Книга - Теория вероятности и математическая статистика (1082418), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

При применении критерия К. Пирсона в каждом интервале должнобыть не менее 5 элементов выборки (т.е. ni ≥ 5 ). Если это условие не выполняется, точисло интервалов надо уменьшить путем объединения соседних интервалов.Пример 5. Получены значения случайной величины Х .0,540,660,60,590,410,530,540,470,520,560,70,580,610,640,540,480,590,440,580,620,660,570,450,660,450,410,560,520,650,70,550,530,550,560,610,570,50,620,420,490,570,530,630,590,460,60,460,640,680,70,560,530,60,580,520,570,620,410,530,550,620,460,530,550,590,560,570,510,650,50,650,720,510,550,630,560,420,40,590,520,50,410,590,530,40,420,720,490,430,710,670,550,570,530,690,60,470,670,610,48Необходимо:1.

Найти выборочные характеристики: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию.2. Построить доверительной вероятностью 0,95 доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.3. Построить гистограмму.4. Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х приуровне значимости α = 0,05 . Решение. Учитывая, что количество значений равно 100, определяем выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию:1(0,54 + 0,7 + 0,66 + 0,55 + ... + 0,71 + 0,48) = 55,69 = 0,5569 .m∗ =100100∗1(0,54 − 0,5569)2 + (0,7 − 0,5569)2 + ...

+ (0,48 − 0,5569)2 = 0,64839 = 0,00655 .S2 =100 − 199Замечание. Выборочное среднее можно определить используя функциюСРЗНАЧ(число1; число2; ...) из EXCEL, а исправленную выборочную дисперсию можноопределить используя функцию ДИСП(число1;число2; ...) из EXCEL.Перейдем к построению доверительных интервалов. При построении доверительного интервала для математического ожидания считаем, что при этом дисперсия не известна. Как известно из предыдущей главы, необходимо использовать формулуS∗S∗m∗ −t γ +1 < m < m ∗ +t γ +1 ,n −1 2n −1 2()72в которой неизвестна только величина t γ +1 , являющаяся квантилем t –распределения с2v = n − 1 числом степеней свободы. Для доверительной вероятност и γ = 0,95 найдемквантиль t γ +1 = t 0 ,95+1 = t 0 ,975 t -распределения с v = n − 1 = 100 − 1 = 99 числом степеней22свободы.Для этого используем,например, функциюqt(p, d) из MATHCAD:qt (0.975,99 ) = 1.984 или функцию СТЬЮДРАСПОБ(вероятность; степени_свободы)из EXCEL: СТЬЮДРАСПОБР(2 ⋅ (1 - 0,975);99 ) = 1,984 или Приложение 5.Определяем точность оценкиS∗t γ +1 =S2∗t 0 ,975 =0 ,006551,984 = 0 ,0161 .n −1 2100 − 199Таким образом, получаем доверительный интервал0 ,5569 − 0 ,0161 < m < 0 ,5569 + 0 ,0161 ⇒ 0 ,5408 < m < 0 ,5730 .Построим доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании.

В этом случае необходимо использовать формулу(n − 1)S 2∗ ≤ σ 2 ≤ (n − 1)S 2∗ ,r1+ γ2r1−γ2где rv — квантиль уровня v χ 2 –распределения с n − 1 степенью свободы.Для данной формулы необходимо вычислить квантили rγ +1 = r0 ,95 +1 = r0 ,975 и22r1-γ = r1- 0,95 = r0 ,025 . Используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, получим:22r0 ,975 = qchisq(0.975,99) = 128.422 и r0 ,025 = qchisq(0.025,99 ) = 73.361 .

Аналогичный результат можно получить используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы)из EXCEL: r0 ,975 = ХИ 2ОБР(1 − 0.975,99) = 128,422 , r0 ,025 = ХИ 2ОБР(1 − 0.025,99 ) = 73,361 .Таким образом, получаем доверительный интервал(n − 1)S 2 ∗ < σ 2 < (n − 1)S 2 ∗ ,r0 ,975r0 ,02599 ⋅ 0,0065599 ⋅ 0 ,00655<σ 2 <⇒ 0 ,0051 < σ 2 < 0 ,0088 .128,42273,361Перейдем к построению гистограммы. Построим интервальный ряд. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины (т.е. крайние члены вариационного ряда): X min = 0,4 и X max = 0,72 . Для нахождения минимального и максимального значений случайной величины можно использовать функцииМИН(число1;число2; ...) и МАКС(число1;число2; ...) из EXCEL. Размах варьирования будет равен R = X n∗ − X 1∗ = 0 ,72 − 0 ,4 = 30,32 .Возьмем число частичных интервалов l = 8 .

В этом случае длина частичного интервала равнаR X ∗ − X 1∗ 0,32h= = n== 0 ,04 .8nnСоответствующий интервальный ряд приведен в таблице 9.2.73Таблица 9.2Номеринтервалаi12345678Средний пробег автомобилей(интервалы)xi < X ≤ xi +10,4 — 0,440,44 — 0,480,48 — 0,520,52 — 0,560,56 — 0,60,6 — 0,640,64 — 0,680,68 — 0,72Частотаni1089212113108Относительная частотаnf i∗ = inh2,522,255,255,253,252,52Гистограмма приведена на рис 9.4.Проверим гипотезу о распределении случайной величины Х . Найдем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы [хi , хi +1 ) по формулеpi = F (хi +1 ) − F ( хi ) , где F ( x ) — функция распределения нормального закона.

Так какслучайная величина Х , подчиненная нормальному закону распределения, определена на(− ∞; ∞ ) , то крайние интервалы в ряде распределения следует заменить на (− ∞; 0,4) и(0,72; ∞ ) . Тогда⎛ 0,44 − m ∗ ⎞⎟ − Φ (− ∞ ) = Φ⎛⎜ 0,44 − 0,5569 ⎞⎟ − 0 =p1 = P(− ∞ < X < 0 ,4) = Φ⎜⎜∗⎟⎜0,00655 ⎟⎠⎝S2⎠⎝= Φ(− 1,44 ) = 1 − Φ (1,44 ) = 1 − 0,9251 = 0 ,0749.74∗ ⎞⎛ 0 ,48 − m ∗ ⎞⎛⎟ − Φ⎜ 0 ,44 − m ⎟ = Φ⎛⎜ 0,48 − 0,5569 ⎞⎟ −p 2 = P(0,4 < X < 0,44 ) = Φ⎜⎜∗∗⎜⎟⎜⎟0 ,00655 ⎟⎠⎝S2S2⎝⎠⎝⎠⎛ 0,44 − 0,5569 ⎞⎟ = Φ (− 0,95) − Φ (− 1,44) = 1 − Φ (0 ,95) − (1 − Φ(1,44)) =− Φ⎜⎜⎟,000655⎠⎝= 1 − 0 ,8289 − (1 − 0,9251) = 0 ,9251 − 0 ,8289 = 0,0962.∗ ⎞⎛ 0,52 − m ∗ ⎞⎛⎟ − Φ⎜ 0,48 − m ⎟ = Φ⎛⎜ 0 ,52 − 0,5569 ⎞⎟ −p3 = P(0,48 < X < 0,52) = Φ⎜⎜∗∗⎜⎟⎜⎟0,00655 ⎟⎠⎝S2S2⎝⎠⎝⎠⎛ 0,48 − 0,5569 ⎞⎟ = Φ (− 0,46 ) − Φ (− 0 ,95) = 1 − Φ(0,46 ) − (1 − Φ(1,95)) =− Φ⎜⎜0 ,00655 ⎟⎠⎝= 1 − 0 ,6772 − (1 − 0,8289) = 0 ,8289 − 0 ,6772 = 0 ,1517.∗ ⎞⎛ 0,56 − m ∗ ⎞⎛⎟ − Φ⎜ 0,52 − m ⎟ = Φ⎛⎜ 0 ,56 − 0,5569 ⎞⎟ −p 4 = P(0,52 < X < 0,56 ) = Φ⎜⎜∗∗⎜⎟⎜⎟0,00655 ⎟⎠⎝S2S2⎝⎠⎝⎠⎛ 0,52 − 0,5569 ⎞⎟ = Φ (0 ,04) − Φ (− 0,46) = Φ(0,04 ) − (1 − Φ(0,46)) =− Φ⎜⎜⎟,000655⎠⎝= 0,516 − (1 − 0 ,6772) = 0 ,516 + 0 ,6772 − 1 = 0 ,1932.∗ ⎞⎛ 0,6 − m ∗ ⎞⎛⎟ − Φ⎜ 0,56 − m ⎟ = Φ⎛⎜ 0 ,6 − 0 ,5569 ⎞⎟ −p5 = P(0,56 < X < 0,6 ) = Φ⎜⎜ 0 ,00655 ⎟∗⎜⎟⎜⎟2∗⎠⎝S2⎝ S⎠⎝⎠⎛ 0,56 − 0,5569 ⎞⎟ = Φ (0 ,53) − Φ (0,04 ) = 0,7019 − 0,516 = 0 ,1859.− Φ⎜⎜0 ,00655 ⎟⎠⎝∗ ⎞⎛ 0 ,64 − m ∗ ⎞⎛⎟ − Φ⎜ 0 ,6 − m ⎟ = Φ⎛⎜ 0 ,64 − 0 ,5569 ⎞⎟ −p 6 = P(0,6 < X < 0,64) = Φ⎜⎜∗⎜⎟⎜⎟2∗0,00655 ⎟⎠⎝S2⎝⎠⎝ S⎠⎛ 0 ,6 − 0,5569 ⎞⎟ = Φ (1,03) − Φ(0,53) = 0 ,8485 − 0 ,7019 = 0 ,1466.− Φ⎜⎜⎟⎝ 0 ,00655 ⎠∗ ⎞⎛ 0,68 − m ∗ ⎞⎛⎟ − Φ⎜ 0 ,64 − m ⎟ = Φ⎛⎜ 0,68 − 0 ,5569 ⎞⎟ −p 7 = P(0,64 < X < 0,68) = Φ⎜⎜∗∗⎜⎟⎜⎟0,00655 ⎟⎠⎝S2S2⎝⎠⎝⎠⎛ 0,64 − 0,5569 ⎞⎟ = Φ (1,52) − Φ (1,03) = 0 ,9357 − 0 ,8485 = 0,0872.− Φ⎜⎜0 ,00655 ⎟⎠⎝⎛ 0 ,68 − m ∗ ⎞⎟ = 1 − Φ⎛⎜ 0 ,68 − 0 ,5569 ⎞⎟ =p8 = P(0 ,68 < X < ∞ ) = Φ (∞ ) − Φ⎜⎜∗⎟⎜0 ,00655 ⎟⎠⎝S2⎠⎝= 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0 ,0643.75Дальнейшие вычисления удобно оформить в виде таблицы (табл.

9.3).Таблица 9.3Номеринтервалаiсредний пробег автомобилей(интервалы)xi < X ≤ xi +1ЧастотаniТеоретические частотыpi123456780,4 — 0,440,44 — 0,480,48 — 0,520,52 — 0,560,56 — 0,60,6 — 0,640,64 — 0,680,68 — 0,7210892121131080,07490,09620,15170,19320,18590,14660,08720,06431001Итого2npininpi7,499,6215,1719,3218,5914,668,726,4310013,35116,65285,339522,826123,722411,528011,46799,9533104,8411Определяем расчетное значение критерия К. Пирсона:28ni2χ расч = ∑− n = 13,3511 + 6 ,6528 + 5,3395 + 22,8261 + 23,7224 + 11,528 +i =1 np i+ 11,4679 + 9,9533 − 100 = 104,8411 − 100 = 4,8411.Находим число степеней свободы.

По выборке были рассчитаны два параметра,значит, r = 2 . Количество интервалов 8,т.е. L = 8 . Следовательно, v = 8 − 2 − 1 = 5 . Зная,что α = 0 ,05 и v = 5 , находим границу правосторонней критической области t крR = 11,07(см. Приложение 4). Таким образом, критической областью является интервал (11,07; ∞ ) .2= 4 ,8411 не попадает в криТак как расчетное значение критерия К. Пирсона χ расчтическую область, то нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу о нормальном законе распределения. z76ПриложенияПриложение 1Таблица значений функции p n (m ) =Значенияm012345678m0123456789101112131415161718190,10,9048370,0904840,0045240,0001510,0000040,20,8187310,1637460,0163750,0010920,0000550,0000020,30,7408180,2222450,0333370,0033340,0002500,0000150,0000010,80,4493290,3594630,1437850,0383430,0076690,0012270,0001640,0000190,0000020,90,4065700,3659130,1646610,0493980,0111150,0020010,0003000,0000390,00000410,3678790,3678790,1839400,0613130,0153280,0030660,0005110,0000730,0000090,0000010,50,6065310,3032650,0758160,0126360,0015800,0001580,0000130,0000010,60,5488120,3292870,0987860,0197570,0029640,0003560,0000360,0000030,70,4965850,3476100,1216630,0283880,0049680,0006960,0000810,0000080,00000130,0497870,1493610,2240420,2240420,1680310,1008190,0504090,0216040,0081020,0027010,0008100,0002210,0000550,0000130,0000030,00000140,0183160,0732630,1465250,1953670,1953670,1562930,1041960,0595400,0297700,0132310,0052920,0019250,0006420,0001970,0000560,0000150,0000040,00000150,0067380,0336900,0842240,1403740,1754670,1754670,1462230,1044450,0652780,0362660,0181330,0082420,0034340,0013210,0004720,0001570,0000490,0000140,0000040,000001λ20,1353350,2706710,2706710,1804470,0902240,0360890,0120300,0034370,0008590,0001910,0000380,0000070,00000177m!e −λλ0,40,6703200,2681280,0536260,0071500,0007150,0000570,000004ЗначенияλmПриложение 2Плотность стандартного нормального распределения1ϕ (t ) =2πe−t22t01234567890,00,398940,398920,398860,398760,398620,398440,398220,397970,397670,397330,10,396950,396540,396080,395590,395050,394480,393870,393220,392530,391810,20,391040,390240,389400,388530,387620,386670,385680,384660,383610,382510,30,381390,380230,379030,377800,376540,375240,373910,372550,371150,369730,40,368270,366780,365260,363710,362130,360530,358890,357230,355530,353810,50,352070,350290,348490,346670,344820,342940,341050,339120,337180,335210,60,333220,331210,329180,327130,325060,322970,320860,318740,316590,314430,70,312250,310060,307850,305630,303390,301140,298870,296590,294310,292000,80,289690,287370,285040,282690,280340,277980,275620,273240,270860,268480,90,266090,263690,261290,258880,256470,254060,251640,249230,246810,244391,00,241970,239550,237130,234710,232300,229880,227470,225060,222650,220251,10,217850,215460,213070,210690,208310,205940,203570,201210,198860,196521,20,194190,191860,189540,187240,184940,182650,180370,178100,175850,173601,30,171370,169150,166940,164740,162560,160380,158220,156080,153950,151831,40,149730,147640,145560,143500,141460,139430,137420,135420,133440,131471,50,129520,127580,125660,123760,121880,120010,118160,116320,114500,112701,60,110920,109150,107410,105670,103960,102260,100590,098930,097280,095661,70,094050,092460,090890,089330,087800,086280,084780,083290,081830,080381,80,078950,077540,076140,074770,073410,072060,070740,069430,068140,066871,90,065620,064380,063160,061950,060770,059590,058440,057300,056180,055082,00,053990,052920,051860,050820,049800,048790,047800,046820,045860,044912,10,043980,043070,042170,041280,040410,039550,038710,037880,037060,036262,20,035470,034700,033940,033190,032460,031740,031030,030340,029650,028982,30,028330,027680,027050,026430,025820,025220,024630,024060,023490,022942,40,022390,021860,021340,020830,020330,019840,019360,018880,018420,017972,50,017530,017090,016670,016250,015850,015450,015060,014680,014310,013942,60,013580,013230,012890,012560,012230,011910,011600,011300,011000,010712,70,010420,010140,009870,009610,009350,009090,008850,008610,008370,008142,80,007920,007700,007480,007270,007070,006870,006680,006490,006310,006132,90,005950,005780,005620,005450,005300,005140,004990,004850,004700,0045778Приложение 3Функция распределения стандартного нормального законаΦ(x ) =x1∫−∞2πe−t22dt (Φ (− x ) = 1 − Φ ( x ))t01234567890,00,500000,503990,507980,511970,515950,519940,523920,527900,531880,535860,10,539830,543800,547760,551720,555670,559620,563560,567490,571420,575350,20,579260,583170,587060,590950,594830,598710,602570,606420,610260,614090,30,617910,621720,625520,629300,633070,636830,640580,644310,648030,651730,40,655420,659100,662760,666400,670030,673640,677240,680820,684390,687930,50,691460,694970,698470,701940,705400,708840,712260,715660,719040,722400,60,725750,729070,732370,735650,738910,742150,745370,748570,751750,754900,70,758040,761150,764240,767300,770350,773370,776370,779350,782300,785240,80,788140,791030,793890,796730,799550,802340,805110,807850,810570,813270,90,815940,818590,821210,823810,826390,828940,831470,833980,836460,838911,00,841340,843750,846140,848490,850830,853140,855430,857690,859930,862141,10,864330,866500,868640,870760,872860,874930,876980,879000,881000,882981,20,884930,886860,888770,890650,892510,894350,896170,897960,899730,901471,30,903200,904900,906580,908240,909880,911490,913080,914660,916210,917741,40,919240,920730,922200,923640,925070,926470,927850,929220,930560,931891,50,933190,934480,935740,936990,938220,939430,940620,941790,942950,944081,60,945200,946300,947380,948450,949500,950530,951540,952540,953520,954491,70,955430,956370,957280,958180,959070,959940,960800,961640,962460,963271,80,964070,964850,965620,966380,967120,967840,968560,969260,969950,970621,90,971280,971930,972570,973200,973810,974410,975000,975580,976150,976702,00,977250,977780,978310,978820,979320,979820,980300,980770,981240,981692,10,982140,982570,983000,983410,983820,984220,984610,985000,985370,985742,20,986100,986450,986790,987130,987450,987780,988090,988400,988700,988992,30,989280,989560,989830,990100,990360,990610,990860,991110,991340,991582,40,991800,992020,992240,992450,992660,992860,993050,993240,993430,993612,50,993790,993960,994130,994300,994460,994610,994770,994920,995060,995202,60,995340,995470,995600,995730,995850,995980,996090,996210,996320,996432,70,996530,996640,996740,996830,996930,997020,997110,997200,997280,997362,80,997440,997520,997600,997670,997740,997810,997880,997950,998010,998072,90,998130,998190,998250,998310,998360,998410,998460,998510,998560,9986179Приложение 4Критические точки распределения χ2Уровень значимости αЧислостепенейсвободы0,010,0250,050,0750,10,90,9250,950,9750,9912345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940991006,639,2111,3413,2815,0916,8118,4820,0921,6723,2124,7326,2227,6929,1430,5832,0033,4134,8136,1937,5738,9340,2941,6442,9844,3145,6446,9648,2849,5950,8952,1953,4954,7856,0657,3458,6259,8961,1662,4363,69134,64135,815,027,389,3511,1412,8314,4516,0117,5319,0220,4821,9223,3424,7426,1227,4928,8530,1931,5332,8534,1735,4836,7838,0839,3640,6541,9243,1944,4645,7246,9848,2349,4850,7351,9753,2054,4455,6756,9058,1259,34128,42129,563,845,997,819,4911,0712,5914,0715,5116,9218,3119,6821,0322,3623,6825,0026,3027,5928,8730,1431,4132,6733,9235,1736,4237,6538,8940,1141,3442,5643,7744,9946,1947,4048,6049,8051,0052,1953,3854,5755,76123,23124,343,175,186,908,5010,0111,4712,8814,2715,6316,9718,2919,6020,9022,1823,4524,7225,9727,2228,4629,6930,9232,1433,3634,5735,7836,9838,1839,3840,5741,7642,9544,1345,3146,4947,6648,8450,0151,1752,3453,50119,91121,022,714,616,257,789,2410,6412,0213,3614,6815,9917,2818,5519,8121,0622,3123,5424,7725,9927,2028,4129,6230,8132,0133,2034,3835,5636,7437,9239,0940,2641,4242,5843,7544,9046,0647,2148,3649,5150,6651,81117,41118,500,020,210,581,061,612,202,833,494,174,875,586,307,047,798,559,3110,0910,8611,6512,4413,2414,0414,8515,6616,4717,2918,1118,9419,7720,6021,4322,2723,1123,9524,8025,6426,4927,3428,2029,0581,4582,360,010,160,470,901,391,942,533,143,784,455,125,826,527,247,978,719,4510,2110,9711,7312,5013,2814,0614,8515,6416,4417,2418,0518,8519,6620,4821,3022,1222,9423,7624,5925,4226,2527,0927,9379,5180,410,000,100,350,711,151,642,172,733,333,944,575,235,896,577,267,968,679,3910,1210,8511,5912,3413,0913,8514,6115,3816,1516,9317,7118,4919,2820,0720,8721,6622,4723,2724,0724,8825,7026,5177,0577,930,000,050,220,480,831,241,692,182,703,253,824,405,015,636,266,917,568,238,919,5910,2810,9811,6912,4013,1213,8414,5715,3116,0516,7917,5418,2919,0519,8120,5721,3422,1122,8823,6524,4373,3674,220,000,020,110,300,550,871,241,652,092,563,053,574,114,665,235,816,417,017,638,268,909,5410,2010,8611,5212,2012,8813,5614,2614,9515,6616,3617,0717,7918,5119,2319,9620,6921,4322,1669,2370,0680Приложение 5Критические точки распределения СтьюдентаЧислостепенейсвободы123456789101112131415161718192021222324252627282930405060708090100Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)0,0163,669,925,844,604,033,713,503,363,253,173,113,053,012,982,952,922,902,882,862,852,832,822,812,802,792,782,772,762,762,752,702,682,662,652,642,632,630,02525,456,214,183,503,162,972,842,752,692,632,592,562,532,512,492,472,462,452,432,422,412,412,402,392,382,382,372,372,362,362,332,312,302,292,282,282,280,0512,714,303,182,782,572,452,362,312,262,232,202,182,162,142,132,122,112,102,092,092,082,072,072,062,062,062,052,052,052,042,022,012,001,991,991,991,980,0758,453,442,682,392,242,152,092,052,011,991,971,951,941,921,911,901,901,891,881,881,871,871,861,861,861,851,851,851,851,841,831,821,811,811,801,801,800,16,312,922,352,132,021,941,891,861,831,811,801,781,771,761,751,751,741,731,731,721,721,721,711,711,711,711,701,701,701,701,681,681,671,671,661,661,66810,23,081,891,641,531,481,441,411,401,381,371,361,361,351,351,341,341,331,331,331,331,321,321,321,321,321,311,311,311,311,311,301,301,301,291,291,291,290,252,411,601,421,341,301,271,251,241,231,221,211,211,201,201,201,191,191,191,191,181,181,181,181,181,181,181,181,171,171,171,171,161,161,161,161,161,160,31,961,391,251,191,161,131,121,111,101,091,091,081,081,081,071,071,071,071,071,061,061,061,061,061,061,061,061,061,061,051,051,051,051,041,041,041,040,41,381,832,954,045,136,217,288,359,4110,4711,5312,5813,6414,6915,7316,7817,8218,8719,9120,9521,9923,0324,0725,1126,1427,1828,2129,2530,2831,3241,6251,8962,1372,3682,5792,76102,950,51,000,820,760,740,730,720,710,710,700,700,700,700,690,690,690,690,690,690,690,690,690,690,690,680,680,680,680,680,680,680,680,680,680,680,680,680,68Используемая литератураƒГмурман В.Е.

Характеристики

Список файлов книги