > t крR ) = α ;b) H 1 : σ X2 ≠ σ Y2 . В этом случае критическая область двусторонняя. Однако можноиспользовать только правостороннюю область (t крR ; + ∞ ), где граница t крR определяется из69P (T (v1 = n − 1, v 2 = k − 1) > t крR ) =условия()P T (v1 = k − 1,v 2 = n − 1) > t крR =α2α2,∗если∗∗S X2 > S Y2 ,иизусловия∗, если S X2 < S Y2 .Пример 4. При измерении производительности двух агрегатов получены следующие результаты в кг вещества за час работы:№ замераАгрегат AАгрегат B114,114210,114,5314,713,7413,712,7514,014,1При уровне значимости α = 0,7 проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Решение.
Проверим нулевую гипотезу H 0 : σ X2 = σ Y2 при альтернативной гипо∗∗тезе H 1 : σ X2 ≠ σ Y2 . Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии S X2 и S Y2 . Дляэтого сначала найдем выборочные средние m ∗X и mY∗ :14 + 14 ,5 + 13,7 + 12,7 + 14,114 ,1 + 10 ,1 + 14 ,7 + 13,7 + 14m ∗X == 13,32 ; mY∗ == 13,8 .55Тогда∗122222S X2 = (14 ,1 − 13,32 ) + (10 ,1 − 13,32 ) + (14 ,7 − 13,32 ) + (13,7 − 13,32) + (14 − 13,32) = 3,372 ;4∗122222S Y2 = (14 − 13,8) + (14 ,5 − 13,8) + (13,7 − 13,8) + (12 ,7 − 13,8) + (14 ,1 − 13,8) = 0 ,46 .4()()∗∗Учитывая, что S X2 > S Y2 , определяет t расч :t расч =S X2∗2∗Y=3,372= 7 ,3304 .0,46SКритическое значение t крR находим из условияP (T (v1 = 5 − 1, v 2 = 5 − 1) > t крR ) =α= 0 ,052По таблице F-распределения (распределения Фишера) с v1 = 4 и v 2 = 4 степенямисвободы определяем t крR = 6,39 .Так как число t расч = 7 ,3304 попадает в критическую область (6 ,39; + ∞ ) , то гипоте-зу о равенстве дисперсий отвергаем.
zЗамечание. Границу критической области было можно определить и не используятаблицы, например: используя функцию FРАСПОБР(вероятность; степени_свободы1; степени_свободы2) из EXCEL. При этом задаваемый уровень значимости используется как аргумент «вероятность». В рассматриваемом примере получаемt крR = FРРАСПОБ(0,04; 4; 4) = 6 ,39 ;используя функцию qF(P,d1,d2) из MATHCAD, где P — доверительная вероятность P = 1 − α , d1 и d2 степени свободы.
В рассматриваемом примере получаем t крR = qF (0.95,4,4) = 6,39 .70§6. Проверка гипотезы о распределении.Критерий ПирсонаПусть X 1 ,..., X n — выборка, произведенная из генеральной совокупности X , с неизвестной функцией распределения F (x ) . Проверяется нулевая гипотеза H 0 , утверждающая, что генеральная совокупность распределена по закону, имеющему функцию распределения F ( x ) , равную функции F0 ( x ) , т.е. проверяется нулевая гипотезаH 0 : F ( x ) = F0 ( x ) .
При этом альтернативной гипотезой является H 0 : F ( x ) ≠ F0 ( x ) .Наибольшее применение при проверке согласования закона распределения, т.е.проверке нулевой гипотезы H 0 : F ( x ) = F0 ( x ) , является критерий Пирсона или критерийχ 2 (хи-квадрат).Наблюдаемое значение критерия (статистика) вычисляется по следующей формуле:22LL(n i − np i )ni2χ =∑=∑−n.(9.6.1)np ii =1i =1 np iСогласно теореме К. Пирсона, при п → ∞ статистика (9.6.1) имеет2χ -распределение с v = L − r − 1 степенями свободы, где L — число групп (интервалов)выборки, r — число параметров предполагаемого распределения.Схема проверки нулевой гипотезы H 0 : F ( x ) = F0 ( x ) .1. По выборке X 1 ,..., X n строят статистический ряд; он может быть как дискретным, так и интервальным.
Рассмотрим для определенности интервальный ряд:[хi , хi +1 )[х0 , х1 ) [х1 , х 2 ) … [х L−2 , х L−1 ) [х L−1 , х L )nin1n2n L −1nL…2. По данным предыдущих исследований или по предварительным данным делаютпредположение (выдвигают гипотезу) о модели закона распределения генеральной совокупности X .Для предположения модели закона распределения генеральной совокупности Xможно использовать графическое представление выборки.3.
Используя выборочные данные, строят оценки параметров выбранной моделизакона распределения.4. Определяют теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы [хi , хi +1 ) по формулеpi = F (хi +1 ) − F (хi ) ,(9.6.1)где F (x ) — предполагаемая функция распределения генеральной совокупности X .4.
Определяют расчетное значение критерия К. Пирсона по формулеL(n − np i )22χ расч=∑ inp ii =1или2Ln2χ расч=∑ i −n.i =1 np i5. Выбрав уровень значимости α , находят критическую область (она всегда правосторонняя) (t крR ; ∞ ) . Границу критической области можно найти одним из следующих:используя таблицы χ 2 –распределения с v = L − r − 1 степенями свободы;71используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL, приэтом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен v = L − r − 1 ; используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, при этом переменные даннойфункции должны быть равны: p = 1 − α , d = L − r − 1 .26. Если расчетное значение χ расчпопадает в критическую область (t крR ; ∞ ) , то нуле-вая гипотеза H 0 : F ( x ) = F0 ( x ) отвергается и принимается альтернативная гипотеза.Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
